Lorsque l’on étudie les intégrales dans le cadre des classes préparatoires scientifiques, il devient vite essentiel de maîtriser les notations de Landau appliquées aux intégrales. Pouvoir estimer le comportement asymptotique d’intégrales, identifier leur domination ou leur équivalence, mais aussi détecter rapidement leur convergence ou divergence, tout cela passe par une bonne compréhension de ces notations. Cet article a pour but de vous guider pas à pas, avec des rappels, une explication progressive, et de nombreux exemples concrets, sur l’utilisation de ces outils puissants au service de l’étude des intégrales.
Introduction aux notations de Landau et contexte historique
Les notations de Landau furent introduites par Edmund Landau au début du XXe siècle. Elles sont devenues incontournables dans l’étude des fonctions, des suites et, plus généralement, dans l’analyse asymptotique. Pour les intégrales, elles permettent d’estimer précisément la croissance ou la décroissance de certaines quantités lors de passages à la limite (en l’infini, en zéro, etc.), cas courants lors de l’étude des intégrales sur des intervalles non bornés ou proches des points de singularité.
Fondements théoriques des notations de Landau
Les deux notations les plus courantes sont :
- La notation grand O : On écrit $f(x) = O(g(x))$ lorsque, près d’un point (souvent à l’infini ou en $0$), il existe une constante $C$ telle que $|f(x)| \leq C|g(x)|$ à partir d’un certain rang.
- La notation petit o : On écrit $f(x) = o(g(x))$ lorsque, près de ce point, $f(x)/g(x) \to 0$.
Ces notations permettent de comparer rigoureusement la vitesse de croissance ou d’annulation de deux fonctions, et par extension, de deux intégrales.
Si $F(\lambda) = \int_{a(\lambda)}^{b(\lambda)} f(x, \lambda) dx$ dépend d’un paramètre $\lambda$, on dira que $F(\lambda) = O(G(\lambda))$ lorsque $\exists C > 0$, $\forall \lambda$ assez grand, $|F(\lambda)| \leq C |G(\lambda)|$ (et de même pour le petit o).
Lien avec l’étude de la convergence des intégrales
La maîtrise de ces notations est indissociable de l’étude de la convergence d’intégrales. En effet, savoir que sur certains intervalles une fonction est dominée par une autre de référence, ou encore, qu’une primitive admet un développement limité, permet, grâce aux notations de Landau, de conclure à la convergence ou la divergence, d’établir des équivalents, ou d’affiner une approximation.
Pensez à consulter aussi notre article sur la convergence absolue des intégrales pour des critères supplémentaires.
Exemples introductifs de notations de Landau dans le contexte des intégrales
Considérons $I(\lambda) = \int_1^\lambda \frac{dt}{t^2}$.
On sait que $\int_1^\lambda \frac{dt}{t^2} = 1 – \frac{1}{\lambda}$. Donc $I(\lambda) = 1 + O\left(\frac{1}{\lambda}\right)$ lorsque $\lambda \to +\infty$.
Cela montre que le reste de l’intégrale décroit comme $1/\lambda$ quand $\lambda$ devient grand.
Soit $f : [a,+\infty[ \to \mathbb{R}$ telle que $|f(x)| \leq \frac{C}{x^p}$ pour $x \geq a$ et $p > 1$.
Alors $\int_a^{+\infty} |f(x)| dx \leq C \int_a^{+\infty} \frac{dx}{x^p}$, qui converge.
On dit que $f(x) = O\left(\frac{1}{x^p}\right)$ et cela implique la convergence absolue de l’intégrale.
Notations de Landau et développement asymptotique des intégrales
Les intégrales possèdent parfois des développements limités en fonction d’un paramètre. Les notations de Landau sont alors utilisées pour en donner la forme.
Par exemple, pour $I(\varepsilon) = \int_0^1 \frac{dt}{t+\varepsilon}$ quand $\varepsilon \to 0^+$ :
La notation $O(1)$ signifie qu’il existe une constante $M$ telle que $|I(\varepsilon) + \ln\varepsilon| \leq M$ dès que $\varepsilon$ est assez petit.
Vous retrouverez d’autres exemples détaillés dans notre article sur les équivalents d’intégrales par développement limité.
Utilisation des notations de Landau pour comparer et équivaloir des intégrales
Les notations $O$ et $o$ permettent notamment de détecter la dominance d’une intégrale sur l’autre. Cela intervient, par exemple, dans la méthode de comparaison série-intégrale ou lors de l’utilisation de fonctions de référence pour la convergence.
