Rapport de jury Mines Ponts 2022

Questions du sujet

1. 1 . La matrice A est-elle semi-simple ?

2. 2 . Démontrer que B est semi-simple et en déduire l’existence d’une matrice Q de M_2(\mathbb{R})
inversible et de deux réels a et b à déterminer tels que :
B = Q \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} Q^{-1}.
\\
\textit{Indication : on pourra, pour un vecteur propre V de B, introduire les vecteurs W_1 = \mathrm{Re}(V )
et W_2 = \mathrm{Im}(V ).}

3. 3 . Démontrer que M est semi-simple et semblable dans M_2(\mathbb{R}) à la matrice :
\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}.

4. 4 . Démontrer que M est semi-simple si et seulement si l’une des conditions suivantes est
satisfaite :
\begin{enumerate}[i)]
\item M est diagonalisable dans M_2(\mathbb{R});
\item \chi_M admet deux racines complexes conjuguées de partie imaginaire non nulle.
\end{enumerate}

5. 5 . Soit N une matrice de M_n(\mathbb{R}) semblable à une matrice presque diagonale. Démontrer
que N est semi-simple.}

6. 6 . Soit N une matrice de M_n(\mathbb{R}). Donner la forme factorisée de \chi_N dans \mathbb{C}[X], en précisant
dans les notations, les racines réelles et les racines complexes conjuguées. En déduire que
si N est semi-simple alors elle est semblable dans M_n(\mathbb{R}) à une matrice presque diagonale.

7. 7 . Démontrer qu’il existe k \in \llbracket 1 ; n \rrbracket tel que v_k \notin F et qu’alors F et la droite vectorielle
engendrée par v_k sont en somme directe.
On note alors
A = \left\{ H\ \text{sous-espace vectoriel de } E\ \text{tel que}\ u(H) \subset H\ \text{et}\ F \cap H = \{ 0_E \} \right\}
\\
\text{et}
\\
L = \left\{ p \in \mathbb{N}^* \ |\ \exists H \in A : p = \dim(H)\right\}.

8. 8 . Démontrer que L admet un plus grand élément que l’on nommera r.

9. 9 . Démontrer que F admet un supplémentaire G dans E, stable par u.

10. 10 . On suppose que tout sous-espace vectoriel de E possède un supplémentaire dans E, stable
par u. Démontrer que u est diagonalisable. En déduire une caractérisation des matrices
diagonalisables de M_n(\mathbb{C}).
\\
\textit{Indication : on pourra raisonner par l’absurde et introduire un sous-espace vectoriel, dont
on justifiera l’existence, de dimension n-1 et contenant la somme des sous-espaces
propres de u.}}

11. 11 . Soit \alpha \in \mathbb{R}. Démontrer que si \alpha est une racine d’un polynôme P de \mathbb{R}[X], à coefficients
strictement positifs, alors \alpha < 0. 12. 12 . Démontrer que tout diviseur d’un polynôme de Hurwitz est un polynôme de Hurwitz. 13. 13 . Soit P un polynôme de Hurwitz de \mathbb{R}[X] irréductible et à coefficient dominant positif. Démontrer que tous les coefficients de P sont strictement positifs. 14. 14 . On suppose n = 2 et P \in \mathbb{R}_2[X]. Si les coefficients de Q sont strictement positifs, P est-il alors un polynôme de Hurwitz ? 15. 15 . Soient A et B deux polynômes de \mathbb{R}[X] dont tous les coefficents sont strictement positifs. Démontrer que les coefficients du produit AB sont également strictement positifs.} 16. 16 . Démontrer que si P et Q sont dans \mathbb{R}[X], alors on a l’équivalence : P est un polynôme de Hurwitz si et seulement si les coefficients de P et Q sont strictement positifs. 17. 17 . Démontrer que les coordonnées d’une solution X de (S) sont combinaisons linéaires des coordonnées d’une solution Y de (S^*). 18. 18 . Démontrer que X est solution de (S) si et seulement si z est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à déterminer. En déduire une expresssion, en fonction de t, des coordonnées des solutions de (S). Résoudre le système X' = BX où B est la matrice de la question 2). 19. 19 . Soit M \in M_2(\mathbb{R}) semi-simple. Donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur les parties réelles et imaginaires des valeurs propres de M, pour que toute solution de (S) ait chacune de ses coordonnées qui tende vers 0 en +\infty. 20. 20 . Démontrer que A3 est vraie avec k = 1 pour toute solution \Phi de (S^*). \\ \textit{Indication : on pourra introduire la fonction t\mapsto e^{2\beta t}\|\Phi(t)\|^2}. } 21. 21 . On suppose que M \in M_n(\mathbb{R}) est semi-simple. Démontrer que les assertions A1, A2 et A3 sont équivalentes. \\ \textit{Indication : on pourra commencer par A3 implique A2.}}

