Lorsqu’on aborde le vaste domaine de l’intégration et de la dérivation en CPGE scientifique, une question fréquemment posée est : Comment dériver une fonction définie par une intégrale ? Cette méthode, indispensable pour aborder certains exercices de concours, s’appuie sur des théorèmes fondamentaux de l’analyse et permet de manipuler efficacement des fonctions complexes. Comprendre cette technique donne une perspective profonde sur le lien entre intégration et dérivation, tout en ouvrant la porte à de nombreuses applications et généralisations. Plongeons ensemble dans cette notion essentielle, en reprenant chaque point pas à pas avec des exemples concrets et des explications rigoureuses.
Contexte historique et fondements théoriques
Les fondements de l’analyse moderne reposent pour beaucoup sur le lien intime entre l’intégrale et la dérivée. Ce lien a été solidifié par les travaux de Newton et Leibniz au XVIIe siècle, avant d’être rigoureusement formalisé par Cauchy, Riemann et Lebesgue. Ce pont, incarné par le célèbre théorème fondamental de l’analyse, est au cœur de la méthode qui nous intéresse aujourd’hui.
Vous pouvez approfondir la genèse et l’impact de ce théorème dans notre article dédié : Théorème fondamental de l’intégration expliqué.
Définitions et rappels essentiels
On appelle fonction définie par une intégrale toute fonction $F$ définie sur un intervalle $I$ telle que :
$$
F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt
$$
où $a(x)$ et $b(x)$ sont des fonctions de $x$ possédant les régularités adéquates, et $f$ est continue sur un certain domaine d’intégration.
Retrouvez la notion de fonction intégrable pour préciser les conditions sur $f$.
Dans la plupart des cas étudiés en CPGE, on peut rencontrer les cas suivants :
- La borne inférieure est constante, la borne supérieure variable.
- Les deux bornes dépendent de $x$.
- La fonction sous le signe intégral dépend de $x$ et de la variable d’intégration $t$.
Le théorème fondamental de l’analyse : pilier de la méthode
Supposons que $f$ est continue sur un intervalle $I$. Pour tout $x$ de $I$ :
$$
F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \implies F'(x) = f(x)
$$
Ce résultat simple mais puissant montre que la dérivée de la fonction primitive d’une fonction continue rend la fonction initiale. Cette propriété constitue le socle de la dérivation des fonctions définies par une intégrale à borne variable.
Une explication détaillée vous attend sur le théorème fondamental de l’intégration, à consulter sans modération.
Cas général : intégrale à bornes variables et le rôle de la règle de Leibniz
Soit $f(x,t)$ une fonction continue au voisinage du domaine considéré, et $a(x), b(x)$ deux fonctions dérivables. Alors :
$$
F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(x, t) \, dt
$$
est dérivable et
$$
F'(x) = f(x, b(x)) \cdot b'(x) – f(x, a(x)) \cdot a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(x, t) \, dt
$$
Cette règle générale donne la formule adaptée à tous les cas courants rencontrés en CPGE. On constate que, selon la forme des bornes et la dépendance en $x$ sous l’intégrale, certains termes peuvent s’annuler ou se simplifier.
Exemples concrets et applications en CPGE
Soit $F(x) = \int_{0}^x e^{t^2} \, dt$. Calculer $F'(x)$.
D’après le théorème fondamental :
$$
F'(x) = e^{x^2}
$$
La dérivation se fait simplement en évaluant la fonction sous l’intégrale en $t=x$.
Soit $G(x) = \int_{\sin x}^{x^2} \cos(t) \, dt$. Calculons $G'(x)$.
On applique la règle de Leibniz :
$$
G'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x – \cos(\sin x) \cdot \cos x
$$
Ici, $b(x) = x^2$, donc $b'(x) = 2x$, $a(x) = \sin x$, $a'(x) = \cos x$.
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Soit $H(x) = \int_{0}^{1} x t^2 \, dt$.
Ici, on peut dériver sous le signe intégral :
$$
H(x) = x \int_{0}^{1} t^2 \, dt = x \cdot \frac{1}{3}
$$
Donc $H'(x) = \frac{1}{3}$.
Soit $J(x) = \int_{0}^{1} e^{x t} \, dt$.
On utilise la formule :
$$
J'(x) = \int_{0}^{1} t\, e^{x t} \, dt
$$
On dérive simplement la fonction sous le signe intégral par rapport à $x$.
Pour maîtriser ces manipulations, il convient souvent de faire appel à d’autres résultats essentiels liés à l’intégration, comme la relation de Chasles, la méthode d’intégration par parties, ou encore la méthode du changement de variable.
Contexte de validité et points d’attention
La dérivation d’une fonction définie par une intégrale fait appel de façon cruciale à la continuité de la fonction sous le signe intégral et à la dérivabilité des bornes éventuelles. Consultez les articles sur les fonctions continues par morceaux ou la fonction en escalier pour plus de précisions sur ces propriétés de régularité, notamment dans les cas de fonctions difficiles ou de concours.
Applications et exercices type CPGE
Cette méthode est centrale pour les questions qui portent sur la recherche de fonctions « solutions » d’équations différentielles par intégration, l’analyse de la régularité d’une solution définie par une intégrale, ou le calcul explicite de dérivées en présence de paramètres. Le lien entre dérivée et intégrale à variable est particulièrement mis à l’honneur dans les exercices de type concours.
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Pour aller plus loin : liens internes utiles
Pour une maîtrise complète du sujet, nous vous recommandons de parcourir nos autres ressources sur :
- Intégrer une fonction continue par morceaux : méthode
- Espaces de fonctions intégrables ($L^1$)
- Intégration sur un intervalle non borné
- Développements limités et intégrales
- Équivalents d’intégrales et DL
- Méthodes numériques de l’intégrale : Simpson
- Changement de variable en intégration
- Sommes de Riemann et approximation de l’intégrale
Conclusion
La dérivation d’une fonction définie par une intégrale est une technique incontournable du cursus en CPGE scientifique. De l’application directe du théorème fondamental jusqu’à la règle de Leibniz pour les cas les plus généraux, elle nécessite rigueur, méthode et une bonne compréhension des concepts d’analyse. La pratique régulière sur des exercices variés vous permettra d’automatiser cette compétence, tout en développant votre maîtrise des rouages analytiques. N’hésitez pas à consulter nos autres ressources pour progresser pas à pas sur toutes les facettes de l’intégration et de la dérivation.
- Maîtrisez la régularité des fonctions avec nos articles sur les fonctions continues par morceaux et la fonction intégrable.
- Approfondissez les techniques avancées : intégration par parties, changements de variable classiques.
- Préparez vos oraux et écrits en retrouvant nos questions de concours sur les intégrales.
Continuez à entraîner votre intuition, votre rigueur et votre plaisir des belles mathématiques !
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