Chasles et linéarité de l’intégrale : application directe
Les méthodes d’intégration sont essentielles en mathématiques, notamment en classes préparatoires scientifiques (CPGE). Deux propriétés fondamentales des intégrales interviennent constamment lors de la résolution d’exercices ou de problèmes : la relation de Chasles et la linéarité de l’intégrale. Cet article approfondit ces deux propriétés, en détaille l’application directe et explicite leur importance grâce à des exemples variés et concrets.
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1. Introduction : le cadre de l’intégrale sur un intervalle
En analyse, l’intégrale d’une fonction représente l’aire sous la courbe ou, plus généralement, la somme continue des valeurs d’une fonction sur un intervalle donné. Pour comprendre les méthodes fondamentales comme la Chasles et la linéarité, il faut rappeler les bases concernant l’intégration sur un intervalle, notamment sur les fonctions continues par morceaux et les fonctions en escalier.
2. Fondements théoriques : définitions et rappels essentiels
Soit \( f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction. On dit que \( f \) est intégrable sur [a, b] si l’intégrale
\( \int_a^b f(x) \, dx \) existe et est finie.
La théorie de l’intégrale aborde de nombreux cas et propriétés. Ainsi, on étudie principalement les fonctions continues par morceaux sur un intervalle, car ce sont elles qui garantissent l’existence de l’intégrale.
3. La relation de Chasles et la linéarité de l’intégrale : énoncé et explications
Soit \( a, b, c \) trois réels et \( f \) une fonction intégrable sur [a, c]. Alors :
\( \displaystyle \int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx \)
Pour deux fonctions \( f \) et \( g \) intégrables sur [a, b], et des réels \( \lambda, \mu \), on a :
\( \displaystyle \int_a^b [\lambda f(x) + \mu g(x)]\,dx = \lambda \int_a^b f(x) \, dx + \mu \int_a^b g(x)\, dx \)
Ces propriétés prennent toute leur importance dans la résolution efficace des intégrales, et sont à la base de nombreuses méthodes, comme l’intégration par parties ou les changements de variable.
4. Origine historique de la relation de Chasles
La relation de Chasles tire son nom de Michel Chasles (1793–1880), un mathématicien français reconnu pour ses travaux en géométrie. En analyse, la propriété de Chasles apparaît dès que l’on considère l’intégrale comme une somme continue : elle assure l’additivité de l’intégrale par rapport à la décomposition de l’intervalle. Cette relation est primordiale pour la construction de l’intégrale de Riemann, vue dès les débuts des sommes de Riemann.
5. Démonstration et intuition
l’aire sous la courbe de \( f \) de \( a \) à \( c \) correspond à la somme des aires de \( a \) à \( b \) et de \( b \) à \( c \).
Pour la linéarité, l’intuition découle de l’additivité et de l’homogénéité : l’intégrale étant une somme étendue, elle respecte la distributivité vis-à-vis des fonctions et la multiplication par un scalaire.
6. Application directe : comment utiliser Chasles et la linéarité
6.1 Utilisation de la relation de Chasles
Calculer \( \int_0^3 f(x) dx \) sachant que \( \int_0^1 f(x) dx = 2 \) et \( \int_1^3 f(x) dx = 5 \).
Solution :
\[
\int_0^3 f(x) dx = \int_0^1 f(x)dx + \int_1^3 f(x) dx = 2 + 5 = 7
\]
6.2 Borne d’intégration inversée
\( \int_a^b f(x) dx = – \int_b^a f(x) dx \)
Cela découle de la définition de l’intégrale comme somme orientée et se combine avec la relation de Chasles pour décomposer les intervalles selon les besoins du calcul.
6.3 Utilisation de la linéarité
Soit \( f(x) = x^2 \) et \( g(x) = \sin x \) sur [0, π]. Calculer \( \int_0^\pi (3f(x) – 2g(x)) dx \).
Solution :
\[
\int_0^\pi (3x^2 – 2\sin x) dx = 3 \int_0^\pi x^2 dx – 2 \int_0^\pi \sin x dx
\]
D’où, après calcul :
\[
3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^\pi – 2 [-\cos x]_0^\pi
= (\pi^3 – 0) – 2 (-(\cos \pi – \cos 0))
= \pi^3 – 2 (1 + 1) = \pi^3 – 4
\]
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7. Cas particuliers et généralisations
On applique également Chasles et la linéarité pour gérer les fonctions continues par morceaux, où l’intervalle d’intégration est découpé à chaque point de discontinuité.
Soit \( f(x) = 1 \) sur [0,1[, \( f(x) = 2 \) sur [1,2]. Calculer \( \int_0^2 f(x) dx \).
Solution : On a :
\[
\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 1 dx + \int_1^2 2 dx = (1-0) \times 1 + (2-1) \times 2 = 1 + 2 = 3
\]
Pour les intégrales sur des bornes infinies ou les intégrales sur intervalles non bornés, ces propriétés restent valables dès que l’intégrale a un sens (convergence), ce qui se vérifie via les critères de convergence.
8. Erreurs courantes et points d’attention
Certaines erreurs sont fréquentes : oublier de changer le signe lors de l’inversion des bornes, négliger un changement d’intervalle en présence de discontinuités, ou omettre la vérification des conditions d’intégrabilité (fonctions intégrables). Il est aussi important de maîtriser les autres outils d’analyse comme l’inégalité triangulaire pour les intégrales et les relations avec le théorème fondamental de l’analyse.
9. Exercices variés et contexte CPGE
Soit \( f(x) \) continue sur [0,3] et telle que \( \int_0^1 f(x)dx = 4 \), \( \int_1^2 f(x)dx = -1 \), \( \int_2^3 f(x)dx = 7 \). Calculer \( \int_0^3 f(x)dx \).
Réponse :
\[
\int_0^3 f(x)dx = \int_0^1 f(x)dx + \int_1^2 f(x)dx + \int_2^3 f(x)dx = 4 + (-1) + 7 = 10
\]
Soit \( f(x) = x \), calculer \( \int_{-1}^1 f(x)dx \).
Réponse :
Comme \( f \) est impaire, l’intégrale vaut 0.
D’autres exercices d’approfondissement et sujets de concours sur l’intégration sont disponibles dans notre article dédié aux questions d’intégrales en concours.
10. Liens internes et ressources complémentaires
- Chasles et linéarité de l’intégrale : définitions & preuves
- Intégration par parties : méthodes et exemples
- Changement de variable en intégration : étapes détaillées
- Méthode de comparaison série-intégrale
- Inégalité de Cauchy-Schwarz pour l’intégrale
- Fonctions de référence et convergence des intégrales
11. Conclusion
Les propriétés de Chasles et de linéarité sont incontournables dans tout calcul d’intégrale, de l’obtention de primitives à la résolution des développements asymptotiques. Elles servent de socle à de nombreuses manipulations et optimisent la résolution des problèmes rencontrés en CPGE scientifique.
- Toujours vérifier que la fonction est intégrable sur l’intervalle
- Découper l’intervalle en cas de points de discontinuité
- Décomposer l’intégrale pour mieux appliquer les méthodes avancées (par parties, changement de variable, etc.)
Pour maîtriser totalement ces notions, il est vivement conseillé de s’exercer sur des cas concrets et de consulter les autres articles du silo référencés ci-dessus.
- Notations de Landau appliquées aux intégrales
- Intégration de fonctions avec ln, arctan, racines
- Méthodes numériques : la règle de Simpson
Pour approfondir votre préparation, découvrez l’article dédié à la preuve du Théorème Fondamental de l’Intégration.
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