Changement de variable en intégration : méthode universelle
Le changement de variable en intégration constitue une méthode essentielle pour faciliter le calcul d’intégrales complexes rencontrées en maths sup et maths spé. Universelle et puissante, cette technique permet de transformer une intégrale difficile en une autre, souvent plus simple à traiter. Cet article propose une explication approfondie du changement de variable, ses fondements théoriques, son histoire, les étapes précises à suivre ainsi que de nombreux exemples issus du programme des classes préparatoires scientifiques, pour aider tout étudiant à maîtriser cette clé de l’analyse.
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Définition du changement de variable en intégration
Formellement, si f est continue sur un intervalle I, et si φ est de classe C¹ sur J et réalise un isomorphisme de J sur I, alors :
Cette formule constitue le fondement du changement de variable. Pour approfondir la notion d’intégrabilité, vous pouvez consulter notre article sur la fonction intégrable : définition et conditions.
Fondements théoriques et contexte historique
Le changement de variable trouve ses racines dans le calcul différentiel inventé par Newton et Leibniz, puis formalisé par Cauchy et Riemann au XIXe siècle. Cette méthode découle naturellement du théorème fondamental de l’intégration, car la dérivation et l’intégration sont des opérations « inverses » l’une de l’autre, à condition de prendre en compte la structure du domaine de la fonction à intégrer.
La méthode a été généralisée lors de l’étude de l’intégration sur des domaines et pour des fonctions non continues ou définies par morceaux (voir notre article sur les fonctions continues par morceaux). Le changement de variable est inévitable dans la manipulation d’intégrales impropres et de convergence délicate, comme analysé dans nos articles intégrales semi-convergentes et critéres de convergence absolue.
Rappel préalable sur l’intégration sur un intervalle
Avant d’appliquer le changement de variable, il est important de maîtriser l’intégrale de Riemann sur un intervalle, ainsi que les propriétés des fonctions continues par morceaux. Pour bien cerner la manipulation, reportez-vous à l’intégration des fonctions continues par morceaux.
Pour simplifier ou transformer ce calcul, on modifie la variable d’intégration grâce à une substitution adaptée, ce qui permet de recourir à des techniques telles que l’intégration par parties ou les changements de variable classiques.
Étapes de la méthode de changement de variable
La méthode universelle de changement de variable suit toujours les étapes suivantes, dont vous retrouverez un schéma détaillé dans notre guide changement de variable en intégration : étapes.
- On choisit une fonction bijective et dérivable φ, telle que x = φ(t).
- On exprime la variable initiale x à l’aide de la nouvelle variable t et on calcule la dérivée φ'(t).
- On exprime les bornes en fonction de t : si l’intégrale initiale est de x = α à x = β, alors les nouvelles bornes sont t₁ et t₂ telles que φ(t₁) = α et φ(t₂) = β.
- On réécrit l’intégrale via la substitution :
- On calcule la nouvelle intégrale, d’abord éventuellement en simplifiant l’expression.
Exemple 1 : Substitution linéaire simple
On pose x = t, c’est le cas trivial.
Ici, dx = dt, l’intégrale reste inchangée. Avantage : permet de mieux comprendre la démarche avant d’introduire de véritables substitutions.
Calcul : .
Exemple 2 : Substitution affines
On pose x = t²+1, donc dx = 2t dt.
Anciennes bornes :
- Quand x = 1, t = 0
- Quand x = 3, t = √2
L’intégrale devient :
Ce type de substitution est très fréquent lorsqu’on souhaite éliminer une racine carrée, une puissance ou exprimer une fonction connue sur un intervalle donné.
Exemple 3 : Substitution trigonométrique
On pose x = t (pas de substitution nécessaire ici), ou bien sur une autre intégrale comme , on pose x = \sin t.
Alors dx = \cos t dt, pour x passant de 0 à 1, t passe de 0 à π/2.
L’intégrale devient : .
Or, .
Après calcul, cela donne : .
Ce procédé est typique dans l’étude des intégrales associées à des courbes paramétrées, auxquelles se rattachent les notions abordées dans intégration de fonctions ln, arctan, racines.
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Changement de variable et intégrales impropres
Dans le contexte d’une intégrale à borne infinie, le changement de variable demeure valable à condition de veiller à la convergence, ce qui nécessite de bien étudier le comportement de la fonction en infinie (voir détecter la divergence d’une intégrale impropre et intégrales sur un intervalle non borné).
On pose t = e^{-x}, alors dt = -e^{-x} dx = -t dx ⇒ dx = -dt/t.
Quand x = 0, t = 1 ; quand x = +∞, t = 0.
L’intégrale devient :
Exemples classiques et astuces en concours
De nombreux sujets récurrents de concours en CPGE utilisent le changement de variable pour montrer la propriété d’une fonction ou la convergence d’une intégrale. Consulter notre article dédié questions de concours : comment répondre aux intégrales vous indiquera comment bien présenter sa démarche, en particulier en signalant le choix pertinent de substitution.
Applications du changement de variable
- Simplifier l’expression à intégrer (rendre f(φ(t)) plus facile à traiter)
- Régulariser une intégrale impropre, étudier la valeur moyenne d’une fonction
- Transformer un intervalle fini en intervalle infini pour utiliser les fonctions de référence et la convergence
- Obtenir la primitive d’une fonction, utile pour tracer la primitive d’une fonction par intégration
- Appliquer des théorèmes majeurs, comme la relation de Chasles ou l’inégalité de Cauchy-Schwarz
Erreurs fréquentes et bonnes pratiques
- Oublier de changer les bornes d’intégration après substitution
- Négliger de multiplier par la dérivée φ'(t)
- Appliquer la méthode à une fonction ou un domaine non admissible (fonction non continue, bijection inadaptée, etc). Reportez-vous à espaces de fonctions intégrables L1 pour plus de précision sur la conformité.
- Ne pas vérifier la correspondance entre le domaine de départ et celui d’arrivée
Conclusion
Le changement de variable en intégration est un outil fondamental pour tout étudiant de CPGE scientifique. Par sa méthode universelle, il permet de transcender la difficulté de nombreux calculs d’intégrales, que ce soit pour des expressions élémentaires, des intégrales impropres, ou la justification de propriétés fonctionnelles. Pour aller plus loin, consultez nos ressources sur les méthodes numériques (méthode de Simpson), sur l’approximation des intégrales (sommes de Riemann), et le traitement symbolique des fonctions complexes.
- Développement limité d’une intégrale : méthode
- Équivalents d’intégrales et DL
- Notations de Landau pour les intégrales
- Inégalité triangulaire et intégrale
- Dérivée d’une fonction définie par une intégrale à variable
FAQ – Changement de variable en intégration
- Peut-on toujours effectuer un changement de variable ?
Non, il faut s’assurer de la régularité de la fonction et de l’applicabilité de la substitution choisie. - À quoi sert la dérivée φ'(t) dans la formule ?
Elle représente le facteur jacobien qui adapte la « mesure » à la nouvelle variable. - Quelles substitutions sont les plus courantes ?
Les substitutions linéaires, quadratiques, trigonométriques et exponentielles sont les plus utilisées, à retrouver dans notre guide dédié.
Maîtriser le changement de variable ouvre la porte à une intégration efficace et rigoureuse, fondamentale pour réussir en CPGE et au-delà.
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