Rapport de jury Mines Ponts 2023

Questions du sujet

1. Rappeler le cardinal de $S_n$. En déduire que $R \geq 1$.

2. Pour $k \in [[0, n]]$, montrer que le nombre de permutations de $[[1, n]]$ ayant exactement $k$ points fixes est $\dbinom{n}{k}! d_{n-k}$. En déduire que $\mathbb{P}_n(X_n = k) = \dfrac{d_{n-k}}{k!(n-k)!}$.

3. Montrer que $\forall x \in ]-1, 1[,~ s(x) e^x = \dfrac{1}{1-x}$. En déduire que $R=1$.

4. En partant de la relation $(1-x)s(x) = e^{-x}$ pour $x \in ]-1, 1[$, exprimer $\dfrac{d_n}{n!}$ pour $n$ entier naturel, sous la forme d’une somme.

5. Montrer que la loi de la variable aléatoire $X_n$ est donnée par \\ $\forall k \in [[0, n]] ~~~ \mathbb{P}_n(X_n = k) = \dfrac{1}{k!} \sum_{i=0}^{n-k} \dfrac{(-1)^i}{i!}$.}

6. Sur l’espace probabilisé fini $(S_n, \mathbb{P}_n)$, on définit, pour tout $i \in [[1, n]]$, la variable aléatoire $U_i$ telle que, pour tout $\sigma \in S_n$, on ait $U_i(\sigma) = 1$ si $\sigma(i) = i$, et $U_i(\sigma) = 0$ sinon. \\ Montrer que $U_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{n}$. \\ Montrer que, si $i \neq j$, la variable $U_i U_j$ suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre.

7. Exprimer $X_n$ à l’aide des $U_i$, $1 \leq i \leq n$. En déduire l’espérance $\mathbb{E}(X_n)$ et la variance $V(X_n)$.

8. Dans cette question, on fixe un entier naturel $k$. Déterminer $y_k = \lim\limits_{n\to+\infty}\mathbb{P}_n(X_n = k)$. \\ Soit $Y$ une variable aléatoire sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, à valeurs dans $\mathbb{N}$, et vérifiant $\forall k \in \mathbb{N}\quad P(Y=k) = y_k$. \\ Reconnaître la loi de $Y$.

9. On note $G_{X_n}$ et $G_{Y}$ les fonctions génératrices respectives des variables $X_n$ et $Y$ de la question précédente.\\ Exprimer $G_{X_n}(s)$ sous forme de somme, pour $s$ réel, et vérifier que $\forall s \in \mathbb{R} \quad \lim_{n\to+\infty} G_{X_n}(s) = G_{Y}(s)$.

10. Soient $x, y, z$ trois distributions sur $\mathbb{N}$. Prouver les propriétés : \\ $0 \leq d_{VT}(x, y) \leq 1$ ; \\ $d_{VT}(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$ ; \\ $d_{VT}(y, x) = d_{VT}(x, y)$ ; \\ $d_{VT}(x, z) \leq d_{VT}(x, y) + d_{VT}(y, z)$.}

11. Soient $X$ et $Y$ deux variables de Bernoulli, ayant respectivement pour paramètres $\lambda \in ]0, 1[$ et $\mu \in ]0, 1[$. \\ Calculer $d_{VT}(p_X, p_Y)$.

12. Soit $X$ une variable de Bernoulli de paramètre $\lambda \in ]0, 1[$. Montrer que $d_{VT}(p_X, \pi_\lambda) = \lambda (1-e^{-\lambda})$. \\ En déduire que $d_{VT}(p_X, \pi_\lambda) \leq \dfrac{\lambda^2}{2}$.

13. Vérifier la relation, pour tout $n$ entier naturel non nul, \\ $2 d_{VT}(p_{X_n}, \pi_1) = \sum_{k=0}^{n} \left| \dfrac{1}{k!} \left( \sum_{i=n-k+1}^{\infty} \dfrac{(-1)^i}{i!} \right) \right| + e^{-1} + \sum_{k=n+1}^\infty \dfrac{1}{k!}$.

14. Pour $n$ entier naturel, on pose $r_n = \sum_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}$. Prouver la majoration \\ $r_n \leq \dfrac{1}{(n+1)!} + \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(n+2)^k}$. \\ En déduire un équivalent simple de $r_n$ lorsque $n \to +\infty$.

15. En continuant de majorer le second membre de l’égalité de la question 13., établir l’estimation \\ $d_{VT}(p_{X_n}, \pi_1) = O\left(\dfrac{2n}{(n+1)!}\right)$ lorsque $n \to +\infty$. \\ On pourra faire intervenir des coefficients binomiaux.}

16. Si $x$ et $y$ sont deux distributions de probabilités sur $\mathbb{N}$, on définit l’application $x \ast y : \mathbb{N} \to \mathbb{R}_+$ par \\ $\forall k \in \mathbb{N},~ (x \ast y)(k) = \sum_{i=0}^k x(i) y(k-i) = \sum_{i+j=k} x(i) y(j)$. \\ Montrer que $x \ast y$ est une distribution sur $\mathbb{N}$.

17. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans $\mathbb{N}$, définies sur un même espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$. Prouver la relation $p_{X+Y} = p_X \ast p_Y$.

18. Soient $(x, y, u, v) \in (\mathcal{D}_\mathbb{N})^4$. Montrer que, pour tout $k$ entier naturel, \\ $\left| (x \ast y)(k) - (u \ast v)(k) \right| \leq \sum_{i+j=k} y(j) |x(i) - u(i)| + \sum_{i+j=k} u(i) |y(j) - v(j)|$.

19. Avec les notations de la question précédente, établir l’inégalité \\ $d_{VT}(x \ast y, u \ast v) \leq d_{VT}(x, u) + d_{VT}(y, v)$.

20. Soit $U$ une variable binomiale de paramètres $n \in \mathbb{N}^*$ et $\lambda \in ]0, 1[$. Prouver l’inégalité\\ $d_{VT}(p_U, \pi_{n\lambda}) \leq n\lambda^2$.}

21. Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Pour tout entier naturel $n$ tel que $n > \lfloor \alpha \rfloor$, on note $B_n$ une variable binomiale de paramètres $n$ et $\frac{\alpha}{n}$. Pour tout $k$ entier naturel, déterminer \\ $\lim_{n\to+\infty} \mathbb{P}(B_n = k)$. \\ On pourra utiliser la question précédente.

22. Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels strictement positifs. En utilisant les résultats et les méthodes qui précèdent, montrer que \\ $d_{VT}(\pi_\alpha, \pi_\beta) \leq |\beta - \alpha|$.}

Questions du sujet

1. Après avoir justifié l’existence des bornes supérieures, montrer que :
\[
\sup_{x\in E,\, x\neq 0} \frac{\|u(x)\|}{\|x\|} = \sup_{x\in E,\, \|x\|=1} \|u(x)\|.
\]

2. On note $\lVert u \rVert = \sup_{x\in E,\, x\neq 0} \frac{\|u(x)\|}{\|x\|}$. Montrer que $\lVert \cdot \rVert$ est une norme sur $L(E)$.

3. Montrer qu’il s’agit d’une norme sous-multiplicative, c’est-à-dire que :\\
\[
\forall (u, v) \in L(E)^2,\, \lVert uv \rVert \leq \lVert u \rVert \cdot \lVert v \rVert,
\]
et en déduire une majoration de $\lVert u^k \rVert$, pour tout entier naturel $k$, en fonction de $\lVert u \rVert$ et de l’entier $k$.

4. Montrer qu’il existe un entier naturel non nul $r$, des nombres complexes distincts $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_r$, ainsi que des entiers naturels non nuls $m_1, m_2, ..., m_r$, tels que :
\[
\mathbb{C}^n = \bigoplus_{i=1}^r E_i,
\]
où pour $i \in \{1,\ldots, r\}$, $E_i = \ker(a - \lambda_i \mathrm{id}_{\mathbb{C}^n})^{m_i}$.

5. Montrer que, pour tout $i \in \{1, \ldots, r\}$, il existe une constante $C_i \geq 0$ telle que :
\[
\forall u \in L(E_i),\quad \lVert q_i u p_i \rVert_c \leq C_i \lVert u \rVert_i.
\]
}

6. Montrer que, pour $i \in \{1, \ldots, r\}$, $E_i$ est stable par $a$.

7. Soient $(i, j) \in \{1, \ldots, r\}^2$. Exprimer $p_i q_j$ puis $\sum_{i=1}^r q_i p_i$ en fonction des endomorphismes $\mathrm{id}_{\mathbb{C}^n}$ et $\mathrm{id}_{E_j}$.

8. Montrer que :
\[
a = \sum_{i=1}^r q_i a_i p_i.
\]

9. En déduire que :
\[
\forall t \in \mathbb{R},~e^{ta} = \sum_{i=1}^r q_i e^{t a_i} p_i.
\]

10. Montrer par ailleurs que :
\[
\forall i \in \{1,\ldots, r\},\, \forall t \in \mathbb{R},\quad \lVert e^{t a_i}\rVert_i \leq |e^{t\lambda_i}| \sum_{k=0}^{m_i-1} \frac{|t|^k}{k!} \lVert a_i - \lambda_i \mathrm{id}_{E_i} \rVert^k.
\]
}

11. En déduire l’existence d’un polynôme $P$ à coefficients réels tel que :
\[
\forall t \in \mathbb{R},\quad \lVert e^{ta}\rVert_c \leq P(|t|) \sum_{i=1}^r e^{t \Re(\lambda_i)},
\]
où $\Re(z)$ désigne la partie réelle d’un nombre complexe $z$.

