Mines Maths 2 PSI 2013

Questions du sujet

1. Soient $(\xi_k)_{k \in \mathbb{N}}$ une suite dans $\mathbb{C}$ et $n \in \mathbb{N}$, démontrer par récurrence que
\[
\prod_{k=1}^n (1 + \xi_k) – 1 \leq \prod_{k=1}^n (1 + |\xi_k|) – 1.
\]

2. Montrer que $Q(x)$ est bien défini, c’est-à-dire que la suite de terme général $\prod_{k=1}^n (1 – x^{2k})$ converge.

3. Soit $\rho_k = |1 + z^{2} x^{2k-1}|$, montrer que le produit infini $\prod_{k=1}^{\infty} \rho_k$ converge. On pourra utilement penser à l’utilisation du Logarithme pour transformer le produit infini en série.

4. Soit $\theta_k = \operatorname{Arg}\left(1 + z^{2} x^{2k-1}\right)$, montrer que la série $\sum_{k=1}^{\infty} \theta_k$ converge.

5. En déduire que $H$ est bien défini.}

6. À l’aide de l’inégalité (1) démontrer que $Q(x) \to 1$ quand $x \to 0$.

7. Montrer que
\[
F(x, xz) = \frac{1 + z^{-2} x^{-1}}{\prod_{k=1}^{\infty}(1 + z^{-2} x^{2k+1})} \prod_{k=1}^{\infty}(1 + z^{-2} x^{-2k+1})
\]
et en déduire que $xz^2 F(x, xz) = F(x, z)$.

8. On pose $F_1^n(x, z) = \sum_{k = 0}^{n} a_k(x)z^k$. Démontrer que $a_0(x) = F_1(x, 0)$ et que, pour $n \geq 0$, $a_{n+1}(x) = \lim_{z \to 0} (F_1(x, z) – F_1^n(x, z)) / z^{n+1}$.

9. En déduire que si $F(x, z)$ vérifie à la fois $(4)$ et $F(x, z) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} d_k(x) z^k$, alors $\forall k \in \mathbb{Z}$ les fonctions $a_k$ et $d_k$ sont égales, c’est-à-dire que les coefficients $a_k(x)$ dans l’expression $(4)$ de $F(x, z)$ sont déterminés de façon unique.

10. Montrer qu’il existe des fonctions $b_m$, $m \in \mathbb{Z}$, de la variable réelle $x$, à valeurs dans $\mathbb{C}$, telles que
\[
\forall z \in \mathbb{C}^{*}, \quad F(x, z) = \sum_{m = -\infty}^{+\infty} b_m(x) z^{2m}.
\]
}

11. À l’aide de la question 7, montrer que $\forall m \in \mathbb{Z},\; b_m(x) = b_{m-1}(x) x^{2m-1}$.

12. Montrer que $\forall m \in \mathbb{N},\; b_m(x) = b_{-m}(x)$ et donner l’expression de $b_m(x)$ en fonction de $b_0(x)$ et $x$.

13. À l’aide de l’inégalité (1) démontrer que $H(x, z) \to 1$ quand $x \to 0$.

14. En déduire que $b_0(x) \to 1$ quand $x \to 0$.

15. Montrer que
\[
P(x, \eta) = \prod_{k=1}^{\infty} (1 – x^{4k}) \prod_{k=1}^{\infty}(1 – x^{4k-2}) \prod_{k=1}^{\infty}(1 + x^{4k-2}).
\]
}

16. En déduire que $P(x, \eta) = P(x^4, i)$.

17. On pose $c_m(x) = Q(x)b_m(x)$. À l’aide de la question 16 et de l’expression de $b_m(x)$ de la question 12, montrer que $c_0(x^4) = c_0(x)$.

18. En utilisant une récurrence et à l’aide des questions 14 et 6, en déduire que pour tout $x \in ]-1, 1[$, $c_0(x) = 1$ et la formule du triple produit
\[
\prod_{k=1}^{\infty} (1 – x^{2k}) \prod_{k=1}^{\infty} (1 + z^{2} x^{2k-1}) \prod_{k=1}^{\infty} (1 + z^{-2} x^{2k-1}) = \sum_{m = -\infty}^{+\infty} x^{m^2}z^{2m}.
\]

19. En posant $x = t^{3/2}$ et par un choix judicieux de $z^2$, déduire la formule des nombres pentagonaux d’Euler :
\[
\prod_{m=1}^{\infty}(1 – t^m) = \sum_{m = -\infty}^{+\infty} (-1)^m t^{(3m^2 + m)/2}, \quad t \in \mathbb{R},\; 0 \leq t < 1, \] de celle du triple produit (6). 20. En s’aidant de l’application $f$, démontrer que $S_1$ et $S_2$ comportent le même nombre d’éléments.} 21. Démontrer que pour $n > 0$, $p(n)$ est le coefficient de $t^n$ dans le développement de $\prod_{k=1}^n \prod_{i=0}^n t^{ik}$.

22. À l’aide de la formule d’Euler (7), démontrer que
\[
\left(1 + \sum_{k = 1}^{\infty} p(k)t^k \right) \left( \sum_{m = -\infty}^{+\infty} (-1)^m t^{(3m^2+m)/2} \right) = 1.
\]

23. En déduire la valeur de $p(n)$, $n = 1,\, 7$.}