La maîtrise de la comparaison entre séries et intégrales est une compétence clé demandée en CPGE scientifique. Cette méthode, appelée communément méthode de comparaison série-intégrale, permet de déterminer la convergence ou la divergence de certaines séries, notamment à termes positifs, en les confrontant au comportement d’une intégrale sur un domaine similaire. Cet article propose une étude complète de la méthode, ses fondements, ses théorèmes principaux, des exemples variés et ses liens avec d’autres outils fondamentaux de l’analyse.
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1. Pourquoi comparer série et intégrale ?
En analyse, l’étude de la convergence des séries numériques de termes positifs, et plus largement des successions d’intégrales, est essentielle pour résoudre de nombreux problèmes, comme ceux liés aux fonctions continues par morceaux, l’intégration de fonctions continues par morceaux ou à la convergence absolue des intégrales. La méthodologie de comparaison permet souvent d’éviter des calculs compliqués et d’établir rapidement si une série diverge ou converge, en utilisant le comportement mieux connu des intégrales associées.
2. Fondements théoriques de la comparaison série/intégrale
Définition : La méthode de comparaison série/intégrale consiste à associer à une série de termes positifs ∑n=N+∞ an une fonction f définie sur [N, +∞[ vérifiant f(n) = an, puis à comparer la convergence de la série à celle de l’intégrale ∫N+∞ f(x) dx.
Théorème de la série intégrale : Soit f : [n0, +∞[ → ℝ une fonction positive, décroissante et continue à partir d’un certain rang n0. Alors :
- La série ∑n=n0+∞ f(n) converge si et seulement si l’intégrale impropre ∫n0+∞ f(x) dx converge.
Cette règle est également appelée critère de Cauchy pour la série intégrale ou critère de convergence série-intégrale. Il permet non seulement de décider la convergence, mais également d’affiner le calcul d’équivalents.
3. Démarche détaillée de la méthode
- Étape 1 : Identifier la série à comparer, vérifier la positivité et la monotonie décroissante des termes an.
- Étape 2 : Définir la fonction f(x) sur [N, +∞[ par f(n) = an (généralement pour N suffisamment grand pour que la monotonie soit assurée).
- Étape 3 : Étudier la convergence ou divergence de l’intégrale ∫N+∞ f(x) dx (via les techniques classiques : recherche d’exposant, équivalents, comparaison, changement de variable…).
- Étape 4 : Conclure sur la convergence ou divergence de la série par le théorème ci-dessus.
Cette méthode est détaillée sur la page méthode de comparaison série/intégrale. Un outil puissant de cette technique repose sur la possibilité d’invoquer d’autres critères (série divergente, série de Bertrand, p-séries, etc.), à retrouver dans la partie questions de concours sur les intégrales.
4. Fondements analytiques et rappel historique
La justification rigoureuse du procédé tient à une comparaison fine des sommes de Riemann (séries) et des intégrales définies correspondantes. En effet, dès le XIXe siècle, Cauchy, puis Dirichlet et Abel, ont remarqué que, pour des fonctions décroissantes et positives, les sommes partielles d’une série pouvaient être encadrées par l’intégrale sur [n,n+1], conduisant à une équivalence de comportement au seuil de la convergence.
La méthode bénéficie de la proximité conceptuelle des outils : pour des fonctions ou suites “bien comportées”, leur aire (intégrale) et leur somme (série) évoluent de façon comparable à l’infini (développements et équivalents d’intégrales).
5. Exemples concrets d’utilisation de la méthode
- La fonction f(x) = 1/xp est positive, continue, décroissante sur [1, +∞[.
- On étudie l’intégrale impropre : ∫1+∞ 1/xp dx.
- Celle-ci converge si p > 1 ; diverge sinon.
- Par le théorème ci-dessus, la série converge si p > 1 ; diverge sinon.
- On pose f(x) = 1/(x ln(x)α), positive, continue, décroissante sur [2, +∞[.
- L’étude de l’intégrale associée : ∫2+∞ 1/(x ln(x)α) dx montre la convergence si α > 1 (fonctions de référence pour la convergence des intégrales).
- La série converge si et seulement si α > 1.
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6. Rappels pratiques et points de vigilance
- La fonction f(x) doit être positive, décroissante et continue à partir d’un certain rang (fonction en escalier pour comprendre les fonctions à valeurs constantes par morceaux).
- La méthode ne conclut pas sur la somme exacte de la série ni sur la valeur de l’intégrale, mais uniquement sur la convergence.
- Il existe des raffinements grâce aux propriétés de linéarité de l’intégrale, développements limités et aux équivalents d’intégrales.
- Pour certaines fonctions, on peut utiliser la méthode d’intégration par parties pour étudier la convergence de l’intégrale.
- Dans le cas où la fonction associée n’est pas strictement décroissante ou ne prend pas des valeurs positives, d’autres méthodes (inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire) sont requises.
7. Applications avancées et généralisations
- L’étude d’intégrales semi-convergentes repose également souvent sur un procédé de comparaison avec une intégrale de référence.
- La notion de fonction intégrable en L1 nécessite d’évaluer la convergence d’intégrales de ce type.
- Le passage aux espaces L1 s’effectue fréquemment par extensions de la méthode série/intégrale avec des fonctions à valeurs numériques positives ou de signe constant.
8. Résumé schématique de la méthode série/intégrale
- Vérifier la positivité, continuité et décroissance de la fonction f(x) associée à la série ∑ an.
- Étudier la convergence de ∫N+∞ f(x) dx.
- Conclure sur la convergence/divergence de la série par le théorème série/intégrale.
- Exploiter pour des études de convergence, l’évaluation de l’intégrale sur un intervalle non borné ou la recherche de primitives.
9. Aller plus loin
Pour compléter l’étude de la méthode série/intégrale et la relier à l’ensemble des outils du programme CPGE, vous pouvez approfondir :
- Notations de Landau pour les intégrales
- Intégration de fonctions log, arctan, racines
- Méthodes numériques d’intégration : exemple de la méthode de Simpson
- Tracer la primitive d’une fonction
- Dérivée d’une fonction définie par une intégrale à variable
Pour être performant aux concours, il est crucial de travailler de nombreux exemples comme vu ci-dessus, et de se familiariser avec les cas limites, le choix de la fonction associée, et les outils d’analyse classiques (convergence absolue, détection de divergence, etc.).
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