L’intégration et la recherche de primitives occupent une place centrale dans le programme de mathématiques des classes préparatoires scientifiques. Comprendre comment tracer la primitive d’une fonction par l’intégration permet non seulement de résoudre de nombreux exercices, mais fonde aussi une partie de la culture mathématique essentielle avant l’entrée en école d’ingénieur. Dans cet article, vous découvrirez tout ce qu’il faut savoir sur cette méthode fondamentale, ses bases théoriques, des rappels et définitions utiles, un aperçu historique, une démarche structurée, ainsi que de nombreux exemples détaillés pour vous entraîner et approfondir vos connaissances.
Qu’est-ce qu’une primitive ? Définitions et rappels essentiels
En pratique, déterminer une primitive revient donc à trouver une fonction $F$ dont la dérivée coïncide avec la fonction d’origine $f$. Il est important de noter que si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors l’ensemble des primitives de $f$ s’écrit $F + C$, où $C$ est une constante réelle.
Avant d’aller plus loin, vous pouvez revoir les notions de fonctions continues par morceaux et fonction intégrable et ses conditions qui sont essentielles à la compréhension de l’intégration.
Origines et fondements historiques de l’intégration
L’histoire de l’intégration remonte à l’Antiquité, avec l’approximation des aires par la méthode d’exhaustion d’Archimède. Mais ce n’est qu’au XVIIe siècle, avec Newton et Leibniz, que s’élabore le calcul intégral tel que nous le connaissons aujourd’hui. Ils découvrent le théorème fondamental de l’analyse, établissant le lien profond et fécond entre la dérivation et l’intégration :
Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors la fonction $F$ définie par $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$.
Ce résultat capital justifie la méthode générale consistant à obtenir graphiquement ou analytiquement une primitive de $f$ à l’aide de l’intégrale définie. C’est cette idée que nous allons approfondir dans la suite de l’article.
La méthode : tracer la primitive d’une fonction par l’intégration
L’objectif est de tracer le graphe d’une primitive d’une fonction $f$ donnée sur un intervalle, en utilisant l’expression :
$$
F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt
$$
où $a$ est un point de l’intervalle considéré (souvent choisi pour faciliter les calculs ou illustrer un comportement particulier).
La démarche générale s’appuie sur le théorème précédent, mais nécessite de tenir compte de la régularité de $f$. Lorsque $f$ est continue par morceaux ou fonction en escalier (voir fonction en escalier : comment la reconnaître), l’intégrale existe et on peut définir une primitive de cette manière.
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Construction pratique de la primitive par intégration
On pose $F(x) = \int_0^x t\,dt$.
Calcul :
\(
\int_0^x t\,dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^x = \frac{x^2}{2}
\)
Ainsi, la fonction $F(x) = \dfrac{x^2}{2}$ est une primitive de $f(x)=x$.
Retenez que chaque primitive diffère d’une constante, mais avec cette méthode, on fabrique une primitive particulière vérifiant $F(0) = 0$.
Méthodologie détaillée pour tracer la primitive à partir de l’intégrale
- Choisir le point de base $a$ : Ce choix fixera l’origine verticale de la primitive. En général, on prend $a$ à une extrémité ou en un point simple à calculer.
- Exprimer $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$: On calcule cette intégrale. Si la fonction $f$ n’a pas de primitive élémentaire explicite, on peut parfois obtenir une expression numérique ou graphique.
- Traduire le comportement de $f$ en propriétés de $F$ :
- Signe de $f$: Si $f$ est positive, $F$ est croissante; si $f$ est négative, $F$ est décroissante.
- Nuls de $f$: Si $f(x_0) = 0$, alors $F$ admet potentiellement un extremum local en $x_0$.
- Continuité et angles: Si $f$ est continue par morceaux (voir définition et exemples), $F$ est continue, mais $F’$ n’existe pas aux points de discontinuité de $f$.
Pour approfondir ces notions, consultez nos articles dédiés à l’intégration des fonctions continues par morceaux et à la relation de Chasles pour l’intégrale.
