Théorème fondamental de l’intégration expliqué simplement : méthode, applications et exemples
Le théorème fondamental de l’intégration est un pilier central de l’analyse mathématique, notamment en CPGE scientifique et lors de la préparation des concours. Il permet de faire le lien entre la notion de primitive d’une fonction et le calcul effectif des intégrales. Dans cet article, nous vous proposons une explication claire du théorème fondamental de l’intégration, en insistant sur sa méthode d’application, ses fondements théoriques, des rappels utiles, ainsi que des exemples concrets typiques en prépa scientifique. Vous trouverez également des liens vers des notions indispensables telles que les fonctions continues par morceaux, la méthode d’intégration par parties ou les sommes de Riemann.
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Contexte historique du théorème fondamental de l’intégration
Le lien entre dérivation et intégration est un jalon historique des mathématiques, posé dès le XVIIᵉ siècle par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. Ils sont reconnus comme les pères du calcul différentiel et intégral moderne. Les travaux de Newton sur les fluxions et de Leibniz sur la notation intégrale ont abouti à la formulation du théorème fondamental de l’analyse, établissant une relation directe entre le calcul des aires sous les courbes et la recherche de primitives.
Le théorème fondamental de l’intégration a été formalisé rigoureusement au XIXᵉ siècle avec Augustin-Louis Cauchy, puis Karl Weierstrass, grâce à la définition précise des notions de continuité et de limite.
Rappels préalables : fonction intégrable, primitive et intégrale définie
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a, b]. L’intégrale définie de f sur [a, b] est la limite, si elle existe, de sommes de Riemann qui approchent l’aire sous la courbe de f entre a et b. Cette intégrale se note ∫ab f(x) dx.
Une primitive de f est une fonction F telle que F’(x) = f(x) sur un intervalle I. On note parfois F = ∫f(x)dx. Toute fonction admettant une primitive sur un intervalle pourra voir son intégrale reliée à cette primitive.
Pour approfondir, consultez la fiche fonction intégrable : définition et conditions.
Si la fonction n’est pas continue mais continue par morceaux, ou si elle est fonction en escalier, la définition de l’intégrale s’adapte. Reportez-vous à intégrer une fonction continue par morceaux : méthode pour plus d’exemples spécifiques.
Enoncé et sens du théorème fondamental de l’intégration
Soit f une fonction continue sur [a, b]. On définit la fonction F sur [a, b] par :
F(x) = ∫ax f(t) dt.
Alors F est dérivable sur [a, b] et F’(x) = f(x). Autrement dit, F est une primitive de f.
Soit f une fonction continue sur [a, b] et F une primitive de f sur [a, b].
Alors ∫ab f(x) dx = F(b) – F(a).
Ce théorème établit le pont entre l’opération d’intégration (calcul effectif d’aire) et la dérivation (primitivation). C’est l’un des théorèmes centraux de l’analyse.
Explication intuitive du théorème fondamental de l’intégration
On cherche souvent à calculer l’aire sous la courbe représentative d’une fonction continue f sur [a, b]. L’idée est d’utiliser une primitive F de f : la différence F(b) – F(a) représente l’accumulation nette de la quantité f(x) lorsqu’on passe de a à b. Cette trouvaille évite de recourir à des approximations numériques (type sommes de Riemann ou méthode de Simpson), sauf cas difficiles.
Le calcul d’une intégrale définie revient alors à trouver une primitive, à l’évaluer aux bornes et à faire la différence !
Mise en pratique : méthode de calcul d’une intégrale par le théorème fondamental
- Rechercher une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [a, b]
- Calculer F(b) et F(a)
- Poser ∫ab f(x) dx = F(b) – F(a)
Lorsque la fonction ne présente pas de formule élémentaire de primitive, il faut l’exprimer à l’aide de l’intégration par parties, d’un changement de variable ou en se référant à une fonction de référence.
Exemples d’application du théorème fondamental de l’intégration
Soit f(x) = x2, f continue sur [0,2]. On cherche ∫02 x2 dx.
Une primitive est F(x) = (1/3)x3.
F(2) = (1/3)(8) = 8/3 ; F(0) = 0.
Donc ∫02 x2 dx = F(2) – F(0) = 8/3 – 0 = 8/3.
Soit f(x) = cos(x) sur [0, π/2]. Une primitive est F(x) = sin(x).
F(π/2) = 1 ; F(0) = 0.
Donc ∫0π/2 cos(x) dx = 1 – 0 = 1.
Soit f(x) = |x| sur [–1, 1] (fonction continue par morceaux).
On découpe l’intégrale :
- Sur [–1, 0], f(x) = –x, primitive G(x) = –(1/2)x2
- Sur [0, 1], f(x) = x, primitive H(x) = (1/2)x2
Calcul :
∫–10 (–x) dx = – (1/2)x2 |0–1 = –(1/2)(0) + (1/2)(1) = 1/2
∫01 x dx = (1/2)x2 |10 = (1/2)(1) – 0 = 1/2
Au total : 1/2 + 1/2 = 1.
Pour ∫01 2x cos(x2) dx, posez u = x2.
Du changement de variable, l’intégrale devient ∫01 cos(u) du.
Primitive : sin(u). Résultat final : sin(1) – sin(0) = sin(1).
Prolongements : cas particuliers, bornes infinies et convergence
Lorsque l’intervalle d’intégration est non borné, reportez-vous à la méthodologie disponible dans intégrales sur intervalle non borné et intégrer sur des bornes infinies.
La convergence absolue et la relation de Chasles jouent alors un rôle clé dans l’interprétation des résultats.
Enfin, si la fonction étudiée rentre dans les espaces L1 (intégrabilité), ces questions de convergence et de propriétés de la primitive restent toujours pertinentes.
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Applications avancées et liens utiles pour progresser
- Inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à l’intégrale
- Intégration par parties : méthodes et exemples
- Changements de variable classiques
- Tracer la primitive d’une fonction par intégration
- Calcul de la dérivée d’une fonction définie par une intégrale à variable
- Valeur moyenne d’une fonction continue
Conclusion
Le théorème fondamental de l’intégration est la clé permettant de relier le monde des dérivées à celui du calcul d’aires (intégrales). Il permet, par la connaissance d’une primitive, de calculer rapidement l’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle, en évitant les calculs fastidieux liés à l’approche par sommes. Maîtriser cette méthode, l’appliquer à des cas particuliers (fonctions par morceaux, changements de variable, intégration sur des bornes infinies) reste essentiel pour réussir en CPGE scientifique et lors des concours.
- N’oubliez pas de consulter nos autres ressources : développements limités et intégrales, équivalents d’intégrales par DL, notations de Landau associées aux intégrales, intégration de fonctions de type ln, arctan, racines.
- Pour réussir vos oraux, rendez-vous sur questions de concours sur les intégrales : comment répondre.
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