Définir une fonction intégrable : cadre et conditions

Le concept de fonction intégrable occupe une place centrale dans l’analyse, notamment au sein des classes préparatoires scientifiques (CPGE). Savoir repérer et traiter ce type de fonction est incontournable pour mener à bien l’étude d’intégrales, s’orienter dans la résolution de problèmes plus complexes ou aborder avec rigueur les différentes méthodes d’intégration (intégration par parties, changement de variable, intégration sur des intervalles non bornés, etc.). Ce guide exhaustif propose de clarifier la définition d’une fonction intégrable, de présenter ses conditions, son cadre mathématique, et d’illustrer ces éléments à travers des exemples variés issus du programme de CPGE scientifique.

1. Cadre général et motivation

L’étude de l’intégrabilité d’une fonction est au cœur du calcul intégral. Que ce soit pour calculer des aires, des volumes, déterminer des valeurs moyennes ou estimer des probabilités, l’existence de l’intégrale dépend avant tout de l’intégrabilité de la fonction considérée. Cette notion émerge historiquement des travaux de Riemann, avant d’être largement étendue (notamment par Lebesgue). Dans le contexte de la CPGE, on se limite souvent à l’intégrale de Riemann et à quelques extensions.

2. Fondements théoriques de l’intégrabilité

2.1 Approche par les sommes de Riemann

Pour comprendre ce qu’est une fonction intégrable, il faut s’appuyer sur le principe des sommes de Riemann. L’idée est de découper l’intervalle $[a, b]$ en un grand nombre de sous-intervalles et d’approcher l’aire sous la courbe $y = f(x)$ par une somme d’aires de rectangles.

Si, en raffinant la subdivision (c’est-à-dire, en rendant chaque sous-intervalle de plus en plus petit), la valeur de ces sommes converge vers une valeur limite unique, alors la fonction est dite intégrable au sens de Riemann.

Ce résultat peut être généralisé aux fonctions continues par morceaux ou fonctions en escalier, très courantes dans les exercices de CPGE.

2.2 Conditions nécessaires et suffisantes – Critères d’intégrabilité

Voici quelques propriétés fondamentales :

• Une fonction continue sur $[a, b]$ est toujours intégrable sur cet intervalle (Théorème fondamental de l’intégration).
• Une fonction continue par morceaux sur $[a, b]$ est intégrable sur $[a, b]$ (c’est-à-dire continue sauf sur un ensemble fini de points où elle présente des discontinuités de première espèce).
• Les fonctions en escalier sont intégrables.
• Une fonction dont l’ensemble des discontinuités est de mesure nulle est intégrable au sens de Riemann.

La théorie se prolonge ensuite à des cas plus sophistiqués, par exemple avec la notion de convergence absolue ou d’espace $L^1$ des fonctions intégrables au sens de Lebesgue.

3. Rappels sur les types de fonctions intégrables

3.1 Fonctions continues et continue par morceaux

En savoir plus sur les fonctions continues par morceaux.

3.2 Fonctions en escalier

Découvrez comment reconnaître une fonction en escalier.

4. Exemples concrets et contre-exemples d’intégrabilité

4.1 Fonction intégrable : cas classique

4.2 Fonction discontinue sur un ensemble fini

4.3 Fonction non intégrable

4.4 Fonctions à discontinuités denses

5. Liens avec d’autres méthodes et approfondissements

• Voir la méthode d’intégration d’une fonction continue par morceaux.
• Consultez le théorème fondamental de l’intégration pour la justification de l’intégrabilité des fonctions continues.
• L’intégrabilité est un prérequis pour l’utilisation des méthodes d’intégration par parties, de changement de variable, ou, plus généralement, pour la manipulation des relations de linéarité des intégrales.
• La relation d’inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales requiert également l’intégrabilité des fonctions considérées.

6. Contextes particuliers : intégrabilité sur des intervalles non bornés et semi-convergentes

Pour des fonctions définies sur des intervalles non bornés ou admettant des singularités en bout d’intervalle, le concept d’intégrale impropre intervient. Dans ce cas, la notion d’intégrabilité doit être adaptée.

• Pour approfondir, voir intégrales sur un intervalle non borné, bornes infinies et méthodes associées, et intégrales semi-convergentes.
• La convergence ou divergence d’une intégrale impropre dépend du comportement de la fonction au voisinage des points « problématiques ». Voir comment détecter la divergence d’une intégrale impropre et comparaison série-intégrale.

7. Syntaxe et notations

On emploie fréquemment les fonctions de référence pour vérifier l’intégrabilité, tout comme des développements limités afin d’étudier la convergence des intégrales dans des cas limites.

Un point essentiel en CPGE : l’intégrabilité s’obtient parfois par l’examen de la convergence absolue, ou en plaçant l’étude au sein de l’espace $L^1$. Cela permet d’exploiter l’ensemble des propriétés des intégrales en vue des applications analytiques ou probabilistes futures.

Conclusion

Définir une fonction intégrable revient à vérifier un ensemble précis de conditions (continuité, continuité par morceaux, nature des discontinuités, comportements aux bornes). Cette étape préalable au calcul effectif de l’intégrale conditionne toute la suite de l’analyse : justifier l’intégrabilité prépare à utiliser les outils avancés du calcul intégral. Pour progresser, il est conseillé de travailler sur de nombreux exemples et de se référer aux articles dédiés pour chaque catégorie de fonctions et chaque méthode d’intégration.

• Pour l’accès aux exercices et questions de concours, voir questions de concours sur les intégrales.
• Pour le calcul des valeurs moyennes ou la recherche de primitives, consultez valeur moyenne d’une fonction continue et tracer la primitive d’une fonction par l’intégration.
• Pour la manipulation d’intégrales sous forme de variable, voir dérivée d’une fonction par intégrale à variable.
• Pour les méthodes numériques, lire méthodes numériques – méthode de Simpson.

Ressources complémentaires du silo

• Fonctions continues par morceaux : définition et exemples
• Fonction en escalier : comment la reconnaître ?
• Intégrer une fonction continue par morceaux : méthode
• Théorème fondamental de l’intégration expliqué
• Convergence absolue d’une intégrale : critères

• Notations de Landau et intégrales
• Intégration des fonctions ln, arctan, racines
• Questions de concours : comment répondre sur les intégrales

• Inégalité triangulaire pour une intégrale
• Équivalents et intégrales, méthodes DL
• Changements de variable classiques pour une intégrale

• Développements limités et intégrales
• Espaces des fonctions intégrables $L^1$