Dans le vaste univers de l’analyse, l’intégration est une pierre angulaire des mathématiques en classes préparatoires. Mais qu’en est-il lorsque l’intervalle sur lequel on souhaite intégrer est non borné, c’est-à-dire lorsqu’une des bornes de l’intégrale est infinie ? Savoir intégrer des fonctions à bornes infinies devient alors indispensable, aussi bien pour la théorie que pour la pratique des concours scientifiques. Ce dossier complet vous présente la méthode pour intégrer des fonctions à bornes infinies : fondements, rappels, méthode pas à pas, exemples détaillés, liens avec d’autres notions du programme et astuces pour maîtriser ce chapitre clé.
Intégrales à bornes infinies : pourquoi s’y intéresser ?
De nombreuses situations en mathématiques et en physique nécessitent d’intégrer sur un intervalle infini. C’est par exemple le cas pour calculer des aires sous des courbes s’étendant à l’infini, déterminer la probabilité totale d’une loi de probabilité continue, ou encore étudier la valeur moyenne d’une fonction sur $[a, +\infty[$. Pour maîtriser le sujet, il faut d’abord bien comprendre les propriétés des fonctions continues par morceaux et les conditions d’intégrabilité sur un intervalle non borné.
Définition de l’intégrale à borne infinie
$$ \int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x) \, dx $$
si cette limite existe et est finie. On dit alors que l’intégrale converge, sinon elle diverge.
On parle également d’intégrale impropre. Cette approche demande la maîtrise de la notion de limite et du théorème fondamental de l’intégration, ainsi que des propriétés classiques comme la relation de Chasles et la linéarité de l’intégrale.
Fondements théoriques et rappel des propriétés clés
Le cadre général pour traiter les intégrales à bornes infinies repose sur les concepts suivants :
- Continuité ou continuité par morceaux : La fonction $f$ doit être suffisamment régulière sur l’intervalle $[a, +\infty[$, souvent continue par morceaux pour garantir l’existence de l’intégrale sur tout segment $[a, t]$.
- Convergence de la limite : Calculer d’abord l’intégrale définie sur $[a, t]$, puis faire tendre $t$ vers l’infini et étudier la convergence.
- Méthodes de comparaison : On vérifie la convergence ou divergence à l’aide de fonctions de référence, voire par des comparaisons d’intégrales ou de séries. Voir comparaison série-intégrale et fonctions de référence.
- Critères de convergence : Application notamment du critère de convergence absolue et de la possibilité d’intégrer par parties ou par changement de variable.
Méthode générale pour intégrer sur un intervalle à borne infinie
- Exprimer l’intégrale impropre comme une limite : Remplacer la borne infinie par un paramètre fini $t$ et écrire l’intégrale sur $[a, t]$.
- Calculer l’intégrale définie : Intégrer $f$ sur $[a, t]$ à l’aide des techniques usuelles (intégration par parties, changement de variable…), en utilisant, si besoin, la relation de Chasles.
- Étudier la limite lorsque $t \to +\infty$ : Analyser la limite pour déterminer si elle est finie (convergence) ou pas (divergence). Ne pas hésiter à utiliser des développements limités, des équivalents ou les notations de Landau pour simplifier cette étude.
- Conclure sur la convergence et donner la valeur : Si la limite existe, donner la valeur de l’intégrale. Sinon, conclure à la divergence.
[h2]Exemple classique : intégrale de Riemann[/h2]
- Exprimons l’intégrale comme une limite :
$$
I = \lim_{t \to +\infty} \int_1^t \frac{1}{x^p} dx
$$ -
Calculons la primitive :
$\int \frac{1}{x^p} dx = \frac{x^{1-p}}{1-p} + C$ si $p \neq 1$. -
Calcul de l’intégrale définie :
$$
\int_1^t \frac{1}{x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_1^t = \frac{t^{1-p} – 1}{1-p}
$$ -
Étude de la limite :
- Si $p > 1$, $t^{1-p} \to 0$ quand $t \to +\infty$. Donc $I = \frac{1}{p-1}$ (l’intégrale converge).
- Si $p \le 1$, la limite diverge et l’intégrale ne converge pas.
