L’étude des inégalités intégrales occupe une place prépondérante dans la formation mathématique des élèves de classes préparatoires scientifiques. Parmi elles, l’inégalité de Cauchy-Schwarz se distingue par sa large applicabilité, tout en s’inscrivant dans une famille d’outils permettant de majorer, minorer ou comparer des intégrales. Ce guide exhaustif vous propose d’approfondir la compréhension, le contexte historique, la portée et l’utilisation des principales inégalités intégrales, à travers des définitions rigoureuses, des démonstrations claires et des exemples concrets.
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Contexte historique et rôle des inégalités intégrales
Du développement de l’analyse intégrale au XIXe siècle, les mathématiciens comme Augustin-Louis Cauchy et Hermann Amandus Schwarz ont œuvré à structurer l’étude de fonctions et d’intégrales, notamment en introduisant des bornes pour assurer la convergence ou comparer deux quantités continues. La généralisation de ces inégalités a ouvert la voie à de nombreux domaines d’application : intégration de fonctions continues par morceaux, dérivation sous le signe intégral, convergence d’intégrales, ou encore calcul de norme dans les espaces de fonctions intégrables (voir l’article espaces L1 – définition).
Fondements théoriques de l’inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions continues par morceaux sur un intervalle \([a, b]\). On a :
\[
\left| \int_a^b f(x)g(x)\,dx \right| \leq \sqrt{\int_a^b f(x)^2\,dx} \times \sqrt{\int_a^b g(x)^2\,dx}
\]
Cette inégalité est fondamentale dans l’étude des espaces de Hilbert et s’interprète comme une généralisation de la notion géométrique d’angle à l’espace des fonctions intégrables au carré.
Rappel sur les fonctions continues par morceaux
Le cadre d’application de Cauchy-Schwarz requiert souvent de travailler avec des fonctions continues par morceaux. Pour approfondir ce concept, voir :
définition et exemples de fonctions continues par morceaux,
propriétés sur un intervalle.
Démonstration de l’inégalité de Cauchy-Schwarz
Considérons le carré de la norme de toute combinaison linéaire \( f + \lambda g \) :
\[
0 \leq \int_a^b (f(x) + \lambda g(x))^2\,dx
\]
En développant et annulant le discriminant du polynôme en \( \lambda \), on obtient l’inégalité désirée. Cette démarche formelle garantit la robustesse de Cauchy-Schwarz, quel que soit le contexte (fonctions réelles ou complexes, cas intégrable par morceaux, etc.).
Autres inégalités intégrales à connaître en CPGE
La maîtrise de l’inégalité de Cauchy-Schwarz s’accompagne usuellement d’autres outils essentiels, souvent mobilisés en exercices et problèmes de concours : inégalité de Jensen, inégalité triangulaire pour les intégrales, inégalité de Hölder, inégalité de Minkowski.
Si \( p, q > 1 \) tels que \( 1/p + 1/q = 1 \), alors pour \( f, g \) mesurables
\[
\int_a^b |f(x)g(x)|\,dx \leq \left(\int_a^b |f(x)|^p dx \right)^{1/p} \left( \int_a^b |g(x)|^q dx \right)^{1/q}
\]
\[
\left| \int_a^b f(x)\,dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx
\]
Consultez l’article application de l’inégalité triangulaire à l’intégrale pour plus de détails.
Inegalité de Jensen
Soit \( \phi \) une fonction convexe et \( f \) intégrable, alors
\[
\phi \left( \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx \right) \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b \phi(f(x))\,dx
\]
L’inégalité de Jensen intervient particulièrement pour majorer ou minorer les valeurs moyennes ; elle relie les notions d’intégrale et de convexité (voir également calcul de la valeur moyenne d’une fonction continue).
Exemples concrets d’utilisation des inégalités intégrales
Majoration d’une intégrale avec Cauchy-Schwarz
Appliquons Cauchy-Schwarz :
\[
\left| \int_0^1 \sin(x)e^{x}dx \right| \leq \sqrt{ \int_0^1 \sin^2(x)dx } \times \sqrt{ \int_0^1 e^{2x} dx }
\]
Cela permet d’obtenir rapidement une borne supérieure sans calculer explicitement l’intégrale.
