Les sommes de Riemann forment un outil fondamental en mathématiques et en physique, indispensable pour aborder l’approximation d’intégrales dans de nombreux contextes. Utilisées dès les premiers chapitres de l’analyse en classes préparatoires scientifiques (CPGE), les sommes de Riemann permettent de comprendre, d’interpréter et d’approximer le calcul intégral par des méthodes élémentaires mais rigoureuses. Ce concept, à la fois classique et moderne, ouvre la voie à l’intégration numérique et à la compréhension intuitive de l’aire sous une courbe. Cet article se propose d’explorer en détail la définition, les fondements théoriques, le contexte historique, ainsi que de nombreux exemples et applications pratiques des sommes de Riemann pour l’approximation d’intégrales réelles.
Origines et contexte historique des sommes de Riemann
Le concept d’intégrale et d’aire sous une courbe trouve ses racines dans la Grèce antique avec les méthodes d’exhaustion, mais c’est Augustin-Louis Cauchy qui propose la première définition rigoureuse d’intégrale au XIXe siècle. L’essentiel de la formulation et de la formalisation revient cependant à Bernhard Riemann en 1854, qui donne son nom à la notion de intégrale de Riemann et donc à la méthode des sommes du même nom. Cette avancée marque le début de l’analyse moderne.
L’approche des sommes de Riemann reste encore aujourd’hui la porte d’entrée pour comprendre ce qu’est concrètement le calcul intégral, avant de s’ouvrir vers des notions plus avancées comme les espaces de Lebesgue ou l’intégration sur les intervalles non bornés.
Définitions et fondements théoriques
Définition : Partition d’un intervalle
Soit $[a, b]$ un intervalle réel. Une partition $\mathcal{P}$ de $[a, b]$ est une suite finie de points
$$
a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b
$$
Chaque sous-intervalle $[x_{i-1}, x_i]$ est appelé un intervalle de la partition.
Définition : Somme de Riemann
Étant donnée une fonction $f$ définie sur $[a, b]$, une partition $\mathcal{P}$ de $[a, b]$ et pour chaque $i$ un point $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$, la somme de Riemann associée à $f$, $\mathcal{P}$ et $\{\xi_i\}$ est :
$$
S(f; \mathcal{P}, \{\xi_i\}) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i – x_{i-1})
$$
Intuitivement, on approxime l’aire sous la courbe $y = f(x)$ sur $[a, b]$ par une somme d’aires de rectangles, chacun de largeur $(x_i – x_{i-1})$ et de hauteur $f(\xi_i)$, où $\xi_i$ est un point du sous-intervalle $[x_{i-1}, x_i]$. Les sommes de Riemann rendent ainsi le concept d’intégrale accessible de façon tangible.
Connexions avec l’intégrale définie
La définition moderne de l’intégrale repose sur la limite des sommes de Riemann quand la partition se raffine, c’est-à-dire lorsque le pas maximal, appelé norme de la partition ($\max_{1\leq i \leq n}(x_{i} – x_{i-1})$), tend vers zéro. On dit alors que $f$ est intégrable sur $[a, b]$.
Théorème : Connexion entre sommes de Riemann et intégrale
Soit $f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction bornée. $f$ est intégrable sur $[a, b]$ au sens de Riemann si et seulement si toutes les sommes de Riemann convergent vers la même valeur $I$ lorsque la norme de la partition tend vers zéro, c’est-à-dire :
$$
I = \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\text{norme}(\mathcal{P}) \to 0} S(f; \mathcal{P}, \{\xi_i\})
$$
Pour aller plus loin, n’hésitez pas à consulter notre article sur la définition d’une fonction intégrable.
Cas particuliers : fonction en escalier et fonction continue par morceaux
L’utilisation des sommes de Riemann sur des fonctions simples illustre la méthode de façon concrète. Certains objets, comme la fonction en escalier ou les fonctions continues par morceaux, jouent un rôle clé dans la compréhension de l’intégralité de la méthode.
Exemple : Somme de Riemann pour une fonction en escalier
Soit $f(x) = 3$ pour $x \in [0,1)$ et $f(x) = 5$ pour $x \in [1,2]$.
La somme de Riemann sur la partition $[0,1,2]$ est :
\[
S(f; \mathcal{P}) = f(\xi_1) \cdot (1-0) + f(\xi_2) \cdot (2-1)
\]
avec $\xi_1 \in [0,1)$ et $\xi_2 \in [1,2]$. Par exemple, en prenant $\xi_1 = 0.5$, $\xi_2 = 1.5$, on a :
\[
S(f; \mathcal{P}) = 3 \times 1 + 5 \times 1 = 8
\]
Ce mécanisme se généralise aisément aux fonctions continues par morceaux sur un intervalle.