Questions du sujet

1. 1 . La matrice A est-elle semi-simple ?

2. 2 . Démontrer que B est semi-simple et en déduire l’existence d’une matrice Q de M$_2(\mathbb{R})$ inversible et de deux réels $a$ et $b$ à déterminer tels que :
$$
B = Q\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}Q^{-1}.
$$
\emph{Indication : on pourra, pour un vecteur propre $V$ de $B$, introduire les vecteurs $W_1 = \mathrm{Re}(V)$ et $W_2 = \mathrm{Im}(V)$.}

3. 3 . Démontrer que $M$ est semi-simple et semblable dans $M_2(\mathbb{R})$ à la matrice :
$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}
$$
sous l’hypothèse que $M$ admet deux valeurs propres complexes $\mu = a + ib$ et $\overline{\mu} = a - ib$ avec $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}^*$.

4. 4 . Démontrer que $M$ est semi-simple si et seulement si l’une des conditions suivantes est satisfaite :\\
i) $M$ est diagonalisable dans $M_2(\mathbb{R})$ ;\\
ii) $\chi_M$ admet deux racines complexes conjuguées de partie imaginaire non nulle.

5. 5 . Soit $N$ une matrice de $M_n(\mathbb{R})$ semblable à une matrice presque diagonale. Démontrer que $N$ est semi-simple.}

6. 6 . Soit $N$ une matrice de $M_n(\mathbb{R})$. Donner la forme factorisée de $\chi_N$ dans $\mathbb{C}[X]$, en précisant dans les notations, les racines réelles et les racines complexes conjuguées. En déduire que si $N$ est semi-simple alors elle est semblable dans $M_n(\mathbb{R})$ à une matrice presque diagonale.

7. 7 . Démontrer qu’il existe $k \in \llbracket 1 ; n \rrbracket$ tel que $v_k \notin F$ et qu’alors $F$ et la droite vectorielle engendrée par $v_k$ sont en somme directe.

8. 8 . Démontrer que $L$ admet un plus grand élément que l’on nommera $r$.

9. 9 . Démontrer que $F$ admet un supplémentaire $G$ dans $E$, stable par $u$.

10. 10 . On suppose que tout sous-espace vectoriel de $E$ possède un supplémentaire dans $E$, stable par $u$. Démontrer que $u$ est diagonalisable. En déduire une caractérisation des matrices diagonalisables de $M_n(\mathbb{C})$.\\
\emph{Indication : on pourra raisonner par l’absurde et introduire un sous-espace vectoriel, dont on justifiera l’existence, de dimension $n-1$ et contenant la somme des sous-espaces propres de $u$.}}