On calcule $J(\lambda) = \frac{1}{\alpha+1}$ qui est indépendant de $\lambda$, mais pour $K(\lambda) = \int_0^\lambda x^\alpha dx$ avec $\lambda \to 0^+$, on a $K(\lambda) = \frac{\lambda^{\alpha+1}}{\alpha+1}$, donc $K(\lambda) = O(\lambda^{\alpha+1})$ et, pour tout $\beta > \alpha+1$, $K(\lambda) = o(\lambda^\beta)$.
Méthodologie complète : comment utiliser les notations de Landau pour les intégrales en CPGE
Pour appliquer cette méthode, il faut :
- Déterminer le paramètre pertinent (par exemple, borne variable, paramètre sous l’intégrale).
- Comparer l’intégrande à une fonction de référence connue pour sa croissance ou décroissance.
- Conclure à une estimation globale de l’intégrale, en utilisant $O$ ou $o$ en fonction du cas.
La maîtrise de l’intégration par parties et des changements de variable se révèle souvent utile pour mettre en avant un développement asymptotique.
Exemples avancés d’utilisation : développement avec paramètre
Soit $I(\lambda) = \int_0^1 \frac{dx}{x^\lambda}$ pour $\lambda < 1$.
Pour $\lambda$ proche de $0$, on a $I(\lambda) = \int_0^1 x^{-\lambda} dx = \frac{1}{1-\lambda}$, donc $I(\lambda) = 1 + \lambda + O(\lambda^2)$ quand $\lambda \to 0$.
Soit $J(R) = \int_R^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + 1}$.
On sait que $\int \frac{dt}{t^2+1} = \arctan t$, donc $J(R) = \frac{\pi}{2} – \arctan R$. Quand $R \to +\infty$, $\arctan R \to \frac{\pi}{2} – \frac{1}{R} + o\left(\frac{1}{R}\right)$.
Donc $J(R) = \frac{1}{R} + o\left(\frac{1}{R}\right)$.
Applications directes : convergence, équivalents, développement limité
En combinant toutes ces méthodes, il est possible :
- d’obtenir immédiatement un équivalent d’intégrale pour la réponse à une question d’oral ou d’écrit de concours (voir notre guide sur les questions d’intégrales en concours),
- de montrer rapidement la divergence d’une intégrale impropre,
- d’obtenir un développement limité intégré en combinant un DL de l’intégrande et une intégration terme à terme (à voir aussi dans développements limités pour les intégrales),
- d’utiliser les notations de Landau dans un contexte de statistiques pour estimer des bornes d’intégrales de densité,
- de justifier l’utilisation d’inégalités clés comme l’inégalité de Cauchy-Schwarz ou l’inégalité triangulaire.
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Quelques pièges classiques à éviter
Attention cependant :
- la notation $o$ est beaucoup plus forte que la notation $O$. Ne pas confondre $f(x) = o(g(x))$ et $f(x) = O(g(x))$ qui n’expriment pas la même chose.
- pour justifier rigoureusement l’utilisation de ces notations, il faut bien préciser le domaine et la nature de la limite ($x \to 0$, $x \to +\infty$, etc.).
- il convient d’être précis sur les bornes d’intégration, surtout dans le cas d’intégrales impropres ou avec bornes tendant vers l’infini.
Les raccourcis liés à la notation de Landau ne doivent pas masquer un raisonnement rigoureux !
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Vers une maîtrise avancée : combinaisons avec d’autres outils d’analyse
Une fois la logique maîtrisée, il devient possible de combiner ces notations avec :
- l’étude de la fonction intégrable et des espaces $L^1$ ;
- l’utilisation de la relation de Chasles et des propriétés de linéarité de l’intégrale ;
- des astuces d’intégration par parties et de changement de variable pour optimiser les calculs,
- le lien avec le théorème fondamental de l’intégration pour l’interprétation des primitives et valeurs moyennes,
- l’étude de cas particuliers comme les intégrales semi-convergentes.
N’hésitez pas à explorer nos articles sur les fonctions continues par morceaux, les fonctions en escalier, ou encore les méthodes d’intégration numérique pour approfondir la pratique et la théorie autour des intégrales et de leur estimation.
Conclusion
Savoir manipuler les notations de Landau dans le contexte des intégrales, c’est se donner les moyens d’aborder avec aisance les exercices, oraux et écrits, de toute la filière scientifique en CPGE. Que ce soit pour estimer, majorer, minorer ou déterminer la convergence, comprendre leur usage solide et rigoureux est un atout incontournable dans votre progression mathématique.
Pour un panorama complet, découvrez aussi nos articles liés sur le calcul intégral : sommes de Riemann, valeur moyenne d’une fonction continue, tracer la primitive d’une fonction, ou dérivée d’une fonction définie par intégrale à paramètre variable.
Bon travail, et n’hésitez pas à partager vos questions ou vos propres méthodes dans les commentaires !
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