Dans le vaste univers de l’analyse, la compréhension des intégrales impropres est une compétence incontournable, notamment pour les étudiants de classes préparatoires scientifiques. Maîtriser la détection et le traitement de la divergence d’intégrale impropre est essentiel pour réussir l’analyse des fonctions, résoudre des exercices des concours ou modéliser certains phénomènes physiques. Aujourd’hui, explorons ensemble les principes fondamentaux, les méthodes pratiques et des exemples concrets pour identifier et traiter la divergence d’une intégrale impropre.
Qu’est-ce qu’une intégrale impropre ? – Définition et contexte
On appelle intégrale impropre une intégrale définie soit sur un intervalle non borné, soit sur un intervalle où la fonction intégrée présente une ou des singularités (points où elle n’est pas définie ou tend vers l’infini).
Exemples typiques :
- $$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx $$ (borne supérieure infinie)
- $$ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx $$ (singularité en 0)
La théorie des intégrales impropres est liée à la continuité des fonctions (fonctions-continues-par-morceaux) et à l’étude de leur comportement asymptotique (développements-limites-intégrales-méthode). Détecter la divergence d’une intégrale impropre consiste donc à déterminer si la « surface sous la courbe » est finie – autrement dit, si l’intégrale admet une valeur réelle finie ou non.
Fondements théoriques : convergence et divergence
Avant d’aborder la méthode de détection, rappelons le critère essentiel de convergence :
Une intégrale impropre de borne $a$ à $b$ converge si, pour toute suite de bornes intermédiaires qui approche la borne singulière ou infinie, la limite de l’intégrale existe et est finie.
Lorsqu’elle diverge, l’intégrale ne fournit pas de valeur réelle. La notion de fonction intégrable apporte un éclairage utile ici.
Pour mieux analyser la convergence, nous allons mobiliser des outils de comparaison, d’équivalents et de développements limités (équivalents-intégrales-dl-méthodes).
Méthode pour détecter la divergence d’une intégrale impropre
La démarche se déroule toujours en trois étapes principales :
-
Localiser la(les) zone(s) de potentielle divergence :
Repérer les bornes infinies (intégrale sur $[a,+\infty[$, $]-\infty, b]$…) ou les points de discontinuité/singularité (dénominateur s’annulant, logarithme vers $-\infty$, racine carrée d’un nombre négatif possible, …).
-
Exprimer l’intégrale comme une limite :
Pour rendre la situation rigoureuse, transformer l’intégrale impropre en une limite d’intégrales classiques :
$$
\int_a^{+\infty} f(x)\, dx = \lim_{A\to+\infty} \int_a^A f(x)\, dx
$$
ou
$$
\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_\varepsilon^1 \frac{1}{x^p} dx
$$ -
Analyser le comportement asymptotique de la fonction sous l’intégrale :
Chercher un équivalent ou une inégalité de comparaison, en s’appuyant sur les grandes fonctions de référence (fonctions-référence-convergence-intégrales), utilisant parfois le théorème fondamental de l’intégration ou encore l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Lorsque la limite calculée est infinie, on conclut à la divergence de l’intégrale. Sinon, elle converge. En cas de doute, la méthode de comparaison série-intégrale renforce le diagnostic.
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Exemples concrets : détecter et traiter la divergence
Examiner la convergence de :
$$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x}\, dx $$
On utilise la définition de l’intégrale impropre :
$$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x}\, dx = \lim_{A\to+\infty} \int_1^A \frac{1}{x}\, dx = \lim_{A\to+\infty} [\ln x]_1^A = \lim_{A\to+\infty} \ln A – \ln 1 = +\infty $$
Donc, l’intégrale diverge.
Tester la convergence de :
$$ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx $$
On transforme :
$$ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_\varepsilon^1 x^{-1/2} dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} [2x^{1/2}]_\varepsilon^1 = 2 – 2\sqrt\varepsilon $$
Lorsque $\varepsilon \to 0^+$, $2\sqrt\varepsilon \to 0$, donc la limite vaut 2 : cette intégrale converge.
Critère général de convergence d’une intégrale impropre de la forme $ \int_0^1 \frac{1}{x^p} dx $
Pour $p>0$, l’intégrale $\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx$ converge si et seulement si $p<1$.
