Dans le cursus scientifique des classes préparatoires, l’étude des intégrales occupe une place centrale et la maîtrise des différentes méthodes de calcul est incontournable. Parmi elles, la méthode combinée des développements limités et intégrales se révèle être un outil puissant et polyvalent, particulièrement efficace pour estimer des intégrales difficiles ou pour établir des équivalents. Cette approche printanière, à la croisée du calcul différentiel et de l’analyse intégrale, mérite une exploration détaillée afin d’en saisir tout l’intérêt et les subtilités. Dans cet article, nous allons présenter cette méthode, ses fondements théoriques, des rappels essentiels, des exemples concrets, ainsi que des pistes pour aller plus loin, le tout dans une progression claire et motivante.
Contexte et origines de la méthode combinée développements limités – intégrales
L’utilisation conjointe des développements limités (DL) et des intégrales remonte à l’avènement du calcul infinitésimal. Dès le XIXᵉ siècle, les mathématiciens ont perçu tout l’intérêt d’approximer les fonctions sous l’intégrale par leur comportement local grâce aux polynômes de Taylor, puis d’intégrer les estimations obtenues pour donner des résultats précis sur la valeur des intégrales, leurs asymptotiques, ou leur convergence. Cette méthode s’est graduellement imposée dans le paysage des classes préparatoires scientifiques, servant d’outil privilégié dans de nombreux sujets de concours.
Pour approfondir l’historique des différentes méthodes d’intégration, vous pouvez consulter nos articles sur l’intégration par parties et le changement de variable.
Fondements théoriques : pourquoi et comment combiner DL et intégrale ?
Rappelons d’abord que le développement limité d’une fonction permet d’approximer celle-ci, au voisinage d’un point, par un polynôme. Si l’on souhaite étudier une fonction intégrable $f$ difficile à manipuler, on peut la remplacer, sur une partie de l’intervalle, par ce polynôme approché. Grâce aux propriétés de linéarité et de continuité de l’intégrale (voir relation de Chasles et linéarité de l’intégrale), il devient alors possible de calculer ou d’estimer l’intégrale cherchée avec une grande précision.
Cette technique devient cruciale face à des intégrales dont la convergence dépend du comportement de la fonction intégrée près d’une borne (cas typique des intégrales semi-convergentes ou à borne infinie) ou si l’on cherche un équivalent pour une intégrale paramétrée.
Rappels essentiels : développements limités et intégration
Revenons succinctement sur les principaux concepts nécessaires :
- Développement limité : Pour $f$ définie sur un voisinage de $a$, on appelle développement limité à l’ordre $n$ en $a$ l’expression :
$ f(x) = P_n(x) + o((x-a)^n) $, avec $P_n(x)$ un polynôme de degré $n$. - Intégration terme à terme : Si la fonction $f$ est remplacée par son DL dans une intégrale, et si le domaine d’intégration est compatible, on peut intégrer chaque terme du polynôme séparément.
- Estimation du reste : La maîtrise du terme d’erreur — le « petit o » — est essentielle pour garantir la justesse de l’approximation.
Ces bases théoriques interviennent par exemple si $f$ présente une singularité intégrable, comme $f(x) = \ln(1+x)$ près de $0$.
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Méthode pas à pas : appliquer DL + intégrale
La démarche peut être résumée en plusieurs étapes :
- Identifier la difficulté : Est-ce la convergence près d’une borne, ou le calcul d’un équivalent, qui pose question ?
- Choisir un point de développement : Bien souvent, il s’agit de $0$ ou d’une borne de l’intervalle.
- Obtenir le développement limité : Calculer, à l’ordre pertinent, le DL de la fonction à intégrer.
- Écrire l’intégrale en deux parties :
- intégrale du polynôme approché,
- intégrale du reste (terme d’erreur).
- Estimer l’intégrale du reste : Utiliser des majorations classiques ou les propriétés de régularité de $f$.
- Conclure : Interpréter le résultat : évaluation numérique, équivalent, ou critère de convergence.
