Aborder les questions types de concours sur les intégrales en CPGE scientifique demande autant de rigueur que de méthode. Les sujets sur les intégrales, fréquents en mathématiques lors des écrits des concours comme Centrale, Mines ou encore Polytechnique, visent à la fois à tester la maîtrise calculatoire et la compréhension approfondie du concept d’intégration. Cet article expose une méthode détaillée pour répondre efficacement à ces questions, en s’appuyant sur les fondements théoriques de l’intégration, des rappels essentiels, des exemples variés, ainsi qu’un panorama des méthodes incontournables à connaître.
1. Mise en contexte : pourquoi les intégrales sont un thème central des concours
L’étude des intégrales occupe une place prégnante dans l’enseignement en classes préparatoires scientifiques. Il ne s’agit pas uniquement de savoir calculer ; le jury attend du candidat une maitrise conceptuelle et une aisance à manier les outils, notamment pour démontrer la convergence ou la divergence, interpréter géométriquement, ou utiliser des théorèmes clés tels que le changement de variables, l’intégration par parties ou l’emploi d’inégalités.
Pour mieux comprendre l’importance de ces questions, il peut être pertinent de se reporter à l’article sur le théorème fondamental de l’analyse et sa portée en analyse réelle.
2. Fondements théoriques de l’intégration
L’intégrale de Riemann d’une fonction $f$ sur l’intervalle $[a,b]$ est la limite, lorsque la taille du pas tend vers zéro, de la somme des aires de rectangles de base $[x_{i-1}, x_i]$ et de hauteur $f(t_i)$, pour des points $t_i \in [x_{i-1}, x_i]$ :
$$
\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{|\mathcal{P}|\to 0} \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i – x_{i-1}).
$$
L’intégrabilité d’une fonction dépend de ses propriétés de régularité sur l’intervalle d’intégration. Pour bien saisir ce point, il est essentiel de savoir distinguer les fonctions continues par morceaux, leur propriétés sur un intervalle ou encore la notion de fonction en escalier.
3. Quels types de questions sur les intégrales au concours ?
Les sujets proposés exploitent de multiples facettes de l’intégrale :
- Justifier l’existence ou la convergence d’une intégrale.
- Calculer une intégrale à l’aide d’un changement de variable, d’une intégration par parties, ou en utilisant la linéarité.
- Comparer une intégrale à une autre pour en déduire la convergence.
- Déterminer la valeur moyenne d’une fonction intégrable.
- Étudier la dépendance d’une intégrale à un paramètre ($\int_a^b f(x,t)dx$).
- Traiter des cas particuliers : intégrales impropres, sur des intervalles non bornés, intégrales de fonctions à valeurs absolues, semi-convergentes etc.
Chaque type de question répond à une méthode particulière qui sera détaillée ci-après.
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4. Distinguer les étapes clés pour répondre efficacement aux questions sur les intégrales
Face à une question d’intégrale, il convient de procéder, pour tout sujet classique ou original, selon une démarche ordonnée :
- Déterminer la nature de la fonction : continue, continue par morceaux, majorée…
- Préciser l’intervalle d’intégration : borné, non borné, présence de singularités…
- Justifier l’existence de l’intégrale : utiliser les critères de convergence, expliquer à l’aide d’exemples connus ou de la comparaison, éventuellement de notions sur la fonction intégrable.
- Choisir la méthode adaptée : changement de variable, intégration par parties, inégalités. Retrouvez l’intégration par parties illustrée, ou encore le changement de variable étape par étape.
- Procéder au calcul ou à l’encadrement : calcul effectif ou inégalités précises (de Cauchy-Schwarz par exemple, dont une présentation se trouve ici).
- Interpréter le résultat : sens géométrique, applications, propriétés de la fonction primitive (voir comment tracer une primitive).
Rédigez toujours toutes les justifications, même celles qui paraissent évidentes, pour répondre aux attentes du correcteur.
5. Exemples résolus et usages typiques de chaque méthode
5.1 Vérifier la convergence d’une intégrale impropre
Un exemple classique concerne l’intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha}\,dx$, avec $\alpha > 0$.
- Si $\alpha > 1$, l’intégrale converge, avec $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha}\,dx = \frac{1}{\alpha-1}$.