11. 11 . Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. Démontrer que si $\alpha$ est une racine d’un polynôme $P$ de $\mathbb{R}[X]$, à coefficients strictement positifs, alors $\alpha < 0$. 12. 12 . Démontrer que tout diviseur d’un polynôme de Hurwitz est un polynôme de Hurwitz. 13. 13 . Soit $P$ un polynôme de Hurwitz de $\mathbb{R}[X]$ irréductible et à coefficient dominant positif. Démontrer que tous les coefficients de $P$ sont strictement positifs. 14. 14 . On suppose $n = 2$ et $P \in \mathbb{R}_2[X]$. Si les coefficients de $Q$ sont strictement positifs, $P$ est-il alors un polynôme de Hurwitz ? 15. 15 . Soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\mathbb{R}[X]$ dont tous les coefficients sont strictement positifs. Démontrer que les coefficients du produit $AB$ sont également strictement positifs.} 16. 16 . Démontrer que si $P$ et $Q$ sont dans $\mathbb{R}[X]$, alors on a l’équivalence : $P$ est un polynôme de Hurwitz si et seulement si les coefficients de $P$ et $Q$ sont strictement positifs. 17. 17 . Démontrer que les coordonnées d’une solution $X$ de $(S)$ sont combinaisons linéaires des coordonnées d’une solution $Y$ de $(S^*)$. 18. 18 . Démontrer que $X$ est solution de $(S)$ si et seulement si $z$ est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à déterminer. En déduire une expression, en fonction de $t$, des coordonnées des solutions de $(S)$.\\ Résoudre le système $X' = BX$ où $B$ est la matrice de la question 2). 19. 19 . Soit $M \in M_2(\mathbb{R})$ semi-simple. Donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur les parties réelles et imaginaires des valeurs propres de $M$, pour que toute solution de $(S)$ ait chacune de ses coordonnées qui tende vers 0 en $+\infty$. 20. 20 . Démontrer que $A_3$ est vraie avec $k = 1$ pour toute solution $\Phi$ de $(S^*)$.\\ \emph{Indication : on pourra introduire la fonction $t \mapsto e^{2\beta t}\|\Phi(t)\|^2$.}} 21. 21 . On suppose que $M \in M_n(\mathbb{R})$ est semi-simple. Démontrer que les assertions $A_1$, $A_2$ et $A_3$ sont équivalentes.\\ \emph{Indication : on pourra commencer par $A_3$ implique $A_2$.}}

Questions du sujet

1. Soit $z \in D$. Montrer la convergence de la série $\sum\limits_{n \geq 1} \frac{z^n}{n}$. Préciser la valeur de sa somme lorsque $z \in ]-1, 1[$. On notera $$L(z) := \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{z^n}{n}.$$

2. Soit $z \in D$. Montrer que la fonction $\Phi : t \mapsto L(tz)$ est dérivable sur un intervalle ouvert incluant $[-1, 1]$ et donner une expression simple de sa dérivée sur $[-1, 1]$.

3. Soit $z \in D$. Montrer que la fonction $\Psi : t \mapsto (1 - tz) e^{L(tz)}$ est constante sur $[0, 1]$, et en déduire que \[\exp(L(z)) = \frac{1}{1-z}.\]

4. Montrer que $|L(z)| \leq -\ln(1 - |z|)$ pour tout $z$ dans $D$. En déduire que la série $\sum\limits_{n \geq 1} L(z^n)$ est convergente pour tout $z$ dans $D$. \\ Dans la suite, pour tout $z \in D$ on note \[ P(z) := \exp\left(\sum_{n=1}^{+\infty} L(z^n)\right). \]

5. Soit $z \in D$. Vérifier que $P(z) \neq 0$, que
\[ P(z) = \lim_{N \to +\infty} \prod_{n=1}^N \frac{1}{1-z^n} \]
et que pour tout réel $t>0$,
\[
\ln P(e^{-t}) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \ln(1 - e^{-nt}).
\]
}

6. Montrer que $q$ est continue par morceaux sur $\mathbb{R}$, qu’elle est $1$-périodique et que la fonction $|q|$ est paire.