Cet exemple montre l’importance de la fonction de référence $\frac{1}{x^p}$ pour beaucoup d’études de convergence d’intégrales impropres. Entraînez-vous avec d’autres exemples pour bien assimiler cette méthode.
Méthodes spécifiques adaptées
Outre la méthode directe, il est souvent utile de :
- Comparer l’intégrale à une autre de référence (intégrales semi-convergentes).
- Utiliser un changement de variable pour transformer l’intervalle infini en intervalle borné.
- Appliquer une intégration par parties lorsque la décroissance de $f$ doit être soulignée.
- Recourir à des méthodes numériques pour approcher la valeur si l’intégrale ne peut se calculer explicitement.
[h2]Exemple : intégrale d’une exponentielle décroissante[/h2]
- L’intégrale définie :
$$
J = \lim_{t \to +\infty} \int_0^t e^{-\lambda x} dx = \lim_{t \to +\infty} \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^t
$$ - Donc $J = \lim_{t \to +\infty} \left( -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda t} + \frac{1}{\lambda} \right) = \frac{1}{\lambda}$
L’étude de la limite montre que l’intégrale converge toujours pour $\lambda > 0$.
Attention, la convergence dépend de la décroissance de la fonction. Si $e^{ax}$ avec $a>0$ (fonction croissante), l’intégrale ne converge pas.
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Liens avec les autres sujets du programme
Cette méthode de l’intégration sur un intervalle non borné se connecte avec :
- La notion de fonction continue par morceaux.
- L’usage de la dérivation sous le signe intégrale (théorème de Leibniz).
- L’étude de la convergence des intégrales – convergence absolue, semi-convergence (exemples semi-convergents).
- L’espace des fonctions intégrables $L^1$, très utilisé en probabilité et en analyse avancée.
- L’inégalité de Cauchy-Schwarz sur $L^2$.
- Le lien avec les sommes de Riemann et le passage de la somme à l’intégrale.
Ces connexions se retrouvent dans les sujets classiques de concours : probabilité avec lois à support infini, calculs d’aires et de volumes, études d’intégrabilité, etc. Pour des exemples détaillés sur l’intégration sur un intervalle infini, consultez notre article dédié :intégrales à bornes infinies : comment intégrer.
Critères de convergence et astuces pratiques
On pourra aussi utiliser des inégalités classiques (triangle, Cauchy-Schwarz) pour majorer la valeur absolue d’une intégrale et vérifier sa convergence.
Soyez attentif également aux points de divergence possibles (à la borne infinie ou à l’intérieur de l’intervalle) !
[h2]Exemple : Application d’un critère de comparaison[/h2]
$$
0 < \frac{1}{x^2 + x} \leq \frac{1}{x^2} $$ Or, on sait que $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ converge (cas $p=2 > 1$). Donc, par le critère de comparaison, $I$ converge.
Contexte historique et importance en mathématiques
L’étude des intégrales sur un intervalle infini remonte au XVIIIe siècle. Elle fut abordée par Euler, Cauchy et Riemann, à la recherche d’une compréhension plus fine des notions d’aire et de convergence. Riemann a posé les bases de la théorie moderne avec son concept d’intégrale de Riemann. L’enjeu était de distinguer les fonctions intégrables, et d’inventer des méthodes d’approximation pour les intégrales impossibles à exprimer par une primitive simple.
Aujourd’hui, ces questions apparaissent dès la préparation aux concours et se poursuivent en analyse avancée et en probabilités, notamment pour le calcul de lois à support infini (ex : lois exponentielle, normale, etc.).
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Pour aller plus loin
La maîtrise de l’intégration à borne infinie est un atout décisif pour résoudre des questions de concours et approfondir l’analyse. N’hésitez pas à explorer nos articles complémentaires :
- Intégrer une fonction continue par morceaux : méthode
- Propriétés des fonctions continues par morceaux sur un intervalle
- Intégration de fonctions logarithme, arctan, racine
- Changements de variable classiques pour les intégrales
- Bien répondre aux questions de concours sur les intégrales
Travaillez régulièrement ces techniques pour développer votre intuition et vos compétences calculatoires, et n’hésitez pas à utiliser les relations de valeur moyenne ou à tracer les primitives pour valider vos résultats graphiquement.
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