La notion de valeur moyenne d’une fonction continue occupe une place centrale en analyse, tout particulièrement dans les programmes des classes préparatoires scientifiques (CPGE). Comprendre cette notion, savoir la justifier, l’utiliser et la calculer efficacement constituent des compétences incontournables pour tout élève désireux de réussir les concours. Dans cet article, nous vous accompagnons pas à pas dans la méthode de calcul de la valeur moyenne d’une fonction continue, ses origines, ses fondements théoriques, tout en multipliant les exemples et en tissant des liens pratiques vers d’autres ressources essentielles du silo sur les fonctions continues et l’intégration.
Contexte et origines de la valeur moyenne
L’étude de la valeur moyenne d’une fonction trouve son origine dans les premiers développements du calcul intégral. Dès le XVIIIe siècle, les mathématiciens comme Cauchy ou Riemann se sont intéressés à donner un sens rigoureux à la notion d’ “aire sous la courbe”, et donc à la moyenne des valeurs prises par une fonction sur un intervalle. Le concept est alors rapidement apparu comme outil pour résumer le comportement global d’une fonction, outil aujourd’hui fondamental dans l’analyse, les probabilités, et la physique.
En CPGE, la maîtrise de cette notion est exigée car elle intervient dans de nombreux domaines : calcul d’intégrales, probabilités continues, physique (travail d’une force, énergie moyenne, etc.), ou encore en statistique.
Définition rigoureuse de la valeur moyenne d’une fonction continue
\[
M = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx
\]
Il s’agit de la moyenne arithmétique pondérée des valeurs prises par $f$ sur l’intervalle, calculée grâce à l’intégrale. Cette valeur possède une interprétation géométrique très intuitive : c’est l’ordonnée constante d’une fonction qui admettrait la même aire sous la courbe sur $[a, b]$ que la fonction $f$. Pour mieux saisir cette notion, il est utile de revoir les propriétés des fonctions continues par morceaux sur un intervalle.
Pourquoi et comment calculer la valeur moyenne ?
Calculer la valeur moyenne a de multiples d’utilités pratiques : simplification de problèmes physiques, recherche d’une grandeur représentative, résumés d’études de fonctions, etc. Rappelons que cette notion est inséparable de l’intégrale définie ($\int_a^b f(x)\,dx$), dont on pourra approfondir la compréhension via notre article sur le théorème fondamental de l’intégration.
La méthode de calcul, fidèle à la définition, comprend les étapes raisonnées suivantes :
- Exprimer clairement sur quel intervalle $[a; b]$ la valeur moyenne est recherchée.
- Déterminer si $f$ est continue, ou du moins intégrable, sur $[a, b]$.
- Calculer explicitement l’intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ (avec, si besoin, recours aux changements de variable classiques ou à l’intégration par parties).
- Diviser le résultat par $(b – a)$ pour obtenir la valeur moyenne.
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Fondements théoriques et théorème lié
La valeur moyenne s’appuie sur deux idées fondamentales : linéarité et additivité des intégrales (voir la relation de Chasles), et le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales.
\[
f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx
\]
Autrement dit, la fonction $f$ atteint sa “valeur moyenne” quelque part sur l’intervalle $[a; b]$.
Quelques rappels essentiels sur l’intégrabilité
Pour que la notion de valeur moyenne soit bien définie, il faut que $f$ soit intégrable sur $[a,b]$. Si $f$ est continue, elle l’est toujours. Si elle est continue par morceaux, reportez-vous à notre fiche : Fonctions continues par morceaux : définition et exemples.
En cas de points de discontinuité (fonction en escalier, par exemple), voyez cet article sur les fonctions en escalier.
Exemples concrets de calcul
Illustrons la méthode par des exercices classiques et moins classiques, adaptés à la CPGE :
Calculer la valeur moyenne de $f(x) = 2x + 3$ sur $[0, 2]$.