7. Montrer que $\int_{1}^{+\infty} \frac{q(u)}{e^{tu} - 1} du$ est bien définie pour tout réel $t>0$.

8. Montrer que pour tout entier $n>1$,
\[\int_{1}^{n} \frac{q(u)}{u} du = \ln(n!) + (n-1) - n\ln(n) - \frac{1}{2}\ln(n) = \ln\left(\frac{n! e^n}{n^n \sqrt{n}}\right) - 1.\]

9. Montrer que $\int_{[n]}^{x} \frac{q(u)}{u} du$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$, et en déduire la convergence de l’intégrale $\int_{1}^{+\infty} \frac{q(u)}{u} du$, ainsi que l’égalité
\[\int_{1}^{+\infty} \frac{q(u)}{u} du = \frac{\ln(2\pi)}{2} - 1.\]

10. À l’aide d’un développement en série sous l’intégrale, montrer que
\[\int_{0}^{+\infty} \ln(1 - e^{-u}) du = -\frac{\pi^2}{6}.\]}

11. Montrer que
\[
\int_{0}^{1} \ln \left(\frac{1 - e^{-tu}}{t}\right) du \underset{t \to 0^+}{\longrightarrow} -1.
\]
On pourra commencer par établir que $x \mapsto \frac{1-e^{-x}}{x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$.

12. Pour $k \in \mathbb{N}^*$ et $t \in \mathbb{R}_+$, on pose
\[
u_k(t) = \int_{k/2}^{(k+1)/2} \frac{tq(u)}{e^{tu} - 1} du \text{ si } t > 0, \qquad u_k(t) = \int_{k/2}^{(k+1)/2} \frac{q(u)}{u} du \text{ si } t = 0.
\]
Montrer que $u_k$ est continue sur $\mathbb{R}_+$ pour tout $k \in \mathbb{N}^*$.

13. Soit $t \in \mathbb{R}_+^*$. Montrer successivement que
\[
|u_k(t)| = \int_{k/2}^{(k+1)/2} \frac{t|q(u)|}{e^{tu} - 1} du
\]
puis $u_k(t) = (-1)^k |u_k(t)|$ pour tout entier $k \geq 1$, et établir enfin que
\[
\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \left| \sum_{k=n}^{+\infty} u_k(t) \right| \leq \frac{1}{2n}.
\]
On admettra dans la suite que cette majoration vaut encore pour $t=0$.

14. En déduire que
\[
\int_{1}^{+\infty} \frac{t q(u)}{e^{tu} - 1} du \underset{t\to0^+}{\longrightarrow} \frac{\ln(2\pi)}{2} - 1.
\]

15. Montrer, pour tout réel $t > 0$, l’identité
\[
\int_{1}^{+\infty} \frac{t q(u)}{e^{tu}-1} du = -\frac{1}{2} \ln(1-e^{-t}) - \ln P(e^{-t}) - \int_{1}^{+\infty} \ln(1 - e^{-tu}) du.
\]}

16. Conclure que
\[
\ln P(e^{-t}) = \frac{\pi^2}{6t} + \frac{\ln(t)}{2} - \frac{\ln(2\pi)}{2} + o(1)
\]
quand $t$ tend vers $0^+$.

17. Pour $(n,N) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$, on note $P_{n,N}$ l’ensemble des listes $(a_1, ..., a_N) \in \mathbb{N}^N$ telles que $\sum_{k=1}^{N} k a_k = n$. Si cet ensemble est fini, on note $p_{n,N}$ son cardinal. \\ Soit $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $P_{n,N}$ est inclus dans $\llbracket 0, n \rrbracket^N$ et non vide pour tout $N \in \mathbb{N}^*$, que la suite $(p_{n,N})_{N\geq 1}$ est croissante et qu’elle est constante à partir du rang $\max(n,1)$.

