Comprendre les fonctions continues par morceaux : définition et exemples

En classes préparatoires scientifiques (CPGE), la maîtrise des fonctions continues par morceaux est indispensable pour aborder l’étude des intégrales, des suites et des séries, ainsi que des méthodes avancées d’analyse. Cet article présente une explication approfondie de cette notion, en détaillant sa définition, ses fondements théoriques, ses usages classiques et de nombreux exemples pour que la notion soit parfaitement comprise. Des liens internes vous orienteront vers les concepts complémentaires à explorer pour progresser dans la maîtrise du programme d’analyse en CPGE.

Définition d’une fonction continue par morceaux

Une fonction continue par morceaux est, intuitivement, une fonction qui peut présenter des « coupures » ou « ruptures » mais reste continue sur chaque segment prédéfini de son domaine. Formulée plus rigoureusement :

Soit I un intervalle réel (borné ou non) et f : I ⟶ ℝ une fonction. On dit que f est continue par morceaux sur I s’il existe une subdivision (a_0, a_1, …, a_n) de I telle que :

• pour tout k dans [0, n-1], la restriction de f à ]a_k, a_{k+1}[ est continue,
• pour tout k dans [1, n-1], la fonction f admet une limite finie à gauche en a_k et une limite finie à droite en a_k.

En d’autres termes, une fonction continue par morceaux n’est pas nécessairement continue sur tout I, mais ses éventuelles discontinuités sont de type simple, c’est-à-dire « franchissables » avec des valeurs de limite finies. Pour des rappels sur la notion de continuité, consultez l’article Fonctions continues par morceaux : définition et exemples.

Fondements théoriques et historique

L’étude des fonctions continues par morceaux trouve ses racines dans l’essor du calcul intégral au 18^e siècle. Pour garantir l’existence de l’intégrale (et plus tard, de la série de Fourier), on exigeait une certaine régularité minimale des fonctions, sans qu’elles soient nécessairement continues partout. Ainsi, le concept de « continuité par morceaux » fut introduit pour élargir le champ des fonctions intégrables au sens de Riemann, tout en conservant une structure suffisante sur chaque intervalle pour mener des calculs rigoureux. Plus de détails sur la notion de fonction intégrable, dans l’article Fonction intégrable : définition et conditions.

D’un point de vue théorique, travailler avec les fonctions continues par morceaux est essentiel pour appliquer le théorème fondamental de l’intégration et manipuler diverses propriétés des intégrales telles que la relation de Chasles, les méthodes d’intégration par parties et les changements de variable.

Construction et subdivision d’une fonction continue par morceaux

La notion de subdivision est centrale lorsque l’on étudie la continuité par morceaux. Généralement, on divise l’intervalle d’étude en plusieurs segments, sur chacun desquels la fonction est parfaitement continue. Les points de coupure correspondent aux passages d’un segment à l’autre, et des vérifications précises de l’existence des limites doivent être effectuées. Pour en savoir plus, consulter Fonctions continues par morceaux sur un intervalle : propriétés.

Exemple 1 : La fonction valeur absolue

Considérons la fonction f(x) = |x| définie sur ℝ. On peut la voir comme continue sur ℝ tout entier, mais si l’on préfère, on peut aussi la traiter comme continue par morceaux en la subdivisant en deux parties :

• sur ℝ⁻, f(x) = -x, fonction linéaire donc continue ;
• sur ℝ⁺, f(x) = x, fonction linéaire donc continue.

Au point x = 0, la limite à gauche et à droite existe et vaut f(0) = 0. Il n’y a pas de discontinuité réelle, donc c’est un cas de figure simple d’une fonction continue, donc a fortiori continue par morceaux.

Exemple 2 : La fonction en escalier

La fonction en escalier classique associée, par exemple, à la fonction « partie entière » : f(x) = ⌊x⌋ sur ℝ. Cette fonction est constante sur chaque intervalle [n, n+1[, avec des sauts discrets à chaque entier n. Les limites à droite et à gauche aux points de coupure existent, bien que la fonction présente de vraies discontinuités (sauts).

