Intégration par parties : méthode et exemples types

L’intégration par parties est une technique centrale dans le programme de mathématiques des classes préparatoires scientifiques (CPGE), et plus largement dans l’analyse mathématique avancée. Permettant de calculer des intégrales où le produit de fonctions apparaît, cette méthode s’appuie sur le lien profond entre la dérivation et l’intégration. À travers une explication détaillée, des rappels théoriques, une analyse historique ainsi que de nombreux exemples concrets, ce guide complet vise à rendre l’intégration par parties accessible et maîtrisée pour tous.

Fondements théoriques de l’intégration par parties

Avant de présenter la méthode, il est capital de rappeler brièvement le contexte théorique de l’intégration par parties.

Cette formule découle directement de la règle de dérivation d’un produit, connue sous le nom de théorème fondamental de l’intégration. Elle permet de transformer une intégrale souvent complexe en une différence d’intégrales plus simples à évaluer.

Rappels importants sur les intégrales

Pour aborder sereinement l’intégration par parties, certains rappels sur l’intégrale s’imposent :

• Une fonction intégrable sur un intervalle est, au minimum, continue par morceaux.
• La relation de Chasles permet de décomposer une intégrale sur des sous-intervalles.
• La relation de Cauchy-Schwarz fournit un outil d’analyse sur la convergence de certaines intégrales.

Origines et contexte historique

L’intégration par parties tire son origine de la règle de Leibniz pour la dérivée d’un produit de fonctions, découverte au XVII^e siècle. C’est le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz qui formalisera pour la première fois cette règle en 1693, posant les bases du calcul infinitésimal et de l’analyse moderne.

Principe de la méthode d’intégration par parties

La réussite de la méthode repose sur le choix optimal des fonctions u(x) et v'(x). En général, il faut :

• Identifier dans l’intégrande u(x) une fonction simple à dériver
• Choisir v'(x) telle que sa primitive v(x) soit facile à calculer

On applique ensuite la formule vue plus haut pour transformer l’intégrale initiale.

Étapes pratiques pour appliquer l’intégration par parties

1. Repérer les deux fonctions à jouer le rôle de u et dv dans le produit u dv.
2. Calculer du = u'(x)dx et v, primitive de dv.
3. Appliquer la formule d’intégration par parties :
4.  ∫u dv = uv – ∫v du
5. Évaluer les bornes si l’intégrale est définie sur [a; b].

Exemples concrets d’application

Exemple 1 : Calcul de ∫₀¹ x e^x dx

Pour approfondir les intégrales sur des fonctions particulières, consultez l’article intégrer une fonction continue par morceaux : méthode.

Exemple 2 : ∫ x² ln(x) dx sur [1; 2]

Choisir judicieusement les fonctions u et dv

Le choix de u et dv est crucial. Dans de nombreux cas, la méthode LIATE (Logarithme, Inverse, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle) peut guider le choix :

• Logarithme : prioritaire (ln x)
• Inverse : (1/x)
• Algébrique : (x, x², …)
• Trigonométrique : (sin x, cos x, …)
• Exponentielle : (e^x, …)

Pour en savoir plus sur les différentes fonctions et leurs propriétés, prière de consulter les articles fonctions continues par morceaux : définition et exemples et fonction en escalier : comment la reconnaître ?.

Exemples avancés : intégration par parties itérative et en impropre

Itération de la méthode

Cas des intégrales impropres

La méthode reste valable pour les intégrales sur des intervalles non bornés ou à support infini, à condition de vérifier la convergence absolue de l’intégrale concernée.

Cas particuliers et fonctions de référence

L’intégration par parties sert à obtenir les fonctions de référence pour la convergence des intégrales, en particulier lorsque l’intégrande comporte des logarithmes, puissances ou fonctions trigonométriques.

Pour intégrer des fonctions comme ln(x), arctan(x), ou comportant des racines, voir l’article intégration des fonctions ln, arctan, racines.

Exercice type CPGE

Lien avec d’autres méthodes d’intégration

L’intégration par parties se combine souvent avec d’autres techniques comme le changement de variable, utilisé notamment pour simplifier un problème avant d’intégrer par parties.

L’intégration par parties est essentielle dans l’évaluation des intégrales à bornes infinies, l’étude des intégrales semi-convergentes, et dans les méthodes numériques telles que la méthode de Simpson.

Foire aux questions sur l’intégration par parties

• Peut-on toujours appliquer la méthode ?
  Non, certaines intégrales ne se prêtent pas à l’intégration par parties. Il convient de vérifier la convergence et la régularité des fonctions.
• Quels sont les pièges classiques ?
  Mauvais choix de u et dv, oubli des bornes, non-vérification des conditions de convergence.

Ressources complémentaires pour progresser

• Dossier intégration par parties : méthodes et exemples
• Changements de variables classiques pour les intégrales
• Développements limités et intégrales : méthode
• Comparaison série-intégrale : méthode
• Questions de concours : intégrales, comment répondre

Conclusion

L’intégration par parties est un procédé indispensable pour tout étudiant en mathématiques de CPGE et au-delà. Maîtriser cette technique permet d’aborder avec succès un grand nombre de situations d’intégration, que ce soit dans des exercices théoriques ou appliqués. Pour aller plus loin, explorez nos autres ressources sur l’intégration et approfondissez vos compétences avec les nombreux cas particuliers et méthodes disponibles sur notre site.