Intégrer une fonction continue par morceaux : méthode pas à pas
L’intégration des fonctions continues par morceaux est une compétence centrale en mathématiques, particulièrement en CPGE scientifiques. Cette méthode permet de calculer l’intégrale définie de fonctions qui ne sont pas continues sur tout l’intervalle d’intégration, mais qui peuvent l’être sur des intervalles plus petits. Cet article détaille la méthode pas à pas pour intégrer une fonction continue par morceaux, expliquée de manière rigoureuse, illustrée par des exemples variés, et reliée à ses fondements théoriques et historiques.
Rappels et définitions sur les fonctions continues par morceaux
Pour bien comprendre l’intégration de telles fonctions, revenons tout d’abord sur leur définition et leurs propriétés, en lien avec notre article dédié.
Une fonction $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ est dite continue par morceaux sur l’intervalle $[a, b]$ s’il existe une subdivision $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$ telle que $f$ est continue sur chaque intervalle ouvert $(x_{i-1}, x_i)$, et que les limites à droite et à gauche existent en chaque point $x_i$.
Pour explorer plus de détails, consultez les propriétés des fonctions continues par morceaux sur un intervalle.
Fondements théoriques de l’intégration continue par morceaux
L’intégrale d’une fonction continue par morceaux utilise le théorème fondamental de l’analyse, également appelé théorème fondamental de l’intégration. Même si la fonction présente des points de discontinuité, sa structure par morceaux permet d’appliquer le calcul intégral sur chaque partie continue, puis d’additionner les résultats grâce à la relation de Chasles :
Si $a < c < b$, alors $$\int_a^b f(x) \; dx = \int_a^c f(x) \; dx + \int_c^b f(x) \; dx$$
L’intégrabilité d’une fonction continue par morceaux est garantie sur tout intervalle compact, comme expliqué dans notre article fonction intégrable : définition et conditions.
Pourquoi intégrer une fonction continue par morceaux ?
Intégrer de telles fonctions permet d’élargir le champ d’application des méthodes d’intégration classiques à des fonctions importantes en analyse et en physique, par exemple les fonctions en escalier abordées ici : fonction en escalier : comment la reconnaître. Cela permet aussi de traiter des problèmes réels présentant des phénomènes discontinus ou des changements de comportement sur des intervalles spécifiques.
Méthode pas à pas pour intégrer une fonction continue par morceaux
Pour intégrer une fonction continue par morceaux sur un intervalle $[a, b]$, il faut suivre une démarche précise :
- Identifier les points de discontinuité ou de changement de formule : Déterminer la subdivision $\{x_0, x_1, …, x_n\}$ telle que $f$ soit continue sur chaque intervalle $(x_{i-1}, x_i)$. Ces points sont souvent donnés dans l’énoncé ou correspondent à des changements de comportements de $f$.
- Exprimer $f$ par formules sur chaque morceau : Sur chaque intervalle, expliciter la formule de $f$.
- Intégrer chaque morceau séparément : Calculer l’intégrale de $f$ sur chacun des intervalles ouverts $(x_{i-1}, x_i)$.
- Additionner les résultats : Grâce à la relation de Chasles, additionner les résultats pour obtenir l’intégrale sur $[a, b]$.
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Présentation formelle de la méthode
Si $f$ est continue par morceaux sur $[a, b]$ avec une subdivision $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$ et $f$ continue sur chaque $(x_{i-1}, x_i)$, alors :
$$
\int_a^b f(x) dx = \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) dx
$$
Pour une illustration technique de l’intégrale, consultez les sommes de Riemann.
Exemples d’intégration de fonctions continues par morceaux
Soit $f : [0, 2] \to \mathbb{R}$ définie par
$$
f(x) = \begin{cases}
x^2 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 2x + 1 & \text{si } 1 \leq x \leq 2 \end{cases} $$ Intégration : $$ \int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 x^2 dx + \int_1^2 (2x+1) dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 + \left[x^2 + x\right]_1^2 = \frac{1}{3} + [(4+2)-(1+1)] = \frac{1}{3} + (6-2) = \frac{1}{3} + 4 = \frac{13}{3} $$
Soit $g : [-1, 1] \to \mathbb{R}$ définie par
$$
g(x) = \begin{cases}
0 & \text{si } x < 0 \\ 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases} $$ Cette fonction en escalier intervient par exemple dans le calcul de la valeur moyenne d’une fonction. On a :
$$
\int_{-1}^1 g(x) dx = \int_{-1}^0 0 dx + \int_0^1 1 dx = 0 + 1 = 1
$$
Difficultés courantes et erreurs à éviter
- Ne pas négliger les points de subdivision : toute discontinuité ou changement de formule impose de redécouper l’intégrale.
- Bien vérifier les bornes de chaque morceau : la notation exacte des intervalles ouverts ou fermés importe pour la justification mathématique.
- Utiliser la relation de Chasles pour justifier la somme des intégrales partielles.
Pour aborder des intégrales plus complexes encore, explorez l’intégration par parties ou le changement de variable.
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Histoire et contexte de l’intégration des fonctions continues par morceaux
L’étude des fonctions continues par morceaux et leur intégration découle des recherches de Riemann et Jordan au XIXème siècle. Riemann a introduit la notion d’intégrabilité par morceaux pour pouvoir étendre le concept d’intégrale au-delà des fonctions strictement continues. Ces avancées ont été fondamentales pour le développement de l’analyse, ainsi que dans la construction des espaces de fonctions intégrables (espaces de Lebesgue $L^1$). La compréhension de la convergence des intégrales dépend aussi beaucoup de la régularité par morceaux, comme expliqué dans le comportement des fonctions de référence pour la convergence des intégrales.
Quand une intégrale d’une fonction continue par morceaux converge-t-elle ?
Sur un intervalle fini, toute fonction continue par morceaux est intégrable. Les critères de convergence sont abordés dans les critères de convergence absolue et les intégrales semi-convergentes. Lorsque l’intervalle est infini, il faut utiliser la méthode des intégrales sur un intervalle non borné.
Applications : questions courantes en concours
Lors des concours scientifiques, il est fréquent de devoir répondre à des questions sur les intégrales de fonctions continues par morceaux, que ce soit pour démontrer l’intégrabilité, calculer une primitive ou évaluer explicitement une aire.
Liens pour aller plus loin
- Développements limités et intégrales
- Équivalents et intégrales
- Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales
- Inégalité triangulaire pour les intégrales
- Tracer la primitive d’une fonction
- Intégration de fonctions ln, arctan, racines
- Méthodes numériques d’intégration : méthode de Simpson
- Notations de Landau et intégrales
- Changements de variable classiques en intégration
- Détecter la divergence d’une intégrale impropre
- Comparaison série-intégrale
- Dérivée d’une fonction définie par une intégrale à variable
Résumé : Points clés pour intégrer une fonction continue par morceaux
- Identifier les points de discontinuité ou de changement de formule.
- Exprimer $f$ sur chaque intervalle.
- Calculer chaque intégrale partielle, puis additionner.
- Se référer aux théorèmes clés (théorème fondamental de l’intégration, relation de Chasles).
- Utiliser les propriétés de convergence si l’intervalle n’est pas borné.
N’hésitez pas à vous entraîner sur des exemples variés et à consulter nos autres articles thématiques sur l’intégration et les fonctions continues par morceaux pour approfondir la méthode.
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