12. Pour toute matrice $A \in M_n(\mathbb{R})$, on notera $u_A$ l’endomorphisme canoniquement associé à $A$ dans $\mathbb{R}^n$ et $v_A$ l’endomorphisme de $\mathbb{C}^n$ canoniquement associé à $A$, vue comme une matrice de $M_n(\mathbb{C})$. On conservera la notation $\lVert \cdot \rVert_c$ pour la norme introduite à la partie A sur $L(\mathbb{C}^n)$ et on utilisera $\lVert \cdot \rVert_r$ sur $L(\mathbb{R}^n)$. Montrer qu’il existe $C\geq 0$ telle que :
\[
\forall A\in M_n(\mathbb{R}),~\forall t\in\mathbb{R},~\lVert e^{t u_A} \rVert_r \leq C \lVert e^{t v_A} \rVert_c.
\]

13. Montrer que :
\[
\forall x_0 \in \mathbb{R}^n,\quad \lim_{t\to +\infty} \|g_{x_0}(t)\| = 0 \iff \mathrm{Sp}(A) \cap \left( \mathbb{R}^*_{+} + i\mathbb{R} \right) = \varnothing.
\]

14. On se place dans cette question dans le cas où toutes les valeurs propres de $A$ ont une partie réelle strictement négative. Montrer alors qu’il existe deux constantes $C_2$ et $\alpha$ strictement positives telles que :
\[
\forall t\in\mathbb{R}_+,~\lVert e^{t u} \rVert_r \leq C_2 e^{-\alpha t},
\]
et en déduire une majoration de $\|g_{x_0}(t)\|$ pour $t\in\mathbb{R}_+$.}

15. Montrer que la fonction
\[
b:\quad
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n & \rightarrow & \mathbb{R} \\
(x, y) & \mapsto & \int_0^{+\infty} \langle e^{ta}(x)|e^{ta}(y) \rangle dt
\end{array}
\]
est bien définie et qu’elle définit un produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$.

16. Démontrer alors que :
\[
\forall x\in \mathbb{R}^n,~~ d q(x)(a(x)) = 2 b(x,a(x)) = -\|x\|^2.
\]

17. Pour toute fonction $y$ définie sur $\mathbb{R}_+$, on associe la fonction $\Psi(y)$ définie par :
\[
\Psi(y):~ \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}^n,~ t \mapsto \varphi(y(t)) - a(y(t)).
\]
Vérifier l’égalité
\[
\forall t\in \mathbb{R}_+,~ q(f_{x_0})'(t) = -\|f_{x_0}(t)\|^2 + 2 b(f_{x_0}(t), \Psi(f_{x_0})(t)).
\]

18. Prouver l’existence de deux nombres réels $\alpha$ et $\eta$ strictement positifs tels que, pour tout $t\in\mathbb{R}_+$, on ait :
\[
q(f_{x_0}(t))\leq \alpha \implies -\|f_{x_0}(t)\|^2 + 2b(f_{x_0}(t), \Psi(f_{x_0})(t)) \leq -\eta q(f_{x_0}(t)).
\]
On fixe un tel couple $(\alpha,\eta)$ pour la suite de ce problème.

19. Montrer alors que :
\[
q(x_0)\leq \alpha \implies \forall t\geq 0,~q(f_{x_0})(t)\leq e^{-\eta t} q(x_0).
\]}

20. En déduire l’existence de trois constantes $\tilde{\alpha},\, C$ et $\epsilon$ strictement positives telles que :
\[
\forall x_0\in B(0,\tilde{\alpha}),~\forall t\in \mathbb{R}_+,~ \|f_{x_0}(t)\| \leq C e^{-\frac{\epsilon}{2}t} \|x_0\|,
\]
où $B(0,\tilde{\alpha})$ désigne la boule ouverte, pour la norme $\| . \|$, de centre $0$ et de rayon $\tilde{\alpha}$.}

Questions du sujet

1. Après avoir justifié l’existence des bornes supérieures, montrer que :
\[
\sup_{x\in E,\, x\neq 0} \frac{\|u(x)\|}{\|x\|} = \sup_{x\in E,\, \|x\|=1} \|u(x)\|.
\]

2. On note $\lVert u \rVert = \sup_{x\in E,\, x\neq 0} \frac{\|u(x)\|}{\|x\|}$. Montrer que $\lVert \cdot \rVert$ est une norme sur $L(E)$.