Application à la convergence d’intégrales intempestives
En utilisant Cauchy-Schwarz :
\[
\left| \int_1^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x^{3/2}} dx \right| \leq \sqrt{ \int_1^{+\infty} \frac{\sin^2(x)}{x^3} dx } \times \sqrt{ \int_1^{+\infty} dx }
\]
La convergence de l’intégrale du carré assure alors la convergence de l’intégrale initiale.
Pour les critères de convergence absolue, voir aussi l’article convergence absolue d’une intégrale et comparaison série-intégrale : méthode.
Utilisation dans le calcul de normes de fonctions
On compare \( \| f \|_1 = \int_a^b |f(x)| dx \) et \( \| f \|_2 = \sqrt{\int_a^b f(x)^2 dx} \).
L’inégalité de Cauchy-Schwarz fournit alors
\[
\left( \int_a^b |f(x)| dx \right)^2 \leq (b-a)\int_a^b f(x)^2 dx
\]
Pour la notion de fonction intégrable, consultez fonction intégrable : définitions et conditions.
Utilisation des inégalités intégrales dans d’autres méthodes d’intégration
Les inégalités intégrales s’intègrent naturellement à différentes méthodes de calcul d’intégrales :
- Intégration par parties : estimation de la taille des termes résiduels.
- Changement de variable, changements classiques.
- Intégrales à bornes infinies, semi-convergence.
- Sommes de Riemann pour l’approximation.
L’utilisation judicieuse des inégalités permet d’anticiper le comportement asymptotique ou la convergence d’une intégrale.
Pour voir d’autres méthodes, référez-vous à méthode d’intégration d’une fonction continue par morceaux.
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Critères et conditions d’application
L’inégalité de Cauchy-Schwarz et ses consœurs s’appliquent dès lors que les fonctions considérées sont intégrables (au moins au carré pour Cauchy-Schwarz, à la puissance \( p \) pour Hölder, continues par morceaux, voire en escalier, comment reconnaître une fonction en escalier). Veillez à toujours vérifier la mesurabilité et la convergence des intégrales utilisées. Pour des précautions sur les cas de divergence, voyez l’article détecter la divergence d’une intégrale impropre.
Synthèse des principales inégalités intégrales à connaître
- Inégalité de Cauchy-Schwarz : outil de comparaison pour produits de fonctions.
- Inégalité de Hölder : généralisation de Cauchy-Schwarz pour différentes puissances (détail ici).
- Inégalité triangulaire : bornage de l’intégrale d’une somme ou d’une valeur absolue.
- Inégalité de Minkowski : analogie de l’inégalité triangulaire pour normes Lp.
- Inégalité de Jensen : pour les fonctions convexes et valeurs moyennes.
Leur maîtrise constitue l’un des piliers de la réussite aux concours scientifiques (voir questions de concours sur les intégrales).
Perspectives et liens internes pour approfondir
Pour aller plus loin sur le thème des intégrales en CPGE scientifique :
- Théorème fondamental de l’intégration
- Relation de Chasles et linéarité de l’intégrale
- Développements limités et intégrales
- Notations de Landau et estimation d’intégrales
- Intégration de fonctions (ln, arctan, racines…)
- Méthodes numériques : Simpson, rectangle, trapèze…
- Tracer la primitive d’une fonction
- Dérivée d’une fonction définie par une intégrale
- Équivalents et intégrales (développements limités)
Conclusion
L’inégalité de Cauchy-Schwarz et les principales inégalités intégrales forment une grille de lecture et d’outillage indispensable pour quiconque souhaite réussir dans l’analyse intégrale, et plus globalement, aborder avec confiance les épreuves et exercices de mathématiques en CPGE scientifique.
Les utiliser à bon escient, c’est garantir à la fois rigueur et efficacité dans l’estimation ou la résolution de nombreux problèmes d’intégration.
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