Exemple 3 : La fonction définie par morceaux

Une fonction couramment rencontrée :

f(x) = 
  { x²,    si x < 1
  { 2−x,   si 1 ≤ x < 2
  { 1,     si x ≥ 2

Il suffit de vérifier la continuité sur chaque segment (ce sont des fonctions classiques continues), et la présence de limites finies à x=1 et x=2, même si une rupture de continuité existe.

Intérêt et usages en CPGE scientifique

Les fonctions continues par morceaux interviennent dans de nombreux contextes :

• Primitives et intégrales : Elles permettent de mener à bien le calcul de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux en découpant chaque segment et en appliquant les méthodes classiques (intégration par parties, changement de variable, etc.).
• Études de convergence : Elles sont le socle pour aborder la convergence absolue des intégrales ou l’étude de l’intégrale semi-convergente.
• Séries de Fourier et fonctions paires ou impaires : On rencontre fréquemment des fonctions continues par morceaux lorsqu’il s’agit de développer une fonction en série de Fourier ou de travailler sur des intervalles symétriques.

Critères pratiques et propriétés essentielles

Pour savoir si une fonction est continue par morceaux, on peut utiliser les critères suivants :

• Découper l’intervalle d’étude : Identifier les points où la définition de la fonction change.
• Vérifier la continuité sur chaque sous-intervalle : S’assurer qu’il n’y a pas de « saut » autre que possible aux points de subdivision.
• Vérifier l’existence des limites à gauche et à droite en chaque point de rupture, et leur finitude.

Retrouvez plus de critères et de méthodes dans l’article sur les propriétés des fonctions continues par morceaux.

Lien avec l’intégrabilité au sens de Riemann

Toute fonction continue par morceaux sur un intervalle borné est Riemann-intégrable. Cela signifie qu’on peut calculer l’aire sous sa courbe en découpant l’intervalle en segments sur lesquels elle est continue, puis en sommant les intégrales sur chaque intervalle. C’est la base de la méthode des sommes de Riemann qui fonde l’intégration classique.

Elles constituent donc une classe de fonctions très manipulée, à la fois vaste et « raisonnable » pour les calculs analytiques. Ces propriétés sont cruciales dans l’application du théorème fondamental de l’intégration et pour utiliser divers résultats majeurs sur les intégrales comme l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Autres exemples classiques

• Fonction indicatrice d’un intervalle I : définie par f(x) = 1 si x ∈ I et f(x) = 0 sinon. C’est une fonction en escalier typique, très utilisée dans les espaces de fonctions intégrables.
• Fonction périodique définie par morceaux : ex : f(x) = sgn(sin(x)), la fonction signe du sinus. Continue par morceaux sur ℝ, avec des points de rupture aux multiples de π.
• Fonction définie par combinaison de fonctions classiques : f(x) = e^−x pour x ≤ 0, ln(x+1) pour x > 0.

Pistes de révisions et approfondissement

• Intégrer une fonction continue par morceaux : méthode
• Intégration par parties : méthodes et exemples
• Changement de variable : intégration et étapes
• Fonctions de référence pour la convergence des intégrales
• Fonction intégrable : définition et conditions

Conclusion

Les fonctions continues par morceaux constituent un outil incontournable de l’analyse en CPGE : elles modélisent de nombreux phénomènes, facilitent l’étude des passages à la limite et garantissent l’applicabilité des grandes méthodes d’intégration. Savoir les étudier, les reconnaître et les intégrer constitue une compétence fondamentale pour les étudiants en mathématiques et sciences physiques.

• Pour approfondir, réviser les articles associés : Relation de Chasles et intégrale linéaire, Intégration des fonctions ln, arctan, racines ou Méthodes numériques : la méthode de Simpson.
• Tentez des problèmes de questions de concours sur les intégrales pour vous entraîner en conditions réelles.