18. Dans toute la suite, on notera $p_n$ la valeur finale de $(p_{n,N})_{N\geq 1}$.
\\
Soit $N \in \mathbb{N}^*$. Donner une suite $(a_{n,N})_{n \in \mathbb{N}}$ telle que
\[
\forall z \in D, \quad \frac{1}{1-z^N} = \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n,N} z^n.
\]
En déduire, par récurrence, la formule
\[
\forall N \in \mathbb{N}^*, \forall z \in D, \quad \prod_{k=1}^{N} \frac{1}{1-z^k} = \sum_{n=0}^{+\infty} p_{n,N} z^n.
\]

19. On fixe $\ell \in \mathbb{N}$ et $x \in [0,1[$. En utilisant le résultat de la question précédente, établir la majoration
\[
\sum_{n=0}^{\ell} p_n x^n \leq P(x).
\]
En déduire le rayon de convergence de la série entière $\sum_n p_n z^n$.

20. Soit $z \in D$. En examinant la différence
\[
\sum_{n=0}^{+\infty} p_n z^n - \sum_{n=0}^{+\infty} p_{n,N} z^n,
\]
démontrer que
\[
P(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} p_n z^n.
\]}

21. Soit $n \in \mathbb{N}$. Montrer que pour tout réel $t > 0$,
\[
p_n = \frac{e^{nt} P(e^{-t})}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{e^{-in\theta} P(e^{-t} e^{i\theta})}{P(e^{-t})} d\theta. \tag{1}
\]
Dans le reste du problème, l’objectif est d’utiliser la formule (1) pour obtenir un contrôle assez fin du nombre $p_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

22. Soit $x \in [0,1[$ et $\theta \in \mathbb{R}$. En utilisant la fonction $L$, montrer que
\[
\left|\frac{1-x}{1-x e^{i\theta}}\right| \leq \exp\left( -(1 - \cos \theta) x \right).
\]
En déduire que pour tout $x \in [0,1[$ et tout réel $\theta$,
\[
\left|\frac{P(xe^{i\theta})}{P(x)}\right| \leq \exp \left(-\frac{1}{1-x} + \text{Re}\left( \frac{1}{1-x e^{i\theta}} \right) \right).
\]

23. Soit $x \in [0,1[$ et $\theta$ un réel. Montrer que
\[
\frac{1}{1-x} - \text{Re} \left( \frac{1}{1-xe^{i\theta}} \right) \geq \frac{x(1-\cos\theta)}{(1-x)\left((1-x)^2 + 2x(1 - \cos\theta) \right)}.
\]
En déduire que si $x \geq \frac{1}{2}$ alors
\[
\left| \frac{P(xe^{i\theta})}{P(x)} \right| \leq \exp \left( -\frac{1-\cos\theta}{6(1-x)^3} \right)
\]
ou
\[
\left| \frac{P(xe^{i\theta})}{P(x)} \right| \leq \exp \left( -\frac{1}{3(1-x)} \right).
\]
Pour ce dernier résultat, on distinguera deux cas selon les valeurs relatives de $x(1-\cos\theta)$ et $(1-x)^2$.

24. Montrer qu’il existe un réel $\alpha > 0$ tel que
\[
\forall \theta \in [-\pi, \pi],\ 1 - \cos\theta \geq \alpha \theta^2.
\]
En déduire qu’il existe trois réels $t_0 > 0$, $\beta > 0$ et $\gamma > 0$ tels que, pour tout $t \in ]0, t_0]$ et tout $\theta \in [-\pi, \pi]$,
\[
\left| \frac{P(e^{-t} e^{i\theta})}{P(e^{-t})} \right| \leq e^{-\beta (t^{-3/2} \theta)^2}
\]
ou
\[
\left| \frac{P(e^{-t} e^{i\theta})}{P(e^{-t})} \right| \leq e^{-\gamma (t^{-3/2}|\theta|)^{2/3}}.
\]

25. En déduire que
\[
\int_{-\pi}^{\pi} e^{-i \frac{\pi}{2\theta}} \frac{1}{6 t^2} \frac{P(e^{-t} e^{i\theta})}{P(e^{-t})} d\theta = O(t^{3/2})
\]
quand $t$ tend vers $0^+$.}

26. En prenant $t = \sqrt{\frac{\pi}{6n}}$ dans (1), conclure que
\[
p_n = O \left( \frac{\exp\left(\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}\right)}{n} \right)
\]
quand $n$ tend vers $+\infty$.}

