L’étude des espaces de fonctions intégrables, en particulier l’espace L1(I), occupe une place fondamentale dans l’analyse moderne et les cours de mathématiques en CPGE scientifique. Ces concepts permettent de traiter avec rigueur nombre de questions liées à l’intégration, à la convergence des fonctions ou à la résolution d’équations différentielles. Cet article vous propose une définition simplifiée de l’espace L1(I), des exemples concrets, un éclairage méthodologique, un rappel des fondements théoriques et un panorama historique et contextuel pour saisir pleinement leur utilité.
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Qu’est-ce que l’espace de fonctions intégrables L1(I) ?
On appelle espace de fonctions intégrables L1(I), où I est un intervalle de ℝ, l’ensemble des fonctions f : I → ℝ (ou ℂ) telles que la fonction |f| soit intégrable sur I, c’est-à-dire ∫I |f(x)| dx < +∞.
Cet espace se note :
L1(I) = { f : I → ℝ | ∫I |f(x)| dx < +∞ }.
Dans le cas où I est un intervalle borné [a, b], il s’agit simplement de l’ensemble des fonctions dont la valeur absolue est intégrable au sens de Riemann ou de Lebesgue. L’un des premiers critères fondamentaux pour une fonction intégrable est qu’elle soit continue ou continue par morceaux sur I, mais L1(I) regroupe aussi des fonctions plus générales.
Fondements théoriques et contexte historique
L’idée d’intégrabilité remonte à la genèse du calcul intégral, mais la notion d’espace L1(I) a été formalisée au début du XXe siècle, en lien avec la théorie de Lebesgue et le développement de l’intégrale de Lebesgue. Ces espaces sont essentiels pour travailler sur les fonctions dont les intégrales ont un sens bien défini, y compris pour des fonctions qui peuvent avoir un nombre fini de discontinuités ou même être non bornées sur des intervalles impropres (exemples d’intégrales semi-convergentes).
Historiquement, les espaces L1 (nommés ainsi par le mathématicien russe Sergeï Sobolev) ont permis de généraliser la notion d’intégrabilité et de convergence, passant de la convergence simple à la convergence en norme (ou convergence au sens de L1), ce qui est devenu central en analyse fonctionnelle et en probabilités.
Propriétés fondamentales de L1(I)
L’espace L1(I) possède plusieurs propriétés fondamentales :
- L1(I) est un espace vectoriel (la somme de deux fonctions intégrables est intégrable).
- Il est stable par multiplication par un réel (l’intégrale de |λf| est |λ| fois l’intégrale de |f|).
- L’application f ⟼ ∫I |f(x)| dx définit une norme sur L1(I).
- L1(I) est complet pour cette norme (il s’agit donc d’un espace de Banach).
Ces propriétés permettent de manipuler les fonctions intégrables avec la même rigueur que des vecteurs usuels de ℝn. Cette structure intervient aussi dans de nombreux résultats de convergence série-intégrale, inégalités intégrales, et dans toutes les méthodes d’intégration avancée (voir intégration par parties, changement de variable).
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Exemples clés d’usage de l’espace L1(I)
Soit f définie sur [0,1] par f(x) = x. On a :
∫01 |f(x)| dx = ∫01 x dx = 1/2.
La fonction est donc dans L1([0,1]).
Soit g définie par : g(x) = 2 si x ∈ [0, 0.5[, g(x) = 0 sinon.
∫01 |g(x)| dx = ∫00.5 2 dx = 1.
g appartient également à L1([0,1]).
Pour reconnaître ce type de fonctions, voir fonction en escalier.
Soit D(x) = 1 si x ∈ ℚ ∩ [0,1], 0 sinon. Si on essaye d’intégrer |D|, on trouve 0, car l’ensemble des rationnels a mesure nulle.
D appartient aussi à L1([0,1]) ! Cela va au-delà des cas classiques (continuité par morceaux).
Considérons f(x) = 1/√x sur [0,1].
∫01 1/√x dx = 2, donc f ∈ L1([0,1]).
À l’inverse, si on prend h(x) = 1/x sur [0,1], l’intégrale diverge : h ∉ L1([0,1]).
Comment détecter la divergence d’une intégrale impropre ?
Applications : pourquoi utiliser L1(I) ?
La notion de fonction intégrable est indispensable dès qu’on aborde des sujets avancés :
- Calcul d’intégrales généralisées : voir intégrales sur intervalle non borné, bornes infinies
- Étude de la convergence : convergence absolue (critères), convergence semi-uniforme (fonctions de référence)
- Réalisation d’intégrations avancées : développements limites, équivalents par DL, fonctions spéciales ln, arctan, racines
- Méthodes d’intégration numérique : méthode de Simpson, somme de Riemann
- Utilisation de l’inégalité triangulaire, l’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquées à des intégrales.
Rappels utiles pour la CPGE scientifique
Être à l’aise avec L1(I) nécessite quelques rappels :
- Bien maîtriser la valeur moyenne d’une fonction, les notions de continuité par morceaux, et la relation de Chasles.
- Bien repérer les fonctions non intégrables : soit à cause de comportements asymptotiques (exemples d’intégrales semi-convergentes), soit à cause du domaine (comparaison série-intégrale).
- Comprendre le théorème fondamental de l’intégration.
Astuces et méthodes pour détecter L1(I)
Pour savoir rapidement si une fonction appartient à L1(I), voici quelques réflexes à avoir :
- Tester l’intégrabilité de |f(x)| grâce à une fonction de référence (fonction à comportement similaire pour la convergence).
- Comparer à des fonctions bien connues pour lesquelles on sait si l’intégrale converge (typiquement 1/xp ou exponentielles).
- Utiliser les notations de Landau pour des fonctions à comportement asymptotique.
Lien entre L1(I) et autres méthodes d’intégration
Les fonctions de L1(I) sont naturellement le cadre des méthodes classiques :
- Intégration par parties (nécessitant des fonctions dérivables et intégrables)
- Changement de variable (substitution) – voir aussi exemples de changements classiques
- Dérivée sous le signe intégrale (formule de Leibniz)
- Tracé de la primitive d’une fonction intégrable
Conclusion
L’espace des fonctions intégrables L1(I) constitue une brique de base incontournable pour tout étudiant en CPGE scientifique. Il permet de généraliser l’intégration à des fonctions qui sortent du cadre classique des fonctions continues, et offre un contexte rigoureux pour traiter convergence, approximation, inégalités et méthodes avancées d’intégration. Sa maîtrise est une étape essentielle pour réussir en analyse, que ce soit pour l’oral ou l’écrit des concours mathématiques.
Pour approfondir
- Fonctions continues par morceaux
- Fonction en escalier : comment la reconnaître
- Intégrer une fonction continue par morceaux : méthode
- Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales
- Inégalité triangulaire : application
- Espaces de fonctions intégrables L1(I) (cours complet)
- Questions de concours sur les intégrales : comment répondre
Retrouvez plus de méthodes, exemples et rappels sur l’intégration en parcours CPGE sur notre site.
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