Exercices corrigés de mathématiques posés aux oraux du concours Centrale

Soient deux réels $\alpha$ et $\beta$.
a. À quelle condition la série $\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n^\alpha}$ converge ? Si c’est le cas, quel est le signe de $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^\alpha}$ ?
b. À quelle condition la série $\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^\beta}$ converge ? Si c’est le cas, montrer que $\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^\beta} \sim \frac{1}{+\infty} \frac{1}{(\beta-1) n^{\beta-1}}$.
c. Sous ces conditions, quand la série de terme général $w_n=\frac{\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^\beta}}{\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k^\alpha}}$ converge-t-elle ?

Soit $E = \{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f \text{ est continue et } \lim_{x \to +\infty} f(x) \text{ existe et est finie} \}$.
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme $T$ défini sur $E$ par :
$$
\forall x \in \mathbb{R}, T(f)(x)=f(x+1) .
$$

Soit $\left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels strictement positifs et $\left(b_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $b_0 = 1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $b_{n+1} = b_n + \frac{a_n}{b_n}$.

a. Justifiez que si $\left(b_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge, alors $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$.

b. Montrez que la convergence de $\left(b_n\right){n \in \mathbb{N}}$ est équivalente à la convergence de la série $\sum_{n \geqslant 0} {a_n}$.

On se donne 4 points A, B, C, D du plan dont les affixes respectives sont a, b, c, d.

a. Montrer que : \(\forall\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right) \in \mathbb{C}^{3},\left|z_{2}\right|\left|z_{1}-z_{3}\right| \leqslant\left|z_{1}\right|\left|z_{2}-z_{3}\right|+\left|z_{3}\right|\left|z_{1}-z_{2}\right|\).

b. En déduire que \(A C . B D \leqslant A B . C D+A D . B C\).

c. Montrer que si \(A, B, C, D\) sont cocycliques “dans cet ordre” ( \(A, B, C\) et \(D\) sont sur un cercle \(\mathcal{C}\) et on rencontre ces 4 points sur \(\mathcal{C}\) dans l’ordre indiqué) alors \(A C . B D=A B . C D+A D . B C\).

Soit \(\Phi : \mathbb{C}^{+} \to \mathbb{D}\), avec \(\Phi(z) = \frac{z – i}{z + i}\). On souhaite montrer que \(\Phi\) est bijective.

Soit \(z_{0}\) un nombre complexe fixé.\

a. Soit \(\theta \in]-\pi ; \pi\left[\right.\), déterminer en fonction de \(\theta\) le module et un argument de \(1+e^{i \theta}\).\\

b. Résoudre (E) : \(z+|z|=z_{0}\) selon les valeurs de \(z_{0}\) (on cherche les solutions complexes \(z\) ).\

Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et \(\omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}\).

a) Montrer que :
\[
\forall (a, b) \in \mathbb{C}^{2}, \quad \prod_{k=0}^{n-1}\left(a + \omega^{k} b\right) = a^{n} – (-b)^{n}.
\]

b) Avec ces notations, établir que 

 \[ \forall \theta \in \mathbb{R}, \quad \prod_{k=0}^{n-1}\left(\omega^{2k} – 2 \omega^{k} \cos (\theta) + 1\right) = 2(1 – \cos (n\theta)). \]

Déterminer les \(z \in \mathbb{C}\) tels que \(z\), \(z^{2}\), et \(z^{5}\) soient alignés.

On admet la convergence de l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin (t)}{t} \, dt$, dont la valeur est notée $I$.
On définit, si elle converge, la fonction $f(x) = \int_0^{+\infty} \frac{t \sin (x t)}{1 + t^2} \, dt$.

a) Montrer que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
b) Déterminer $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = I$ et calculer la limite de $f$ en $+\infty$.
c) Établir que $I = \sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k \int_0^\pi \frac{\sin (u)}{u + k \pi} \, du$.
d) En conclure que $f$ n’est pas continue en $0$.