Questions du sujet

1. Soit $z \in D$. Montrer la convergence de la série $\sum\limits_{n \geq 1} \frac{z^n}{n}$. Préciser la valeur de sa somme lorsque $z \in ]-1, 1[$. On notera $$L(z) := \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{z^n}{n}.$$

2. Soit $z \in D$. Montrer que la fonction $\Phi : t \mapsto L(tz)$ est dérivable sur un intervalle ouvert incluant $[-1, 1]$ et donner une expression simple de sa dérivée sur $[-1, 1]$.

3. Soit $z \in D$. Montrer que la fonction $\Psi : t \mapsto (1 - tz) e^{L(tz)}$ est constante sur $[0, 1]$, et en déduire que \[\exp(L(z)) = \frac{1}{1-z}.\]

4. Montrer que $|L(z)| \leq -\ln(1 - |z|)$ pour tout $z$ dans $D$. En déduire que la série $\sum\limits_{n \geq 1} L(z^n)$ est convergente pour tout $z$ dans $D$. \\ Dans la suite, pour tout $z \in D$ on note \[ P(z) := \exp\left(\sum_{n=1}^{+\infty} L(z^n)\right). \]

5. Soit $z \in D$. Vérifier que $P(z) \neq 0$, que
\[ P(z) = \lim_{N \to +\infty} \prod_{n=1}^N \frac{1}{1-z^n} \]
et que pour tout réel $t>0$,
\[
\ln P(e^{-t}) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \ln(1 - e^{-nt}).
\]
}

6. Montrer que $q$ est continue par morceaux sur $\mathbb{R}$, qu’elle est $1$-périodique et que la fonction $|q|$ est paire.

7. Montrer que $\int_{1}^{+\infty} \frac{q(u)}{e^{tu} - 1} du$ est bien définie pour tout réel $t>0$.

8. Montrer que pour tout entier $n>1$,
\[\int_{1}^{n} \frac{q(u)}{u} du = \ln(n!) + (n-1) - n\ln(n) - \frac{1}{2}\ln(n) = \ln\left(\frac{n! e^n}{n^n \sqrt{n}}\right) - 1.\]

9. Montrer que $\int_{[n]}^{x} \frac{q(u)}{u} du$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$, et en déduire la convergence de l’intégrale $\int_{1}^{+\infty} \frac{q(u)}{u} du$, ainsi que l’égalité
\[\int_{1}^{+\infty} \frac{q(u)}{u} du = \frac{\ln(2\pi)}{2} - 1.\]

10. À l’aide d’un développement en série sous l’intégrale, montrer que
\[\int_{0}^{+\infty} \ln(1 - e^{-u}) du = -\frac{\pi^2}{6}.\]}

11. Montrer que
\[
\int_{0}^{1} \ln \left(\frac{1 - e^{-tu}}{t}\right) du \underset{t \to 0^+}{\longrightarrow} -1.
\]
On pourra commencer par établir que $x \mapsto \frac{1-e^{-x}}{x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$.

12. Pour $k \in \mathbb{N}^*$ et $t \in \mathbb{R}_+$, on pose
\[
u_k(t) = \int_{k/2}^{(k+1)/2} \frac{tq(u)}{e^{tu} - 1} du \text{ si } t > 0, \qquad u_k(t) = \int_{k/2}^{(k+1)/2} \frac{q(u)}{u} du \text{ si } t = 0.
\]
Montrer que $u_k$ est continue sur $\mathbb{R}_+$ pour tout $k \in \mathbb{N}^*$.

13. Soit $t \in \mathbb{R}_+^*$. Montrer successivement que
\[
|u_k(t)| = \int_{k/2}^{(k+1)/2} \frac{t|q(u)|}{e^{tu} - 1} du
\]
puis $u_k(t) = (-1)^k |u_k(t)|$ pour tout entier $k \geq 1$, et établir enfin que
\[
\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \left| \sum_{k=n}^{+\infty} u_k(t) \right| \leq \frac{1}{2n}.
\]
On admettra dans la suite que cette majoration vaut encore pour $t=0$.

