L’intégration de fonctions contenant des logarithmes népériens (ln), des arcs tangentes (arctan) ou bien des racines carrées (√) figure parmi les compétences fondamentales exigées en classes préparatoires scientifiques. La maîtrise de ces intégrales permet non seulement de résoudre de nombreux exercices issus de concours, mais aussi de manipuler avec assurance les primitives de fonctions dites « usuelles ». Cet article propose une approche complète et structurée pour intégrer des fonctions faisant intervenir ces trois éléments, en rappelant les outils mathématiques indispensables, les liens avec les grandes théories de l’analyse, sans oublier de multiples exemples travaillés dans l’esprit de l’enseignement en CPGE.
1. Introduction à l’intégration de fonctions complexes
Au cœur de l’analyse intégrale, l’intégration de fonctions faisant intervenir $ \ln(x) $, $ \arctan(x) $, ou $ \sqrt{x} $ nécessite une parfaite connaissance des principales méthodes d’intégration — notamment l’intégration par parties et le changement de variable — ainsi qu’une maîtrise des propriétés des fonctions continues par morceaux (voir la définition). Dans un contexte de concours, la rapidité d’identification des bonnes techniques fait souvent la différence.
2. Fondements théoriques et rappels essentiels
Pour aborder sereinement ce type d’intégrals, il convient de se souvenir de quelques principes fondateurs :
Ce rappel prend tout son sens car la recherche de l’intégrale d’une fonction revient, pour l’essentiel, à trouver sa primitive (ou, plus largement, à effectuer une « antidérivation », dont le théorème fondamental de l’intégration donne le cadre théorique).
2.1 Méthodes classiques à maîtriser
- L’intégration par parties (voir méthode et exemples)
- Le changement de variable (procédure complète)
L’approche de choix dépend de la structure exacte de l’intégrande, comme nous allons le voir sous peu.
3. Intégration de fonctions contenant $ \ln(x) $
Le logarithme népérien se retrouve fréquemment : tant dans les intégrandes seuls que sous forme de produit ou de composition. Une méthode fréquemment utilisée est l’intégration par parties.
$$
\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) – \int u'(x) v(x) \, dx
$$
Exemple 1 : $\int \ln(x)\,dx$
- On pose $u(x) = \ln(x)$ et $v'(x)=1$.
- Alors $u'(x) = \frac{1}{x}$ et $v(x) = x$.
- D’où :
$$
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) – \int x \cdot \frac{1}{x} \,dx = x\ln(x) – \int 1\,dx = x\ln(x) – x + C
$$
Ce résultat fondamental intervient aussi bien pour les fonctions continues par morceaux (voir propriétés sur un intervalle) que dans l’étude de la convergence absolue (critères détaillés).
Exemple 2 : $\int x \ln(x)\, dx$
- On pose $u(x)=\ln(x)$, $v'(x) = x$.
- Alors $u'(x) = \frac{1}{x}$, $v(x)=\frac{x^2}{2}$.
- L’intégrale devient :
$$
\int x \ln(x) dx = \ln(x) \frac{x^2}{2} – \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx
= \frac{x^2}{2} \ln(x) – \frac{1}{2}\int x\,dx
= \frac{x^2}{2} \ln(x) – \frac{x^2}{4} + C
$$
Ce mécanisme peut naturellement s’appliquer à la plupart des intégrales du type
$\int x^n \ln(ax+b)\, dx$
via des changements de variable (voir exemples classiques).
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4. Intégration de fonctions avec $ \arctan(x) $
L’arctangente n’est pas moins importante. Elle apparaît par exemple dans les calculs d’aires, d’intégrales trigonométriques, ou lors de la linéarisation de fractions rationnelles (propriétés linéaires).
Exemple 3 : $\int \arctan(x)\, dx$
- On choisit $u(x) = \arctan(x)$, $v'(x)=1$.
- Alors $u'(x)= \frac{1}{1+x^2}$, $v(x) = x$.
