L’inégalité triangulaire est un outil central de l’analyse réelle et, plus spécifiquement, de l’étude des intégrales dans le cadre des classes préparatoires scientifiques. Souvent introduite lors de la manipulation des séries ou des fonctions, elle permet d’établir des majorations précieuses pour l’estimation d’intégrales, la convergence, ou les études de fonctions intégrables sur un intervalle. Voyons en détail comment appliquer efficacement l’inégalité triangulaire à une intégrale, en détaillant ses fondements, ses applications, ainsi que des exemples concrets pour devenir incollable sur le sujet.
Rappel sur l’inégalité triangulaire
$$
\|u + v\| \leq \|u\| + \|v\|
$$
Cette propriété se décline en analyse réelle, notamment pour la valeur absolue des réels :
$$
|a + b| \leq |a| + |b|
$$
Cet outil fondamental sert de base à de nombreuses estimations, aussi bien dans l’étude des fonctions continues par morceaux que dans le domaine des intégrales impropres ou de la convexité.
Fondements théoriques de l’inégalité triangulaire pour les intégrales
Lorsque l’on travaille sur une fonction intégrable $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ ou $f : [a,b] \to \mathbb{C}$, on s’appuie fréquemment sur la version intégrale de l’inégalité triangulaire :
$$
\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \, dx
$$
Ce résultat simple à énoncer est l’un des plus puissants pour l’analyse et l’estimation des intégrales. Il découle de la version discrète de l’inégalité triangulaire appliquée à une somme de Riemann, puis étendue à l’intégrale par limite de telles sommes. On retrouve ce principe dans l’enseignement des sommes de Riemann, socle indispensable pour comprendre la définition même de l’intégrale.
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Comment démontrer l’inégalité triangulaire pour les intégrales ?
Démontrons-la brièvement pour mieux cerner ses implications. Écrivons tout d’abord l’intégrale de $f$ sous forme de somme de Riemann :
$$
\int_a^b f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i
$$
En appliquant la valeur absolue, et l’inégalité triangulaire pour des réels :
$$
\left| \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i \right| \leq \sum_{i=1}^n |f(x_i^*)| \Delta x_i
$$
En passant à la limite, on obtient :
$$
\left| \int_a^b f(x)\, dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\, dx
$$
Contextes d’application en CPGE
L’inégalité triangulaire intervient dès que l’on souhaite majorer une intégrale, montrer une convergence absolue, ou estimer l’écart entre deux fonctions intégrées, par exemple, lors de l’étude des fonctions continues par morceaux sur un intervalle ou des intégrales semi-convergentes.
Ses applications principales sont :
- Étudier la convergence d’une intégrale, par exemple montrer la convergence absolue via les critères de convergence absolue.
- Estimer le reste dans un développement limité grâce à l’encadrement de l’intégrale d’une différence de fonctions (développements limités et intégrales).
- Majorer une erreur commise lors de l’approximation d’une intégrale par changement de bornes ou méthodes numériques.
- Illustrer la stabilité de l’intégrale vis-à-vis des perturbations de la fonction intégrée.
Exemples concrets d’utilisation
Exemple 1 : Majoration d’une intégrale d’une somme
$$
\left| \int_a^b (f(x)+g(x))\, dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\, dx + \int_a^b |g(x)|\, dx
$$
C’est la réécriture directe de l’inégalité triangulaire appliquée à l’intégrale.
Ce principe s’étend également à toute combinaison linéaire, ce qui rejoint la relation de Chasles et la linéarité de l’intégrale.
Exemple 2 : Contrôle de la norme $L^1$
$$
\|f+g\|_1 = \int_a^b |f(x)+g(x)|\, dx \leq \|f\|_1 + \|g\|_1
$$
Ce qui caractérise la norme dans l’espace $L^1$. Pour en savoir plus, voir la définition de l’espace $L^1$.
Exemple 3 : Critère de convergence absolue
$$
\left| \int_a^b f(x)\, dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\, dx
$$
La réciproque est fausse en général, comme le montre l’exemple classique de $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx$.
Ceci rejoint les notions de semi-convergence et la convergence absolue des intégrales.
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Quelques variantes et compléments usuels
L’inégalité triangulaire se complète aussi par d’autres inégalités célèbres, plus fines, utilisées en CPGE, telles que :
- L’inégalité de Cauchy-Schwarz pour $L^2$ :
$$
\left|\int_a^b f(x) g(x)\, dx \right| \leq \sqrt{\int_a^b |f(x)|^2 dx} \cdot \sqrt{\int_a^b |g(x)|^2 dx}
$$ - La majoration simple par la borne supérieure :
$$
\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq (b-a) \sup_{x\in[a,b]} |f(x)|
$$
Très utile pour les intégrales sur des intervalles non bornés ou bornes infinies.
Un peu d’histoire : origine de l’inégalité triangulaire
L’inégalité triangulaire, sous sa version classique, remonte à la géométrie euclidienne où elle traduit, comme son nom l’indique, l’idée que dans tout triangle la longueur d’un côté est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés. Son extension à l’analyse – en particulier, en théorie de la mesure et de l’intégration (officiellement par Lebesgue au début du XXe siècle) – a été essentielle pour formuler l’existence et les propriétés fondamentales de l’intégrale des fonctions réelles et complexes, et a permis l’essor des espaces de fonctions intégrables, comme $L^1$ ou $L^2$.
Applications avancées
L’inégalité triangulaire est la clé pour la comparaison d’intégrales par changement de variable ou dans l’intégration par parties. Elle facilite également la gestion des intégrales divergentes en majore la contribution « problématique », tout en guidant l’encadrement d’erreurs dans l’approximation numérique d’intégrales (par la méthode de Simpson, par exemple).
En concours, elle offre aussi de robustes moyens de rédiger une réponse rigoureuse à une question type sur les intégrales, en particulier lors d’une incertitude sur la convergence ou l’estimation d’une intégrale.
À retenir
L’inégalité triangulaire appliquée à une intégrale est une méthode sûre, rapide et efficace pour majorer, comparer, et comprendre la structure de toute intégrale issue de l’analyse réelle ou complexe. Sa maîtrise fait partie des compétences incontournables de tout étudiant en CPGE, et elle s’articule naturellement avec d’autres techniques approfondies comme la méthode d’intégration par parties, l’utilisation judicieuse du changement de variable, ou l’étude de fonctions de référence pour la convergence des intégrales.
N’hésitez pas à relire vos fondamentaux sur la définition d’une fonction intégrable, à explorer les subtilités des fonctions continues par morceaux et à pratiquer sur des exemples d’intégration de fonctions continues par morceaux pour devenir totalement à l’aise avec cette inégalité essentielle.
- L’inégalité triangulaire est un outil universel pour encadrer et comparer des intégrales.
- Elle repose sur une propriété géométrique simple, mais est omniprésente en analyse réelle et complexe.
- Retenez la version clé :
$$
\left| \int_a^b f(x)\, dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\, dx
$$ - Sa maîtrise permet d’affronter de nombreux problèmes de convergence, de majoration, et de stabilité en CPGE.
Vous disposez désormais de toutes les clés pour appliquer cette inégalité triangulaire à une intégrale, aussi bien en théorie qu’au travers d’exemples concrets, historiques et techniques. Continuez à explorer le monde fascinant de l’analyse avec confiance !
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