3. Montrer qu’il s’agit d’une norme sous-multiplicative, c’est-à-dire que :\\
\[
\forall (u, v) \in L(E)^2,\, \lVert uv \rVert \leq \lVert u \rVert \cdot \lVert v \rVert,
\]
et en déduire une majoration de $\lVert u^k \rVert$, pour tout entier naturel $k$, en fonction de $\lVert u \rVert$ et de l’entier $k$.

4. Montrer qu’il existe un entier naturel non nul $r$, des nombres complexes distincts $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_r$, ainsi que des entiers naturels non nuls $m_1, m_2, ..., m_r$, tels que :
\[
\mathbb{C}^n = \bigoplus_{i=1}^r E_i,
\]
où pour $i \in \{1,\ldots, r\}$, $E_i = \ker(a - \lambda_i \mathrm{id}_{\mathbb{C}^n})^{m_i}$.

5. Montrer que, pour tout $i \in \{1, \ldots, r\}$, il existe une constante $C_i \geq 0$ telle que :
\[
\forall u \in L(E_i),\quad \lVert q_i u p_i \rVert_c \leq C_i \lVert u \rVert_i.
\]
}

6. Montrer que, pour $i \in \{1, \ldots, r\}$, $E_i$ est stable par $a$.

7. Soient $(i, j) \in \{1, \ldots, r\}^2$. Exprimer $p_i q_j$ puis $\sum_{i=1}^r q_i p_i$ en fonction des endomorphismes $\mathrm{id}_{\mathbb{C}^n}$ et $\mathrm{id}_{E_j}$.

8. Montrer que :
\[
a = \sum_{i=1}^r q_i a_i p_i.
\]

9. En déduire que :
\[
\forall t \in \mathbb{R},~e^{ta} = \sum_{i=1}^r q_i e^{t a_i} p_i.
\]

10. Montrer par ailleurs que :
\[
\forall i \in \{1,\ldots, r\},\, \forall t \in \mathbb{R},\quad \lVert e^{t a_i}\rVert_i \leq |e^{t\lambda_i}| \sum_{k=0}^{m_i-1} \frac{|t|^k}{k!} \lVert a_i - \lambda_i \mathrm{id}_{E_i} \rVert^k.
\]
}

11. En déduire l’existence d’un polynôme $P$ à coefficients réels tel que :
\[
\forall t \in \mathbb{R},\quad \lVert e^{ta}\rVert_c \leq P(|t|) \sum_{i=1}^r e^{t \Re(\lambda_i)},
\]
où $\Re(z)$ désigne la partie réelle d’un nombre complexe $z$.

12. Pour toute matrice $A \in M_n(\mathbb{R})$, on notera $u_A$ l’endomorphisme canoniquement associé à $A$ dans $\mathbb{R}^n$ et $v_A$ l’endomorphisme de $\mathbb{C}^n$ canoniquement associé à $A$, vue comme une matrice de $M_n(\mathbb{C})$. On conservera la notation $\lVert \cdot \rVert_c$ pour la norme introduite à la partie A sur $L(\mathbb{C}^n)$ et on utilisera $\lVert \cdot \rVert_r$ sur $L(\mathbb{R}^n)$. Montrer qu’il existe $C\geq 0$ telle que :
\[
\forall A\in M_n(\mathbb{R}),~\forall t\in\mathbb{R},~\lVert e^{t u_A} \rVert_r \leq C \lVert e^{t v_A} \rVert_c.
\]

13. Montrer que :
\[
\forall x_0 \in \mathbb{R}^n,\quad \lim_{t\to +\infty} \|g_{x_0}(t)\| = 0 \iff \mathrm{Sp}(A) \cap \left( \mathbb{R}^*_{+} + i\mathbb{R} \right) = \varnothing.
\]

14. On se place dans cette question dans le cas où toutes les valeurs propres de $A$ ont une partie réelle strictement négative. Montrer alors qu’il existe deux constantes $C_2$ et $\alpha$ strictement positives telles que :
\[
\forall t\in\mathbb{R}_+,~\lVert e^{t u} \rVert_r \leq C_2 e^{-\alpha t},
\]
et en déduire une majoration de $\|g_{x_0}(t)\|$ pour $t\in\mathbb{R}_+$.}

15. Montrer que la fonction
\[
b:\quad
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n & \rightarrow & \mathbb{R} \\
(x, y) & \mapsto & \int_0^{+\infty} \langle e^{ta}(x)|e^{ta}(y) \rangle dt
\end{array}
\]
est bien définie et qu’elle définit un produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$.