Exemples concrets et variés d’application
On pose $f(t) = \ln(1+t)$, dont le développement limité à l’ordre 2 en $0$ est $t – \frac{t^2}{2} + o(t^2)$. Alors :
$$
\int_0^x \ln(1+t)\,dt = \int_0^x \left(t – \frac{t^2}{2}\right)dt + \int_0^x o(t^2) dt
$$
Les deux premiers termes s’intègrent directement : $\frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{6}$. Le reste donne un $o(x^3)$. Finalement,
$$
\int_0^x \ln(1+t)\,dt = \frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{6} + o(x^3)
$$
Au voisinage de 0, $\frac{\sin x}{x} = 1 – \frac{x^2}{6} + o(x^2)$. L’intégrande se comporte comme $1 – \frac{x^2}{6}$ près de 0.
L’intégrale du terme constant sur $[0,1]$ divergerait, mais sur un intervalle strictement inclus dans $]0,1]$, elle pose question (voir intégrales sur intervalle non borné). Le DL permet ici de comprendre la convergence par la décroissance rapide du reste.
Chercher l’équivalent en $x\to 0$ de $\int_0^1 \frac{1-e^{-xt}}{t} dt$.
On développe $1-e^{-xt} \sim xt – \frac{x^2 t^2}{2}$, donc $\frac{1-e^{-xt}}{t} \sim x – \frac{x^2 t}{2}$. D’où
$$
\int_0^1 \frac{1-e^{-xt}}{t}dt \sim x \int_0^1 dt – \frac{x^2}{2} \int_0^1 t dt = x – \frac{x^2}{4}
$$
Estimation et maîtrise de l’erreur
Une étape délicate est l’estimation du reste, surtout quand l’intégrale porte sur l’infini ou des points singuliers. Il faudra alors utiliser les techniques pointues des fonctions de référence, des équivalents pour les intégrales, et parfois mobiliser des arguments issus des critères de convergence absolue ou de la comparaison série-intégrale.
Retrouvez des exemples approfondis sur ce procédé en consultant notre guide détaillé sur les DL sous l’intégrale.
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Remarques et conseils de préparation aux concours
La méthode combinée DL + intégrale est incontournable lors des épreuves orales et écrites en CPGE. Elle intervient :
- Pour établir la convergence de certaines intégrales impropres (voir détecter la divergence d’une intégrale impropre).
- Pour calculer des équivalents lorsque l’intégrande dépend d’un paramètre (prix fort en analyse asymptotique).
- Pour calculer de manière approchée des intégrales sans primitive connue (utilisez l’intégration des fonctions log, arctan, racines en complément).
- Dans de nombreux sujets de concours d’intégrales, pour distinguer des subtilités de convergence.
Entraînez-vous à maîtriser la manipulation du reste, à savoir passer du terme « petit o » sous l’intégrale à son estimation précise, et pensez à utiliser les notations de Landau pour bien structurer vos équivalents.
Liens utiles pour approfondir la technique
- Intégration par parties
- Changement de variable
- Relation de Chasles et linéarité
- Fonctions continues par morceaux
- Fonction en escalier
- Inégalité de Cauchy-Schwarz sur les intégrales
- Méthodes numériques : Simpson
- Tracer la primitive d’une fonction, méthode graphique
N’hésitez pas à parcourir la section dédiée aux méthodes combinées et équivalents d’intégrales pour explorer des sujets connexes et vous préparer efficacement aux concours !
- À retenir : La méthode combinée développements limités et intégrales s’impose dès que le comportement local de la fonction intégrée joue un rôle-clé. Elle s’enseigne en CPGE, se perfectionne par la pratique, et vous ouvrira les portes de nombreux domaines de l’analyse.
Vous pouvez tester vos connaissances en vous rendant sur nos exercices sur les sommes de Riemann ou sur les espaces de fonctions intégrables.
Pour toute question ou pour demander d’autres exemples détaillés, laissez un commentaire ci-dessous, et poursuivez votre progression dans l’analyse intégrale avec nos autres fiches !
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