$\int_0^2 (2x+3)\,dx = \left[x^2 + 3x\right]_0^2 = (4+6)-(0+0) = 10$
L’intervalle a une longueur $2$ donc
\[
M = \frac{10}{2} = 5
\]
La valeur moyenne de $2x+3$ sur $[0,2]$ est donc 5.
Calculer la valeur moyenne de $f(x) = \sin(x)$ sur $[0, \pi]$ :
$\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx = \left[-\cos(x)\right]_0^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2$
L’intervalle $[0, \pi]$ a une longueur $\pi$, donc
\[
M = \frac{2}{\pi}
\]
Soit $f(x) = \cos(x)$, calculons sa valeur moyenne sur $[0, 2\pi]$ :
$\int_0^{2\pi} \cos(x)\,dx = \left[\sin(x)\right]_0^{2\pi} = 0$
$M = 0/(2\pi) = 0$
Une fonction périodique de période $T$ admet une valeur moyenne sur une période, ce qui relie à la notion d’intégrale des fonctions de référence.
Usages en analyse et en physique
La valeur moyenne d’une fonction continue intervient dans l’étude de l’intégration des fonctions continues par morceaux, mais aussi dans le calcul de moyennes physiques : vitesse moyenne d’une particule, intensité moyenne d’un courant, puissance moyenne d’un signal périodique, etc.
En probabilités, la valeur moyenne d’une densité de probabilité sur un intervalle correspond à l’espérance lorsque la variable aléatoire est uniforme sur $[a, b]$.
La méthode peut être adaptée à des cas plus délicats : intégrales sur intervalles non bornés, ou intégrales convergentes conditionnellement.
Astuce : simplifier certains calculs
Dans bien des cas, l’utilisation d’une primitive de $f$ simplifie le calcul. Pour cela, il est utile de maîtriser les techniques d’intégration par parties, les changements de variable, et de bien reconnaître les fonctions de référence.
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Questions fréquentes et pièges à éviter
- Oublier de diviser par la longueur de l’intervalle : l’étape du division du résultat de l’intégrale par $(b – a)$ est essentielle, ne pas l’oublier !
- Attention à l’intervalle d’intégration : bien s’assurer d’utiliser le bon intervalle, et de l’ordonner croissant
- Pour les fonctions continues par morceaux ou de type “fonction en escalier”: se reporter à
Fonction en escalier : comment la reconnaître ? - En cas d’intégrales impropres, vérifiez impérativement la convergence !
- Maîtrisez l’inégalité de Cauchy-Schwarz qui permet d’encadrer efficacement certaines valeurs moyennes.
Pour aller plus loin : exercices et approfondissements
Pour mettre en pratique et affiner vos méthodes, explorez nos articles sur les questions de concours sur les intégrales ou encore sur
les développements limités appliqués aux intégrales.
Ne manquez pas nos fiches avancées sur les notations de Landau pour les intégrales, la dérivée sous le signe intégrale, et la triangulaire pour les intégrales.
En programmation ou en physique numérique, la valeur moyenne peut aussi être approchée numériquement via, par exemple, la méthode de Simpson ou par somme de Riemann.
Récapitulatif : la méthode en trois points
- Exprimer $M = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$ en identifiant bien $a$, $b$ et $f(x)$.
- Calculer précisément l’intégrale à l’aide des méthodes adéquates.
- Diviser le résultat de l’intégrale par la longueur $b-a$ pour obtenir la valeur moyenne.
Pour progresser sur ces sujets, parcourez les autres ressources du silo : intégrales à bornes infinies, espaces de fonctions intégrables $L^1$, ou encore le lien entre séries et intégrales.
Comprendre et maîtriser la valeur moyenne d’une fonction continue est non seulement incontournable pour réussir en CPGE, mais aussi un outil analytique au quotidien dans la résolution de problèmes d’intégration, de physique et de probabilités.
- Tracer la primitive d’une fonction (méthodes d’intégration)
- Intégration de fonctions ln, arctan, racines spéciales
- Détecter une divergence d’intégrale impropre
Poursuivez l’entraînement avec nos exercices corrigés et questionnements sur la valeur moyenne et l’intégration.
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