16. Démontrer alors que :
\[
\forall x\in \mathbb{R}^n,~~ d q(x)(a(x)) = 2 b(x,a(x)) = -\|x\|^2.
\]

17. Pour toute fonction $y$ définie sur $\mathbb{R}_+$, on associe la fonction $\Psi(y)$ définie par :
\[
\Psi(y):~ \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}^n,~ t \mapsto \varphi(y(t)) - a(y(t)).
\]
Vérifier l’égalité
\[
\forall t\in \mathbb{R}_+,~ q(f_{x_0})'(t) = -\|f_{x_0}(t)\|^2 + 2 b(f_{x_0}(t), \Psi(f_{x_0})(t)).
\]

18. Prouver l’existence de deux nombres réels $\alpha$ et $\eta$ strictement positifs tels que, pour tout $t\in\mathbb{R}_+$, on ait :
\[
q(f_{x_0}(t))\leq \alpha \implies -\|f_{x_0}(t)\|^2 + 2b(f_{x_0}(t), \Psi(f_{x_0})(t)) \leq -\eta q(f_{x_0}(t)).
\]
On fixe un tel couple $(\alpha,\eta)$ pour la suite de ce problème.

19. Montrer alors que :
\[
q(x_0)\leq \alpha \implies \forall t\geq 0,~q(f_{x_0})(t)\leq e^{-\eta t} q(x_0).
\]}

20. En déduire l’existence de trois constantes $\tilde{\alpha},\, C$ et $\epsilon$ strictement positives telles que :
\[
\forall x_0\in B(0,\tilde{\alpha}),~\forall t\in \mathbb{R}_+,~ \|f_{x_0}(t)\| \leq C e^{-\frac{\epsilon}{2}t} \|x_0\|,
\]
où $B(0,\tilde{\alpha})$ désigne la boule ouverte, pour la norme $\| . \|$, de centre $0$ et de rayon $\tilde{\alpha}$.}

Questions du sujet

1. Déterminer le domaine de définition de $\sigma$ puis justifier que $\sigma$ est continue sur celui-ci.

2. Exhiber deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que :
\[
\forall n \in \mathbb{N}^\ast, \int_0^{\pi} (\alpha t^2 + \beta t) \cos(nt) \, dt = \frac{1}{n^2},
\]
puis vérifier que si $t \in ]0, \pi]$, alors :
\[
\forall n \in \mathbb{N}^\ast, \sum_{k=1}^n \cos(kt) = \frac{\sin\left( \frac{(2n+1)t}{2} \right)}{2 \sin\left( \frac{t}{2} \right)} - \frac{1}{2}.
\]

3. Justifier que, si $\varphi$ est une application de classe $\mathcal{C}^1$ de $[0, \pi]$ dans $\mathbb{R}$, alors
\[
\lim_{x \to +\infty} \int_0^{\pi} \varphi(t) \sin(xt) dt = 0,
\]
et en conclure que
\[
\sigma(1) = \frac{\pi^2}{6}.
\]

4. Déterminer le domaine de définition de $f$ puis vérifier que
\[
\forall x \in I, \quad (x+1)f(x) = (x+2)f(x+2).
\]

5. Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$, décroissante et convexe sur $I$.}

6. Donner un équivalent simple de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-1$.

7. Montrer que pour tout entier naturel $n$,
\[
f(n)f(n+1) = \frac{\pi}{2(n+1)}
\]
puis que :
\[
f(x) \underset{x\to +\infty}{\sim} \sqrt{\frac{\pi}{2x}}.
\]

8. Représenter graphiquement $f$ en exploitant au mieux les résultats précédents.

9. Justifier que, si $n \in \mathbb{N}$, l’intégrale généralisée $D_n$ est convergente, puis montrer que
\[
D_1 = \int_0^{\pi/2} \ln(\cos(t))\, dt.
\]

10. Calculer $f'(0)$ et $f'(1)$.}

11. Vérifier que si $n \in \mathbb{N}^\ast$, alors
\[
(-1)^n D_n = \int_0^{+\infty} \frac{u^n}{\sqrt{e^{2u}-1}}\, du,
\]
puis que
\[
D_n \underset{n \to +\infty}{\sim} (-1)^n n!
\]

12. Démontrer que $f$ est développable en série entière sur $]-1,1[$.

13. Montrer que $\Psi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$, puis que pour tout $x \in \mathbb{R}$,
\[
\Psi'(x) = 4 \sum_{k=1}^{\infty} \rho^k \sin(2kx).
\]

14. En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}$,
\[
\Psi(x) = 2 \ln\left(\frac{a+b}{2}\right) - 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2k x)}{k} \rho^k.
\]

15. En conclure que
\[
\int_0^{\pi} \Psi(x)^2 dx = 4\pi \left(\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\right)^2 + 2\pi \sigma(\rho^2).
\]}

16. Établir la convergence simple de la suite d’applications $(\Psi_n)_{n \in \mathbb{N}^\ast}$, de $]0, \pi]$ dans $\mathbb{R}$, définie par :
\[
\forall n \in \mathbb{N}^\ast, \forall t \in ]0, \pi],\quad \Psi_n(t) = \ln(a_n^2 \cos^2 t + b_n^2 \sin^2 t).
\]
En déduire $f''(0)$.