- Si $\alpha \leq 1$, l’intégrale diverge.
Retrouvez plus de détails sur ce type de techniques dans l’article sur les intégrales sur un intervalle non borné.
5.2 Utiliser une intégration par parties
Considérez l’intégrale $\int_0^1 x \ln(x) dx$.
$$
\int_0^1 x \ln(x) dx = \left[\frac{x^2}{2} \ln(x)\right]_0^1 – \int_0^1 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = 0 – \frac{1}{2} \int_0^1 x dx = -\frac{1}{4}
$$
Pour plus d’exemples, reportez-vous à cette ressource sur l’intégration par parties.
5.3 Appliquer la relation de Chasles et la linéarité de l’intégrale
Supposons que l’on vous demande de traiter $\int_0^2 (x^2 – 1)\,dx$.
$$
\int_0^2 (x^2 – 1)\,dx = \int_0^2 x^2 dx – \int_0^2 1 dx
= \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 – [x]_0^2 = \left(\frac{8}{3} – 0\right) – (2-0) = \frac{8}{3} – 2 = \frac{2}{3}
$$
Vous pouvez approfondir ce point en lisant cet article sur la relation de Chasles et la linéarité.
5.4 Encadrer par une inégalité pour contrôler une intégrale
Soit $|f(x)| \leq M$ sur $[a,b]$.
$$
|\int_a^b f(x)\,dx| \leq \int_a^b |f(x)| dx \leq M(b-a)
$$
C’est l’inégalité triangulaire, expliquée en détail ici.
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6. Méthode pour aborder les questions sur l’étude d’une fonction ou d’une suite définie par une intégrale
Il est fréquent que l’énoncé propose d’étudier une suite $(u_n)$ définie par $u_n = \int_a^b f_n(x)\,dx$ ou une dépendance à un paramètre. Il faut alors :
- Définir clairement $f_n$ (continuité, monotonie, domination, etc.) ;
- Expliquer l’existence de l’intégrale pour tout $n$ ;
- Étudier la convergence de $(u_n)$ à l’aide d’encadrements, d’équivalents (voir développements limités et intégrales), ou de comparaisons série-intégrale (voir ici).
C’est une occasion de mettre en valeur la rigueur de votre raisonnement et votre maîtrise des outils d’analyse.
7. Lien avec l’histoire de l’intégration et l’évolution des méthodes
La notion d’intégrale, introduite par Riemann au XIXe siècle, a été élargie pour intégrer des fonctions de moins en moins régulières et des intervalles plus généraux. Dès la construction de l’intégrale de Riemann, puis de Lebesgue, la question de la convergence et des propriétés des intégrales s’est révélée centrale en analyse. C’est l’origine de nombreux résultats désormais standard en concours, comme les critères de convergence, ou les diverses méthodes numériques (méthode de Simpson).
8. Synthèse méthodologique et conseils pour exceller
Maîtriser les questions type concours sur les intégrales exige de connaître parfaitement :
- Les définitions et théorèmes fondamentaux,
- Les différentes typologies de fonctions à intégrer (fonctions de référence, fonctions continues par morceaux…),
- La diversité des techniques de calcul et d’encadrement,
- La rédaction impeccable des arguments,
- L’articulation entre calcul formel, interprétation, régularité des fonctions, convergence…
Retrouvez les notions avancées sur : les intégrales semi-convergentes, la convergence absolue, espaces $L^1$, intégration sur des bornes infinies, et bien plus sur notre site.
Pour exceller le jour du concours, entraînez-vous sur de nombreux sujets et variez les façons d’attaquer les questions, pour développer votre capacité d’adaptation à toutes les subtilités possibles.
- Questions concours intégrales : comment y répondre ? (ce guide)
- Théorème fondamental de l’intégration
- Intégration des fonctions ln, arctan, racines
- Notations de Landau et intégrales
Conclusion
Réussir les questions de concours sur les intégrales nécessite une solide structure méthodologique, une maitrise théorique sérieuse et un entraînement sur une large gamme d’exemples. C’est en combinant rigueur, techniques variées et sens de la rédaction que l’on peut viser l’excellence, quel que soit le concours visé en CPGE scientifique.
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