- $$
\int \arctan(x)\, dx = x\arctan(x) – \int \frac{x}{1+x^2}\, dx
$$ - Changement de variable $w=1+x^2$, $dw=2x\,dx$ donc $\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{w} dw = \frac{1}{2} \ln(1+x^2)+C$.
- Résultat final :
$$
\int \arctan(x)\, dx = x\arctan(x) – \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C
$$
Ce type de calcul permet d’aborder aussi les questions de convergence impropre (exemples semi-convergentes) et la notion de valeur moyenne (calcul de la moyenne).
5. Intégration de fonctions avec racines ($ \sqrt{\,} $)
Les racines, notamment la racine carrée, sont omniprésentes dans les intégrales d’aires, mais aussi dans la résolution d’intégrales impropres (intégrales à bornes infinies). Leur intégration requiert souvent, soit une substitution judicieuse, soit la mise en forme du type « dérivée d’un produit », soit le recours à des formules de primitives connues.
- On reconnaît la primitive directe :
$$
\int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} x^{3/2} + C
$$
Dans le cas de $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$, il est utile de se souvenir que :
$$
\int x^{-1/2} dx = 2x^{1/2} + C
$$
- On reconnaît la dérivée de $\arcsin(x)$, donc
$$
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(x) + C
$$
Les substitutions trigonométriques sont ici souvent utiles pour traiter $\int \sqrt{1-x^2} dx$ ou des formes plus générales. Voir la liste des changements de variables classiques.
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6. Exemples croisés : ln, arctan et racines
Dans les concours, il n’est pas rare de se confronter à des intégrales mêlant plusieurs de ces fonctions. Voici quelques exemples illustrant la synthèse des méthodes.
$$
\int_0^1 \frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2} dx
$$
- On pose $u = \ln(1+x^2)$, $v’ = \frac{1}{1+x^2}$.
- Or $u’ = \frac{2x}{1+x^2}$, $v = \arctan(x)$.
- $$
\int \frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2} dx = \ln(1+x^2)\arctan(x) – \int \frac{2x}{1+x^2}\arctan(x) dx
$$ - La résolution complète fait appel à une 2nde intégration par parties.
D’autres techniques indirectes comme la série de Taylor (développement limité), ou la comparaison série-intégrale (voir méthode) peuvent permettre d’évaluer la convergence des intégrales inusuelles, notamment pour détecter toute divergence (conseils pour la divergence).
7. Contexte historique et intérêt en mathématiques
L’étude des primitives du logarithme, de l’arctangente et des racines possède une dimension historique capitale. En effet, la découverte de la primitive de $1/x$ et de celles des fonctions rationnelles ou irrationnelles a accompagné le développement du calcul intégral au XVIIIe siècle avec les travaux de Newton, Leibniz, Bernoulli, puis Euler. Aujourd’hui, ces résultats permettent également :
- d’approcher des solutions à des équations différentielles cruciales en physique,
- d’estimer la moyenne d’une fonction continue (voir méthode),
- ou encore d’évaluer numériquement des intégrales difficiles (voir méthode de Simpson).
8. Conseils méthodologiques
- Identifier la structure du produit : dois-je dériver ou intégrer le $ \ln $ ? Dois-je transformer la racine via un changement de variable ?
- N’hésitez pas à consulter la liste des fonctions de référence pour vérifier la convergence ou les formes de primitives utiles.
- Rappel : L’intégration par parties demeure l’outil privilégié pour tout produit d’un logarithme ou d’une arctangente par une fonction élémentaire.
- Pour les racines, privilégier la mise sous forme de puissance (exposant fractionnaire) ou la substitution trigonométrique.
- Plus de détails sur les questions de concours type.
9. Aller plus loin
Pour compléter cette fiche, vous pouvez explorer :
- La définition large des fonctions intégrables
- Les propriétés des espaces $L^1$
- Les techniques pour tracer les primitives
- Notations modernes via Landau et les intégrales
Pratiquer avec divers exercices croisés aidera à renforcer votre maîtrise de l’intégration de fonctions contenant $\ln$, $\arctan$ et $\sqrt{x}$.
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