17. Vérifier que $f$ est une application de $I$ dans $\mathbb{R}$ ln-convexe.

18. Montrer que
\[
\forall p \in \mathbb{N}^\ast,\, \forall x \in \mathbb{R}_+, \quad \tilde{f}(x + p) = \tilde{f}(x) + \sum_{k=0}^{p-1} \ln\left( \frac{2x+2k+1}{2x+2k+2} \right).
\]

19. On suppose ici que $x \in \mathbb{R}^\ast_+$, $(n,p) \in (\mathbb{N}^\ast)^2$ et $x \leq p$. Vérifier que
\[
\tilde{f}(n) - \tilde{f}(n-1) \leq \frac{\tilde{f}(n+x) - \tilde{f}(n)}{x} \leq \frac{\tilde{f}(n+p) - \tilde{f}(n)}{p}
\]
et que $\tilde{f}(n+x) - \tilde{f}(n)$ admet une limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

20. En conclure que $f$ est la seule application de $I$ dans $\mathbb{R}$, qui soit ln-convexe, qui vérifie (1) et telle que $f(0) = \frac{\pi}{2}$.}

21. Plus généralement, déterminer, si $T \in \mathbb{R}^\ast_+$, toutes les applications $g$ de $]-T, +\infty[$ dans $\mathbb{R}$, ln-convexes et vérifiant
\[
\forall t \in ]-T, +\infty[, \quad (t+T)g(t) = (t+2T)g(t+2T).
\]

22. Existe-t-il une application $h$, de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et ln-convexe, vérifiant
\[
\forall t \in \mathbb{R}, \quad (t+T)h(t) = (t+2T)h(t+2T) ?
\]}

Questions du sujet

1. Déterminer le domaine de définition de $\sigma$ puis justifier que $\sigma$ est continue sur celui-ci.

2. Exhiber deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que :
\[
\forall n \in \mathbb{N}^\ast, \int_0^{\pi} (\alpha t^2 + \beta t) \cos(nt) \, dt = \frac{1}{n^2},
\]
puis vérifier que si $t \in ]0, \pi]$, alors :
\[
\forall n \in \mathbb{N}^\ast, \sum_{k=1}^n \cos(kt) = \frac{\sin\left( \frac{(2n+1)t}{2} \right)}{2 \sin\left( \frac{t}{2} \right)} - \frac{1}{2}.
\]

3. Justifier que, si $\varphi$ est une application de classe $\mathcal{C}^1$ de $[0, \pi]$ dans $\mathbb{R}$, alors
\[
\lim_{x \to +\infty} \int_0^{\pi} \varphi(t) \sin(xt) dt = 0,
\]
et en conclure que
\[
\sigma(1) = \frac{\pi^2}{6}.
\]

4. Déterminer le domaine de définition de $f$ puis vérifier que
\[
\forall x \in I, \quad (x+1)f(x) = (x+2)f(x+2).
\]

5. Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$, décroissante et convexe sur $I$.}

6. Donner un équivalent simple de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-1$.

7. Montrer que pour tout entier naturel $n$,
\[
f(n)f(n+1) = \frac{\pi}{2(n+1)}
\]
puis que :
\[
f(x) \underset{x\to +\infty}{\sim} \sqrt{\frac{\pi}{2x}}.
\]

8. Représenter graphiquement $f$ en exploitant au mieux les résultats précédents.

9. Justifier que, si $n \in \mathbb{N}$, l’intégrale généralisée $D_n$ est convergente, puis montrer que
\[
D_1 = \int_0^{\pi/2} \ln(\cos(t))\, dt.
\]

10. Calculer $f'(0)$ et $f'(1)$.}

11. Vérifier que si $n \in \mathbb{N}^\ast$, alors
\[
(-1)^n D_n = \int_0^{+\infty} \frac{u^n}{\sqrt{e^{2u}-1}}\, du,
\]
puis que
\[
D_n \underset{n \to +\infty}{\sim} (-1)^n n!
\]

12. Démontrer que $f$ est développable en série entière sur $]-1,1[$.

13. Montrer que $\Psi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$, puis que pour tout $x \in \mathbb{R}$,
\[
\Psi'(x) = 4 \sum_{k=1}^{\infty} \rho^k \sin(2kx).
\]

14. En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}$,
\[
\Psi(x) = 2 \ln\left(\frac{a+b}{2}\right) - 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2k x)}{k} \rho^k.
\]

15. En conclure que
\[
\int_0^{\pi} \Psi(x)^2 dx = 4\pi \left(\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\right)^2 + 2\pi \sigma(\rho^2).
\]}

16. Établir la convergence simple de la suite d’applications $(\Psi_n)_{n \in \mathbb{N}^\ast}$, de $]0, \pi]$ dans $\mathbb{R}$, définie par :
\[
\forall n \in \mathbb{N}^\ast, \forall t \in ]0, \pi],\quad \Psi_n(t) = \ln(a_n^2 \cos^2 t + b_n^2 \sin^2 t).
\]
En déduire $f''(0)$.

