Comment reconnaître une fonction en escalier en 3 étapes – Guide complet CPGE
En mathématiques, la fonction en escalier occupe une place essentielle dans le cursus CPGE et l’étude des intégrales. Savoir l’identifier rapidement est un atout certain, aussi bien pour la compréhension des cours sur les fonctions continues par morceaux que pour l’application de méthodes d’intégration précises. Ce guide détaillé explique en trois étapes comment reconnaître une fonction en escalier, en donnant des fondements théoriques, des rappels, des exemples variés, et un contexte approfondi.
I. Contexte et origines des fonctions en escalier
L’idée de fonction en escalier remonte à l’étude des premières approximations de l’intégrale, notamment dans le cadre des sommes de Riemann. Avant l’avènement des méthodes modernes d’analyse, les mathématiciens utilisaient ces fonctions simples, constantes sur des intervalles, pour construire des approximations de plus en plus précises d’aires sous les courbes. Aujourd’hui, elles jouent un rôle fondamental dans la compréhension de l’intégration, servent à illustrer le théorème fondamental de l’intégration et permettent d’introduire la notion de convergence vers des fonctions plus générales (convergence d’intégrales).
II. Définition d’une fonction en escalier
Une fonction en escalier sur un intervalle I est une fonction qui peut s’exprimer comme une combinaison finie de fonctions constantes sur une subdivision de I. Autrement dit, il existe une subdivision de I en intervalles adjacents et des réels associés, tels que la fonction soit constante sur chaque intervalle.
Pour en savoir plus sur les définitions précises des autres types de fonctions, consultez Fonctions continues par morceaux : définition et propriétés.
III. Les fondements théoriques des fonctions en escalier
Les fonctions en escalier ont pour base la notion de constance par morceaux. Elles sont les prototypes des fonctions intégrables et servent d’appui pour toutes les méthodes d’approximation de l’intégrale de fonctions plus complexes (voir Sommes de Riemann : approximation de l’intégrale). Les propriétés clés sont :
- Facilité de manipulation : Intégrer une fonction en escalier est immédiat, car il suffit d’appliquer les formules sur chacun des intervalles de constance.
- Base de densité : Toute fonction continue sur un segment peut être approchée uniformément par des fonctions en escalier (théorème de la densité).
Ces fonctions interviennent également dans la méthode d’intégration par parties ainsi que dans la preuve de l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales.
IV. Reconnaître une fonction en escalier en 3 étapes
Étape 1 : Observer le graphe ou l’expression analytique
Le premier réflexe est d’examiner la représentation graphique de la fonction ou son expression analytique. Une fonction en escalier est caractéristique : son graphe est formé de segments horizontaux juxtaposés, séparés par des sauts (changements brusques de valeur) aux points de subdivision.
Dans l’expression analytique, on retrouve souvent la fonction écrite sous forme de somme de fonctions indicatrices de sous-intervalles :
Pour tout x dans [0,3], la fonction définie par
f(x) = 2 si x ∈ [0,1),
f(x) = -1 si x ∈ [1,2),
f(x) = 3 si x ∈ [2,3]
est une fonction en escalier.
Étape 2 : Identifier une subdivision finie de l’intervalle de définition
Une fonction en escalier présente une partition finie de l’intervalle en question. Il s’agit de repérer des intervalles (en général, ouverts ou fermés à droite ou à gauche) où la fonction garde la même valeur.
Soit la fonction g définie sur [0,4] par
g(x) = 0 si x ∈ [0,2),
g(x) = 1 si x ∈ [2,3),
g(x) = 5 si x ∈ [3,4]
La subdivision correspondante est donnée par les points 0, 2, 3, et 4.
Pour s’entraîner à reconnaître rapidement ce type de subdivisions, consultez fonction en escalier : comment la reconnaître.
Étape 3 : Vérifier la constance sur chaque sous-intervalle
Pour conclure, il est indispensable de s’assurer que sur chaque sous-intervalle de la subdivision, la fonction garde une valeur constante. Aucun changement de valeur ne doit intervenir à l’intérieur de chaque intervalle.
On peut souvent résumer une fonction en escalier par :
où chaque Ik sont des intervalles adjacents formant une partition de I, et chaque ak un réel constant.
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V. Exemples concrets et variés
Définir h : ℝ → ℝ par
h(x) = 0 si x ∈ [0,1),
h(x) = 2 si x ∈ [1,2),
h(x) = 1 si x ∈ [2,5),
h(x) = 0 sinon.
La subdivision est -∞, 0, 1, 2, 5, +∞. H est une fonction en escalier.
Soit la fonction f définie par :
f(x) = 4·1[0,2)(x) + (−3)·1[2,3](x)
Ici encore, deux sous-intervalles forment la partition de l’intervalle où f est définie.
Soit φ(x) = x sur [0,1]. Cette fonction n’est pas une fonction en escalier, car elle n’est pas constante sur aucune portion non réduite de l’intervalle.
Pour approfondir, reportez-vous à notre dossier complet : Intégrer une fonction continue par morceaux : méthode.
VI. Importance et applications en CPGE
L’identification d’une fonction en escalier est essentielle pour aborder l’intégration des fonctions définies par morceaux. Elle permet :
- D’appliquer directement les techniques de calcul d’intégrale (voir relation de Chasles et linéarité de l’intégrale).
- De construire des développements limites d’intégrales ou des équivalents asymptotiques.
- D’utiliser la propriété de l’inégalité triangulaire de l’intégrale dans la démonstration d’inégalités.
- De comprendre le passage des sommes de Riemann à la notion d’intégrale de Riemann.
Les fonctions en escalier interviennent dans la modélisation de signaux, les statistiques (fonctions de répartition), l’approximation numérique (méthodes de Simpson), et sont abondamment utilisées dans les exercices et questions de concours d’intégrales de prépas scientifiques.
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VII. Points clés pour l’examen
- Une fonction en escalier est toujours définie par une partition finie de l’intervalle avec constance sur chaque sous-intervalle.
- Présence de sauts aux bornes des sous-intervalles.
- Elle sert de base à l’étude de l’intégration des fonctions plus générales, notamment les intégrales semi-convergentes ou les intégrales sur des intervalles non bornés.
Réviser la bonne reconnaissance d’une fonction en escalier vous prépare efficacement aux épreuves, en vous permettant de maîtriser les bases de l’intégration (voir espaces L1). Pour aller plus loin, apprenez à tracer les primitives (Tracer une primitive d’une fonction par intégration) et manipuler les changements de variables (Changement de variable : étapes).
VIII. Conclusion
Reconnaître une fonction en escalier en 3 étapes consiste à :
- Observer le graphe/écriture analytique (présence de segments horizontaux, indicatrices).
- Identifier la subdivision de l’intervalle de définition.
- Vérifier la constance sur chaque sous-intervalle (valeurs fixes, pas de variation à l’intérieur).
Cette méthodologie garantit une identification rapide et sûre, base de toute étude avancée sur les fonctions de référence et convergence des intégrales en CPGE scientifique et en analyse intégrale.
Pour compléter votre apprentissage, familiarisez-vous également avec les intégrations de fonctions impliquant ln, arctan, racines et les stratégies pour détecter la divergence d’intégrales impropres.
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