14. En déduire que
\[
\int_{1}^{+\infty} \frac{t q(u)}{e^{tu} - 1} du \underset{t\to0^+}{\longrightarrow} \frac{\ln(2\pi)}{2} - 1.
\]

15. Montrer, pour tout réel $t > 0$, l’identité
\[
\int_{1}^{+\infty} \frac{t q(u)}{e^{tu}-1} du = -\frac{1}{2} \ln(1-e^{-t}) - \ln P(e^{-t}) - \int_{1}^{+\infty} \ln(1 - e^{-tu}) du.
\]}

16. Conclure que
\[
\ln P(e^{-t}) = \frac{\pi^2}{6t} + \frac{\ln(t)}{2} - \frac{\ln(2\pi)}{2} + o(1)
\]
quand $t$ tend vers $0^+$.

17. Pour $(n,N) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$, on note $P_{n,N}$ l’ensemble des listes $(a_1, ..., a_N) \in \mathbb{N}^N$ telles que $\sum_{k=1}^{N} k a_k = n$. Si cet ensemble est fini, on note $p_{n,N}$ son cardinal. \\ Soit $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $P_{n,N}$ est inclus dans $\llbracket 0, n \rrbracket^N$ et non vide pour tout $N \in \mathbb{N}^*$, que la suite $(p_{n,N})_{N\geq 1}$ est croissante et qu’elle est constante à partir du rang $\max(n,1)$.

18. Dans toute la suite, on notera $p_n$ la valeur finale de $(p_{n,N})_{N\geq 1}$.
\\
Soit $N \in \mathbb{N}^*$. Donner une suite $(a_{n,N})_{n \in \mathbb{N}}$ telle que
\[
\forall z \in D, \quad \frac{1}{1-z^N} = \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n,N} z^n.
\]
En déduire, par récurrence, la formule
\[
\forall N \in \mathbb{N}^*, \forall z \in D, \quad \prod_{k=1}^{N} \frac{1}{1-z^k} = \sum_{n=0}^{+\infty} p_{n,N} z^n.
\]

19. On fixe $\ell \in \mathbb{N}$ et $x \in [0,1[$. En utilisant le résultat de la question précédente, établir la majoration
\[
\sum_{n=0}^{\ell} p_n x^n \leq P(x).
\]
En déduire le rayon de convergence de la série entière $\sum_n p_n z^n$.

20. Soit $z \in D$. En examinant la différence
\[
\sum_{n=0}^{+\infty} p_n z^n - \sum_{n=0}^{+\infty} p_{n,N} z^n,
\]
démontrer que
\[
P(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} p_n z^n.
\]}

21. Soit $n \in \mathbb{N}$. Montrer que pour tout réel $t > 0$,
\[
p_n = \frac{e^{nt} P(e^{-t})}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{e^{-in\theta} P(e^{-t} e^{i\theta})}{P(e^{-t})} d\theta. \tag{1}
\]
Dans le reste du problème, l’objectif est d’utiliser la formule (1) pour obtenir un contrôle assez fin du nombre $p_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

22. Soit $x \in [0,1[$ et $\theta \in \mathbb{R}$. En utilisant la fonction $L$, montrer que
\[
\left|\frac{1-x}{1-x e^{i\theta}}\right| \leq \exp\left( -(1 - \cos \theta) x \right).
\]
En déduire que pour tout $x \in [0,1[$ et tout réel $\theta$,
\[
\left|\frac{P(xe^{i\theta})}{P(x)}\right| \leq \exp \left(-\frac{1}{1-x} + \text{Re}\left( \frac{1}{1-x e^{i\theta}} \right) \right).
\]

