Rapport de jury Mines Ponts 2022

L'anémométrie à fil chaud est une technique utilisée pour mesurer la vitesse d'écoulement d'un fluide, comme l'air. Elle repose sur le principe selon lequel la vitesse du fluide influence le transfert thermique entre un fil chauffé (par effet Joule) et le fluide environnant. En mesurant la variation de température ou de résistance électrique du fil, on peut déterminer la vitesse du fluide.

La résistance électrique du fil chaud dépend de sa résistivité, qui elle-même varie avec la température. Cette relation est généralement linéaire sur une plage de températures donnée et peut être exprimée par une équation reliant la résistivité à la température. Ainsi, à mesure que la température du fil augmente, sa résistivité et donc sa résistance électrique augmentent également.

Les matériaux fréquemment utilisés pour les fils chauds en anémométrie incluent le tungstène, le platine et les alliages de platine-iridium. Le tungstène, par exemple, possède une résistivité de 5,5 µΩ·cm, une conductivité thermique de 1,9 W·cm⁻¹·K⁻¹, une masse volumique de 19 300 kg·m⁻³ et une capacité thermique massique de 0,14 kJ·kg⁻¹·K⁻¹. Ces propriétés influencent la performance du fil chaud en termes de réponse thermique et de robustesse.

Le coefficient de transfert thermique conducto-convectif, noté h, augmente avec la vitesse d'écoulement du fluide. Lorsque la vitesse du fluide augmente, le transfert de chaleur par convection autour du fil devient plus efficace, ce qui se traduit par une augmentation du coefficient h. Cette relation est essentielle pour déterminer la vitesse du fluide en fonction des variations de température ou de résistance du fil. 

Dans ce sujet, l'araignée est modélisée comme un système de fils chargés électriquement, formant une structure en étoile. Chaque fil est considéré comme une tige fine portant une charge électrique, et l'ensemble des fils est disposé de manière symétrique autour d'un point central. Ce modèle permet d'étudier les interactions électrostatiques et les forces en jeu dans la configuration de l'araignée.

La position d'équilibre des fils chargés est déterminée en minimisant l'énergie potentielle électrostatique du système. En considérant les forces de répulsion entre les charges des fils et les contraintes géométriques imposées par leur disposition, on peut établir une équation différentielle décrivant l'équilibre. La résolution de cette équation permet de trouver l'angle d'équilibre α_eq, qui correspond à la configuration stable des fils

Lorsqu'un champ électrique externe est appliqué, il exerce une force supplémentaire sur les charges des fils, modifiant ainsi leur configuration d'équilibre. Le champ externe peut induire une déformation de la structure en étoile, modifiant les angles entre les fils et la position d'équilibre. L'étude de cette influence implique l'analyse des nouvelles conditions d'équilibre en présence du champ électrique, en tenant compte des forces électrostatiques internes et externes.

Les oscillations des fils autour de leur position d'équilibre sont modélisées en considérant les petites perturbations angulaires par rapport à l'angle d'équilibre α_eq. En linéarisant les équations de mouvement pour ces petites oscillations, on obtient une équation différentielle harmonique décrivant le comportement oscillatoire. La solution de cette équation permet de déterminer la fréquence et la période des oscillations des fils chargés.