17. Vérifier que $f$ est une application de $I$ dans $\mathbb{R}$ ln-convexe.

18. Montrer que
\[
\forall p \in \mathbb{N}^\ast,\, \forall x \in \mathbb{R}_+, \quad \tilde{f}(x + p) = \tilde{f}(x) + \sum_{k=0}^{p-1} \ln\left( \frac{2x+2k+1}{2x+2k+2} \right).
\]

19. On suppose ici que $x \in \mathbb{R}^\ast_+$, $(n,p) \in (\mathbb{N}^\ast)^2$ et $x \leq p$. Vérifier que
\[
\tilde{f}(n) - \tilde{f}(n-1) \leq \frac{\tilde{f}(n+x) - \tilde{f}(n)}{x} \leq \frac{\tilde{f}(n+p) - \tilde{f}(n)}{p}
\]
et que $\tilde{f}(n+x) - \tilde{f}(n)$ admet une limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

20. En conclure que $f$ est la seule application de $I$ dans $\mathbb{R}$, qui soit ln-convexe, qui vérifie (1) et telle que $f(0) = \frac{\pi}{2}$.}

21. Plus généralement, déterminer, si $T \in \mathbb{R}^\ast_+$, toutes les applications $g$ de $]-T, +\infty[$ dans $\mathbb{R}$, ln-convexes et vérifiant
\[
\forall t \in ]-T, +\infty[, \quad (t+T)g(t) = (t+2T)g(t+2T).
\]

22. Existe-t-il une application $h$, de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et ln-convexe, vérifiant
\[
\forall t \in \mathbb{R}, \quad (t+T)h(t) = (t+2T)h(t+2T) ?
\]}

Questions du sujet

1. Montrer qu’une matrice $S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ appartient à $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ si, et seulement si, $\mathrm{Sp}(S) \subset \mathbb{R}^+$. De même, on admettra dans la suite du problème que : $S \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ si, et seulement si, $\mathrm{Sp}(S) \subset \mathbb{R}_+^*$.

2. Montrer que $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ et $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ sont des parties convexes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Sont-elles des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ?

3. Montrer que, si $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$, il existe $S \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ telle que $A = S^2$.

4. Soit $I$ intervalle de $\mathbb{R}$. Soit $f : I \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction convexe. Montrer que, pour tout $p \in \mathbb{N}^*$, pour tout $(\lambda_1, \ldots, \lambda_p) \in (\mathbb{R}_+)^p$ tel que $\sum_{i=1}^p \lambda_i = 1$ et pour tout $(x_1, \ldots, x_p) \in I^p$, on a : \[f\left( \sum_{i=1}^p \lambda_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^p \lambda_i f(x_i).\]

5. Montrer l’inégalité $\dfrac{\mathrm{Tr}(M)}{n} \geq \det^{1/n}(M)$.}

6. Exprimer $\Vert M \Vert_2$ en fonction des valeurs propres de $M$.

7. En déduire que \[ \frac{\mathrm{Tr}(M)}{n} - \det^{1/n}(M) \geq \frac{ \left\| M - \det^{1/n}(M) I_n \right\|_2^2 }{2n\|M\|_2^2}. \]

8. Soient $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Montrer qu’il existe une matrice diagonale $D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $Q \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telles que $B = Q D Q^\top$ et $A = Q Q^\top$. Que dire des éléments diagonaux de $D$ si $B \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ ?

9. Étudier la convexité de la fonction $t \mapsto \ln (1 + e^t)$.

10. Montrer l’inégalité \[ \forall (A, B) \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})^2, \qquad \det^{1/n}(A+B) \geq \det^{1/n}(A) + \det^{1/n}(B). \]}

11. Montrer que, si $A$ et $B$ appartiennent $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$, alors : \[ \forall t \in [0,1],\quad \det((1-t) A + t B) \geq \det(A)^{1-t} \det(B)^t. \] Justifier que cette inégalité reste valable pour $A$ et $B$ seulement dans $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$.

12. Que peut-on en déduire sur la fonction $\ln \circ \det$ sur $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ ?

13. Exprimier, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $g(t)$ à l’aide des valeurs propres de $A$, où $g : t \mapsto \det(I_n + tA)$. En déduire que $g$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$.

