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Exercice : Dénombrabilité des parties de $N$
Montrer que l’ensemble des parties finies de $\mathbb{N}$ est dénombrable.
Indication
Correction
Exercice : Critères de convergence pour les séries alternées et les séries à termes décroissants
Soient deux réels $\alpha$ et $\beta$.
a. À quelle condition la série $\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n^\alpha}$ converge ? Si c’est le cas, quel est le signe de $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^\alpha}$ ?
b. À quelle condition la série $\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^\beta}$ converge ? Si c’est le cas, montrer que $\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^\beta} \sim \frac{1}{+\infty} \frac{1}{(\beta-1) n^{\beta-1}}$.
c. Sous ces conditions, quand la série de terme général $w_n=\frac{\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^\beta}}{\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k^\alpha}}$ converge-t-elle ?
Indication
Correction
Exercice : Valeurs propres et vecteurs propres de l’opérateur de translation
Soit $E = \{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f \text{ est continue et } \lim_{x \to +\infty} f(x) \text{ existe et est finie} \}$.
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme $T$ défini sur $E$ par :
$$
\forall x \in \mathbb{R}, T(f)(x)=f(x+1) .
$$
Indication
Correction
Exercice : Étude d’une application linéaire et de ses sous-espaces propres
Soit $f : \mathbb{C}_n[X] \to \mathbb{C}_n[X]$ définie par
$$
f(P) = (X^2 + X) P(1) + (X^2 – X) P(-1),
$$
où $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{C}_n[X]$.
- Déterminer le noyau et l’image de $f$.
- Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $f$. L’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?
Indication
Correction
Exercice : Diagonalisabilité d’une matrice antisymétrique dans $\mathscr{M}_4(\mathbb{R})$ et $\mathscr{M}_4(\mathbb{C})$
Soit
- Calculer $M^3$.
- La matrice $M$ est-elle diagonalisable dans $\mathscr{M}_4(\mathbb{R})$ ? Dans $\mathscr{M}_4(\mathbb{C})$ ?
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FAQ sur Prépa Booster
Notre plateforme Prépa Booster regroupe un maximum de corrigés de concours CPGE pour te permettre de t’entrainer à ton rythme. Tu trouveras des corrigés des épreuves écrites, et des exercices corrigés, qui sont des grands classiques à connaître, ou ont été posés aux oraux des concours.
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Sur Prépa Booster, tu peux accéder aux annales du concours Mines Ponts, à celles du concours Centrale-Supélec, et aux annales du concours XENS. Tu as également accès ici aux annales des épreuves spécifiques à l’École polytechnique.
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Si tu es en 5/2, tu auras sûrement besoin de consacrer moins de temps à la maitrise du cours que pendant les deux dernières années. Pour maximiser ton potentiel et développer des automatismes, tu peux t’entrainer en faisant des sujets d’écrits, et des exercices corrigés pour maitriser parfaitement les points du programme.
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