L’intégration occupe une place centrale dans le programme de mathématiques des classes préparatoires scientifiques. Maîtriser les méthodes classiques, et en particulier les changements de variable, est indispensable pour aborder les exercices et problèmes d’intégration les plus variés ! Ce guide express vous dévoilera non seulement la méthode précise du changement de variable, mais aussi ses fondements, ses principales variantes, des exemples concrets, et des conseils pour éviter les erreurs fréquentes. Vous retrouverez également, grâce à des liens internes, toutes les ressources nécessaires pour approfondir votre compréhension des fonctions intégrables, des critères de convergence et des techniques liées à l’intégration.
Fondements du changement de variable en intégration
Pour bien comprendre la méthode du changement de variable, il convient de rappeler le principe fondamental qui la sous-tend. Le changement de variable consiste à transformer une intégrale difficile en une forme plus simple, en substituant la variable d’intégration par une nouvelle variable adaptée. Cette technique s’appuie directement sur le théorème fondamental de l’intégration. Pour une introduction générale à ce théorème, consultez notre article : le théorème fondamental de l’intégration expliqué.
\[
\int_{a}^{b} f(x)\ dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\ dt
\]
où $\alpha = \varphi^{-1}(a)$ et $\beta = \varphi^{-1}(b)$.
Ainsi, il s’agit d’exprimer la variable $x$ en fonction d’une nouvelle variable $t$ puis d’exprimer chaque élément de l’intégrale (bornes, fonction, différentielle) dans cette nouvelle variable.
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Origines et justification théorique du changement de variable
Historiquement, la technique du changement de variable trouve son origine dans les travaux d’Isaac Newton et de Gottfried Wilhelm Leibniz sur le calcul différentiel. Le principe est alors relié à la substitution utilisée pour simplifier les primitives lors de la résolution d’intégrales indéfinies.
La justification théorique repose sur la stricte équivalence des aires comprises entre les deux variables. Grâce à l’application de la dérivation, on peut passer rigoureusement de l’intégrale d’une fonction composée à l’intégrale de la fonction initiale via la chaîne des différentielles : $dx = \varphi'(t)\ dt$. Pour plus de détails sur la justification formelle, reportez-vous à l’article changement de variable en intégration : étapes.
Étapes détaillées du changement de variable
- 1. Choisir la substitution : identifier la nouvelle variable $t$ à introduire, adaptée à la structure de l’intégrale.
- 2. Écrire la relation de substitution : exprimer $x$ en fonction de $t$ (c’est-à-dire $x = \varphi(t)$) puis exprimer $dx$ en fonction de $dt$.
- 3. Traduire les bornes d’intégration dans la nouvelle variable.
- 4. Réécrire l’intégrale avec la nouvelle variable.
- 5. Calculer l’intégrale dans cette nouvelle variable, puis éventuellement revenir à la variable d’origine.
Pour mieux comprendre ces étapes, retrouvez l’explication complète à ce sujet dans : changer de variable en intégration : étapes détaillées.
Exemples concrets et classiques de changements de variable
Considérons l’intégrale suivante :
\[
\int_0^2 (3x+1)\ dx
\]
On pose $u=3x+1$, donc $du=3dx$ ou $dx = du/3$, et les bornes changent :
– Lorsque $x=0$, $u=1$
– Lorsque $x=2$, $u=7$
L’intégrale devient alors :
\[
\int_{1}^{7} \frac{u}{3}\ du = \frac{1}{3} \int_1^7 u\, du = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^2}{2}\right]_1^7 = \frac{1}{3} \left( \frac{49}{2} – \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3} \times 24 = 8
\]
Prenons l’intégrale :
\[
\int_0^{\pi/2} \sqrt{\sin t}\ \cos t\ dt
\]
Posons $u=\sin t$ donc $du = \cos t\ dt$. Quand $t=0$, $u=0$ et quand $t=\pi/2$, $u=1$. L’intégrale devient alors :
\[
\int_0^1 \sqrt{u}\ du = \left[ \frac{2}{3}u^{3/2}\right]_0^1 = \frac{2}{3}
\]
Découvrez d’autres exemples détaillés, dont les stratégies adaptées à chaque structure d’intégrale, sur notre page changements de variable classiques : guide complet.