14. Soit $f : t \mapsto \ln(\det(I_n + tA))$. Montrer que \[ \forall t \in \mathbb{R}_+, \quad \ln(\det(I_n + tA)) \leq \mathrm{Tr}(A) t. \]

15. Montrer que $f_A$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_A(t) = \det(A + t M)$, où $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$, $M \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$.}

16. Montrer qu’il existe $\varepsilon_0 > 0$ tel que, pour tout $t \in ] - \varepsilon_0, \varepsilon_0[$, $A + t M \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$.

17. Montrer que $f_A(t) =_{t \to 0} \det(A) + \det(A) \mathrm{Tr}(A^{-1} M)t + o(t)$.

18. Déterminer $f'_A(t)$ pour tout $t \in ] - \varepsilon_0, \varepsilon_0[$.

19. On admet que la fonction $\Phi : t \mapsto (A + t M)^{-1}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $] - \varepsilon_0, \varepsilon_0[$. En remarquant que $\Phi(t) \times (A + tM) = I_n$, montrer que \[ \Phi(t) =_{t \to 0} A^{-1} - A^{-1} M A^{-1} t + o(t). \]

20. Soit $\alpha \in \left] -\frac{1}{n}, +\infty \right[ \setminus \{ 0 \}$. On définit l’application $\varphi_{\alpha}$ par \[ \forall t \in ] -\varepsilon_0, \varepsilon_0[, \quad \varphi_{\alpha}(t) = \frac{1}{\alpha} \det^{-\alpha}(A + t M). \] Montrer que $\varphi_{\alpha}$ est dérivable sur $] -\varepsilon_0, \varepsilon_0[$ et que \[ \forall t \in ] -\varepsilon_0, \varepsilon_0[, \quad \varphi'_\alpha(t) = - \mathrm{Tr} \big[ (A + tM)^{-1} M \big] \det^{-\alpha}(A + tM). \]}

21. Montrer que $\varphi_{\alpha}$ est deux fois dérivable en $0$ et que \[ \varphi''_{\alpha}(0) = \det^{-\alpha}(A) \left[ \alpha \mathrm{Tr}^2(A^{-1} M) + \mathrm{Tr}\left( (A^{-1}M)^2 \right) \right]. \]

22. Montrer que $A^{-1}M$ est semblable à une matrice symétrique réelle.

23. En déduire que $\varphi''_{\alpha}(0) \geq 0$.

24. Montrer que, si $\varphi''_{\alpha}(0) > 0$, alors il existe $\eta > 0$, tel que pour tout $t \in ] -\eta, \eta[$, \[ \frac{1}{\alpha} \det^{-\alpha}(A + tM) \geq \frac{1}{\alpha} \det^{-\alpha}(A) - \mathrm{Tr}(A^{-1}M) \det^{-\alpha}(A) t. \]}

Soit $f : \mathbb{C}_n[X] \to \mathbb{C}_n[X]$ définie par
$$
f(P) = (X^2 + X) P(1) + (X^2 – X) P(-1),
$$
où $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{C}_n[X]$.

1. Déterminer le noyau et l’image de $f$.
2. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $f$. L’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?

Soit $\left(x_n\right)_{n \geqslant 0}$ définie par : $x_0=1$ et $\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$. Donner un équivalent de $x_n$ quand $n \rightarrow+\infty$.

On suppose que la série de terme général $a_n > 0$ est divergente. Soit, pour tout entier $n$, $S_n = a_0 + \cdots + a_n$ et $b_n = \frac{a_{n+1}}{S_n}$.
Déterminer la nature de la série de terme général $b_n$.

Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un ensemble \(E\). Déterminer le nombre de parties \(X \subset E\) telles que \(A \subset X \subset B\).

Soit une fonction continue $f:] 0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ telle que $\forall(x, y) \in] 0 ;+\infty\left[{ }^2, f(x y)=f(x)+f(y)\right.$

a. Calculer $f(1)$. Pour $x \in] 0 ;+\infty\left[\right.$, comparer $f(x)$ et $f\left(\frac{1}{x}\right)$.
b. Montrer que $\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, f(x)=\frac{1}{x} \int_x^{2 x} f(t) d t-\int_1^2 f(t) d t\right.$.
c. Montrer que f est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ et en déduire f .

a) Montrer qu’il existe un unique $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\int_1^{+\infty} \frac{\lambda – \sin(t)}{t} \, dt$ converge.

Considérons $T > 0$ et soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue et $T$-périodique.
b) Montrer qu’il existe un unique $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\int_1^{+\infty} \frac{\lambda – f(t)}{t} \, dt$ converge.