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Sommes de Riemann inférieures et supérieures
Pour évaluer l’intégrabilité d’une fonction bornée sur $[a, b]$, Riemann introduit les sommes inférieures $S_{\text{inf}}$ et supérieures $S_{\text{sup}}$ :
Soit $m_i = \inf\{f(x), x \in [x_{i-1}, x_i]\}$ et $M_i = \sup\{f(x), x \in [x_{i-1}, x_i]\}$. On pose :
\[
S_{\text{inf}}(f, \mathcal{P}) = \sum_{i=1}^n m_i (x_i – x_{i-1})
\]
\[
S_{\text{sup}}(f, \mathcal{P}) = \sum_{i=1}^n M_i (x_i – x_{i-1})
\]
$f$ est intégrable si la borne inférieure des $S_{\text{sup}}$ égale la borne supérieure des $S_{\text{inf}}$ sur toutes les partitions.
Cette distinction est essentielle pour saisir le concept d’intégrabilité.
Exemples variés de calculs de sommes de Riemann
Exemple 1 : Fonction polynomiale
Pour $f(x) = x^2$ sur $[0,1]$, avec une partition régulière de pas $h = 1/n$ et $\xi_i = x_{i-1}$, la somme de Riemann vaut :
\[
S_n = \sum_{i=1}^{n} \left(\left(\frac{i-1}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^n (i-1)^2
\]
Un calcul donne, quand $n \to \infty$ :
\[
S_n \to \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}
\]
Exemple 2 : Fonction continue par morceaux
Prenons $f(x) = |x|$ sur $[-1,1]$. On effectue une partition symétrique, puis on calcule la somme de Riemann sur chaque sous-intervalle, au besoin en se reportant à l’intégration de fonctions de référence.
Pour plus d’exemples détaillés et des méthodes avancées, consultez nos articles sur les développements limités et intégrales et sur la méthode d’intégration par parties.
Utilité pratique et convergence des sommes de Riemann
Outre l’intérêt théorique, les sommes de Riemann sont la base de nombreuses méthodes numériques d’approximation d’intégrales, cruciales en sciences appliquées. L’approche naïve consiste à augmenter le nombre de subdivisions $n$ jusqu’à obtenir la précision désirée. Cette idée se généralise dans les méthodes de Simpson, des trapèzes, et du rectangle moyen.
Attention, la vitesse de convergence dépend de la régularité de $f$ (pour les fonctions continues, la convergence est assurée, cf. théorème fondamental de l’intégration). Il est parfois utile d’appliquer des outils complémentaires comme le changement de variable ou la relation de Chasles.
Pour vérifier la convergence, on peut recourir aux fonctions de référence usuelles ou aux critères de convergence absolue.
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Application : approximation et encadrement d’intégrales
Les sommes de Riemann permettent de majorer, minorer ou approximer une intégrale réelle non explicite. Cela est par exemple utile lorsqu’on intègre une fonction complexe ou définie par parties. Les inégalités classiques, telle l’inégalité de Cauchy-Schwarz ou l’inégalité triangulaire, permettent d’obtenir des encadrements rigoureux.
Exemple : Encadrement de $\int_0^1 e^{-x^2} dx$
On partitionne $[0,1]$ en $n$ intervalles, on calcule la somme de Riemann avec $\xi_i = x_{i-1}$ pour obtenir une minoration, et avec $\xi_i = x_{i}$ pour une majoration. Plus $n$ est grand, plus les valeurs encadrent précisément l’intégrale recherchée.
Pour savoir comment traiter les cas bordures non bornées ou les bornes infinies, des adaptations existent, avec une convergence subtile à contrôler (voir divergence d’intégrale impropre).
Étapes méthodologiques pour la pratique en CPGE
- Déterminer la nature de la fonction : simple, composée, continue par morceaux, en escalier, etc. (Voir ici).
- Décider du type de partition : régulière (de même longueur), adaptée à une fonction par morceaux, etc.
- Exprimer la somme de Riemann voulue.
- Faire tendre la norme de la partition vers zéro, analyser la limite.
- Comparer à l’intégrale exacte (si elle existe), discuter de l’erreur d’approximation.
Cette méthode est typique dans les questions de concours où l’on vous demande d’estimer, encadrer ou approximer une intégrale.
Conclusion et ouverture
Les sommes de Riemann constituent la pierre angulaire de l’approximation d’intégrales en mathématiques, ouvrant la voie à des méthodes plus avancées et à la numérisation de problèmes complexes. Maîtriser cette technique en CPGE est essentiel pour comprendre les fondements de l’intégration, l’analyse de la valeur moyenne d’une fonction, et la démarche de passage à la limite. N’hésitez pas à poursuivre votre apprentissage avec nos articles liés pour approfondir vos connaissances sur les différents types de fonctions, l’intégration sur des intervalles particuliers, l’utilisation des notations de Landau en intégrale, ou encore l’utilisation des changements de variables classiques.
- Tracer et interpréter graphiquement une primitive
- Obtenir la dérivée d’une fonction définie par une intégrale à variable
- Comparer série et intégrale
- Équivalents d’intégrale par développement limité
Gardez le fil, reliez les concepts, et intégrez à fond !
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