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Soit l’intégrale :
\[
\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}
\]
On reconnaît la dérivée de $\arcsin x$. Mais effectuons un changement de variable $x = \sin t$, avec $t \in [0, \pi/2]$. Alors $dx = \cos t\ dt$ et $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t$, donc :
\[
\int_{t=0}^{\pi/2} \frac{\cos t\ dt}{\cos t} = \int_0^{\pi/2} dt = \frac{\pi}{2}
\]
Conseils pour réussir son changement de variable
- Vérifiez toujours les nouvelles bornes d’intégration suite à la substitution.
- Pensez à bien traduire la différentielle $dx$ en fonction de $dt$ pour éviter toute erreur de signe ou de constante.
- Lorsque l’intégrale est définie sur un intervalle infini, reportez-vous à : intégrales à bornes infinies : méthode et détecter la divergence d’une intégrale impropre.
- Pour les fonctions continues par morceaux ou fonctions en escalier, les changements de variable restent valables : lire fonctions continues par morceaux : définition et fonction en escalier : comment la reconnaître.
Résumé des changements de variable classiques
On distingue plusieurs types classiques de changement de variable, particulièrement utiles en prépa :
- Changement de variable affine : $x = at + b$. Permet de centrer, décaler ou dilater l’intervalle d’intégration.
- Changement de variable trigonométrique : $x = \sin t$, $x = \cos t$, $x = \tan t$, pour simplifier la présence de racines carrées.
- Changement de variable homographique : $x = \frac{at + b}{ct + d}$, dans certains calculs rationnels et pour linéariser des fractions.
- Substitutions circulaires : Utile pour les intégrales de type $\int \frac{1}{a^2 + x^2}\ dx$ ou $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}}\ dx$.
De tels changements permettent non seulement de calculer plus aisément des intégrales, mais aussi de démontrer des propriétés générales sur les intégrales telles que l’inégalité de Cauchy-Schwarz (voir inégalité de Cauchy-Schwarz et intégrale), la comparaison série-intégrale (méthode de comparaison série–intégrale) ou encore la valeur moyenne d’une fonction continue (calculer la valeur moyenne d’une fonction continue).
Cas d’application avancée et liens avec d’autres techniques
Le changement de variable se combine fréquemment avec d’autres techniques d’intégration, par exemple l’intégration par parties (méthodes et exemples), ou encore dans l’étude des fonctions à convergence délicate (critères de convergence absolue, exemples d’intégrales semi-convergentes).
Pour les fonctions continues par morceaux ou pour l’intégration sur des intervalles non bornés, le changement de variable conserve toute son utilité, en respectant quelques précautions sur la régularité des fonctions et la gestion correcte des bornes.
N’oubliez pas de vous entraîner régulièrement sur une diversité d’exercices : le réflexe du bon choix de variable s’acquiert à force de pratique. Pensez également, lors de l’utilisation du changement de variable, à vérifier si votre fonction reste bien définie et intégrable après le passage à la nouvelle variable (voir fonction intégrable : définitions et conditions et espaces de fonctions intégrables $L^1$).
Pour aller plus loin
Explorez aussi les méthodes numériques (formule de Simpson, méthode de Simpson), l’analyse des fonctions spéciales telles que les logarithmes, arctan, racines dans les intégrales (intégrer les fonctions ln, arctan, racines), ou l’approximation des intégrales par sommes de Riemann (sommes de Riemann et intégrales).
- Relation de Chasles et linéarité de l’intégrale
- Inégalité triangulaire pour les intégrales
- Développements limités et intégrales
- Equivalents, intégrales et développements limités
- Notations de Landau et intégrales
- Tracer la primitive d’une fonction
- Dérivée d’une fonction par intégrale à variable
- Intégrales : exemples de questions de concours
Pour toute question, n’hésitez pas à parcourir les autres guides du silo intégration, accessibles ci-dessus ou via le menu du site !
Bon courage dans vos révisions et bon entraînement sur les changements de variable en intégration !
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