Pour $p\geq 1$, l’intégrale diverge.
$$ \int_0^1 \frac{1}{x^{0,8}} dx $$
Comme $p=0,8 < 1$, l’intégrale converge.
$$ \int_0^1 \frac{1}{x^{1,2}} dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_\varepsilon^1 x^{-1,2} dx $$
Le calcul donne une limite infinie : elle diverge.
Divergence sur un intervalle infini : exemple complémentaire
Examiner la convergence de
$$ \int_0^{+\infty} e^{-x} dx $$
On a :
$$ \int_0^{+\infty} e^{-x} dx = \lim_{A\to+\infty} \int_0^A e^{-x} dx = \lim_{A\to+\infty} [-e^{-x}]_0^A = \lim_{A\to+\infty} (-e^{-A})+e^{0} = 0 + 1 = 1 $$
L’intégrale converge.
Mais
$$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{0,9}} dx = \lim_{A\to+\infty} \int_1^A x^{-0,9} dx $$
La primitive donne $[x^{0,1}/0,1]_1^A$ qui tend vers $+\infty$ quand $A$ grandit. L’intégrale diverge.
Résumer les outils de détection : équivalents et comparaison
Pour détecter la divergence, on API le plus souvent :
- Un équivalent : on cherche la fonction qui a le même type d’asymptotique près de la borne problématique (voir l’article équivalents intégrales dl méthodes).
- La méthode de comparaison : comme détaillé dans comparaison série-intégrale méthode, en encadrant la fonction à intégrer par une fonction dont la convergence ou divergence est connue.
En particulier, lorsque l’on manipule des fonctions plus exotiques (intégrales avec logarithmes, racines, arctan, etc.), on se réfère à integration-fonctions-ln-arctan-racines et à la notion de convergence absolue (convergence-absolue-integrale-criteres).
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Historique et importance en classes préparatoires
L’étude des intégrales impropres, initiée dès le 18e siècle notamment par Cauchy puis Riemann, a permis l’essor du calcul intégral utilisé en physique, analyse de Fourier, statistiques et probabilités. En classes préparatoires, cela constitue la fondation de l’analyse des fonctions continues par morceaux (fonctions-continues-par-morceaux-intervalle-proprietes), des espaces $L^1$ (espaces-fonctions-intégrables-l1), et précède la découverte des propriétés plus fines de convergence (integrales-semi-convergentes-exemples).
La capacité à identifier rapidement une divergence fait le succès lors des épreuves d’intégration (questions-concours-intégrales-comment-répondre), notamment dans la résolution de problèmes où l’on demande de démontrer la convergence ou la divergence sans forcément calculer la valeur explicite – ce qui est courant dans l’analyse réelle.
Les cas limites et exceptions intéressantes
Une intégrale peut aussi présenter une semi-convergence : par exemple
$$ \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx $$
Cette intégrale n’est absolument convergente mais sa valeur principale est finie. Ces situations appellent une attention particulière et l’étude des méthodes d’intégration par parties ou changement de variable.
Conclusion : Les bonnes pratiques à garder à l’esprit
Pour chaque intégrale impropre rencontrée, identifiez :
- Les points de divergence potentielle (bornes infinies ou singularités de la fonction)
- Traduisez l’intégrale comme une limite
- Appliquez l’équivalent ou l’inégalité adaptée
- Comparez avec les intégrales de référence ($x^{-p}$, $e^{-x}$, $1/x$, etc.)
- Vérifiez si la convergence est absolue au besoin (voir ici).
Pour aller plus loin :
- Comment intégrer sur un intervalle non borné
- Intégrales à bornes infinies : comment s’y prendre ?
- L’inégalité triangulaire appliquée à l’intégrale
- Calcul de la valeur moyenne d’une fonction continue
N’hésitez pas à consulter les articles sur les sommes de Riemann et sur les méthodes numériques d’intégration pour aborder d’autres facettes pratiques.
- Continuez à vous entraîner : chaque problème d’intégrale impropre est unique et développe votre intuition mathématique !
Bonne préparation, et n’oubliez pas : la pratique régulière reste la clé de l’intuition et de la réussite dans l’analyse intégrale.
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