Étude graphique : tracer manuellement $F$ à partir du graphe de $f$
On peut esquisser qualitativement $F$ à partir de la courbe de $f$ en suivant ces étapes :
- Où $f$ traverse l’axe des abscisses, $F$ admet un extremum local.
- Lorsque $f$ est positive, la primitive $F$ monte ; lorsque $f$ est négative, elle descend.
- Une discontinuité de $f$ se traduit par un changement de pente brutal de $F$ (angle, mais $F$ reste continue si $f$ est intégrable).
On pose $F(x) = \int_0^x \sin t\,dt = -\cos x + 1$.
On obtient un maximum en $x = \pi/2$, un minimum en $x = 3\pi/2$. Le graphique de $F$ ondule, déphasé de $\pi/2$ par rapport à celui de $f$.
Consultez nos ressources sur l’ensemble $L^1$ des fonctions intégrables pour mieux saisir sur quels types de fonctions cette méthode s’applique.
Exemples variés de tracé de primitives par l’intégration
\[
f(x) = \begin{cases}
1 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ -1 & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \] sur $\mathbb{R}$.
$F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ décrit une fonction en escalier :
- Pour $x \in [0,1]$, $F(x)=x$
- Pour $x \in [1,2]$, $F(x)=1-(x-1)=2-x$
- Pour $x>2$, $F(x)=0$
Le graphe de $F$ est continu, avec des angles aigus aux points $1$ et $2$.
Pour plus d’exemples, voir reconnaître une fonction en escalier.
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Extensions et cas particuliers
L’intégration permet aussi de définir la primitive sur des domaines plus larges, notamment dans le cas des intégrales sur un intervalle non borné, ou d’intégrales à bornes infinies. Dans chacun de ces cas, des conditions sur la convergence des intégrales sont requises (voir aussi détecter la divergence d’une intégrale impropre et critères de convergence absolue).
Pour aller plus loin : la primitive définie comme fonction d’une variable
Une primitive obtenue par intégration dépend elle-même de la borne supérieure : c’est une fonction d’intégrale à variable supérieure, notée
\(
G(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt
\).
Le théorème fondamental de l’intégration assure alors que $G'(x)=f(x)$ presque partout.
Découvrez aussi l’approche par Sommes de Riemann pour l’approximation de l’intégrale, ou la méthode de Simpson pour l’intégration numérique, utiles pour appréhender graphiquement la primitive de $f$.
Relation entre primitive et intégrale définie
Soit $f$ intégrable sur $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a, b]$. Alors :
\(
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)
\)
C’est la formule fondamentale du calcul intégral, permettant le passage de l’aire sous la courbe à l’étude des variations de la primitive.
Pour mieux comprendre ce passage et ses subtilités, reportez-vous à la relation de Chasles et à l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales.
Petites astuces et exercices pour la pratique
Entraînez-vous à :
- Déterminer graphiquement la forme qualitative de la primitive à partir du signe et des variations de $f$.
- Utiliser à bon escient le choix de la borne inférieure $a$ (pour rendre la primitive nulle en $a$, par exemple).
- Appliquer les méthodes d’intégration par parties ou de changement de variable selon la nature de $f$ (voir aussi changements de variable classiques).
- Repérer les points de discontinuité ou les cas de convergence délicate (exemples d’intégrales semi-convergentes).
- Utiliser la notion de valeur moyenne, par exemple pour des applications en physique.
Si vous préparez un concours, pensez à consulter notre guide pour bien répondre aux questions sur les intégrales.
Conclusion
Tracer la primitive d’une fonction par l’intégration est une méthode puissante, théoriquement robuste et largement utilisée dans tous les contextes scientifiques. Elle permet de lier l’analyse de la courbe d’une fonction à sa géométrie cumulative (aire, accumulation, oscillation). En connaissant bien les fondamentaux et les diverses méthodes auxiliaires (changement de variable, parties, estimation graphique), aucun exercice de CPGE sur le sujet ne pourra plus vous résister !
Pour approfondir, naviguez aussi vers nos articles sur les développements limités et intégrales, équivalents d’intégrales ou la notation de Landau pour les intégrales. Bonne découverte et bon travail !
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