23. Soit $x \in [0,1[$ et $\theta$ un réel. Montrer que
\[
\frac{1}{1-x} - \text{Re} \left( \frac{1}{1-xe^{i\theta}} \right) \geq \frac{x(1-\cos\theta)}{(1-x)\left((1-x)^2 + 2x(1 - \cos\theta) \right)}.
\]
En déduire que si $x \geq \frac{1}{2}$ alors
\[
\left| \frac{P(xe^{i\theta})}{P(x)} \right| \leq \exp \left( -\frac{1-\cos\theta}{6(1-x)^3} \right)
\]
ou
\[
\left| \frac{P(xe^{i\theta})}{P(x)} \right| \leq \exp \left( -\frac{1}{3(1-x)} \right).
\]
Pour ce dernier résultat, on distinguera deux cas selon les valeurs relatives de $x(1-\cos\theta)$ et $(1-x)^2$.

24. Montrer qu’il existe un réel $\alpha > 0$ tel que
\[
\forall \theta \in [-\pi, \pi],\ 1 - \cos\theta \geq \alpha \theta^2.
\]
En déduire qu’il existe trois réels $t_0 > 0$, $\beta > 0$ et $\gamma > 0$ tels que, pour tout $t \in ]0, t_0]$ et tout $\theta \in [-\pi, \pi]$,
\[
\left| \frac{P(e^{-t} e^{i\theta})}{P(e^{-t})} \right| \leq e^{-\beta (t^{-3/2} \theta)^2}
\]
ou
\[
\left| \frac{P(e^{-t} e^{i\theta})}{P(e^{-t})} \right| \leq e^{-\gamma (t^{-3/2}|\theta|)^{2/3}}.
\]

25. En déduire que
\[
\int_{-\pi}^{\pi} e^{-i \frac{\pi}{2\theta}} \frac{1}{6 t^2} \frac{P(e^{-t} e^{i\theta})}{P(e^{-t})} d\theta = O(t^{3/2})
\]
quand $t$ tend vers $0^+$.}

26. En prenant $t = \sqrt{\frac{\pi}{6n}}$ dans (1), conclure que
\[
p_n = O \left( \frac{\exp\left(\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}\right)}{n} \right)
\]
quand $n$ tend vers $+\infty$.}

Soit $f : \mathbb{C}_n[X] \to \mathbb{C}_n[X]$ définie par
$$
f(P) = (X^2 + X) P(1) + (X^2 – X) P(-1),
$$
où $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{C}_n[X]$.

1. Déterminer le noyau et l’image de $f$.
2. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $f$. L’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?

Soit $\left(x_n\right)_{n \geqslant 0}$ définie par : $x_0=1$ et $\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$. Donner un équivalent de $x_n$ quand $n \rightarrow+\infty$.

On suppose que la série de terme général $a_n > 0$ est divergente. Soit, pour tout entier $n$, $S_n = a_0 + \cdots + a_n$ et $b_n = \frac{a_{n+1}}{S_n}$.
Déterminer la nature de la série de terme général $b_n$.

Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un ensemble \(E\). Déterminer le nombre de parties \(X \subset E\) telles que \(A \subset X \subset B\).

Soit une fonction continue $f:] 0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ telle que $\forall(x, y) \in] 0 ;+\infty\left[{ }^2, f(x y)=f(x)+f(y)\right.$

a. Calculer $f(1)$. Pour $x \in] 0 ;+\infty\left[\right.$, comparer $f(x)$ et $f\left(\frac{1}{x}\right)$.
b. Montrer que $\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, f(x)=\frac{1}{x} \int_x^{2 x} f(t) d t-\int_1^2 f(t) d t\right.$.
c. Montrer que f est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ et en déduire f .

a) Montrer qu’il existe un unique $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\int_1^{+\infty} \frac{\lambda – \sin(t)}{t} \, dt$ converge.

Considérons $T > 0$ et soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue et $T$-périodique.
b) Montrer qu’il existe un unique $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\int_1^{+\infty} \frac{\lambda – f(t)}{t} \, dt$ converge.