Questions du sujet
- Montrer que $hu = -u$ et que $hv = v$ dès que $v$ est orthogonal à $u$.
- Démontrer que $h$ est symétrique et orthogonale.
- Soit $g \in \mathbb{R}^m$, de composantes $\gamma_i$, $1 \leq i \leq m$, un vecteur unitaire non colinéaire à $e_1$. On pose
[
u = \frac{g – e_1}{\sqrt{2(1 – \gamma_1)}},
]
montrer que $u$ est unitaire et que $hg = e_1$. - En déduire que si $x$ est un vecteur de $\mathbb{R}^m$ non colinéaire à $e_1$, il existe un vecteur unitaire $u$ et une matrice de Householder associée $h$ telle que $hx = |x| e_1$.
- Montrer que $\bs$ est semblable à $\qb$ et qu’on peut choisir $h_1$ de telle sorte que $\sigma_{bi1} = \sigma_{b1i} = 0$ pour $i = 3, \ldots, m$.
- En déduire un procédé permettant de déterminer une matrice tridiagonale symétrique semblable à $\qb$.
- Soit $\lambda \in \sigma (\tzero)$ et $x$ un vecteur propre associé de composantes $\xi_j, j = 1, \ldots, m$. En raisonnant par l’absurde, montrer que $\xi_m \neq 0$.
- Démontrer que les sous-espaces propres de $\tzero$ sont de dimension 1. Quel est le cardinal de $\sigma(\tzero)$ ?
- Étant donnée $t(t)$ solution de (5), et donc $u(t)$, démontrer que le système différentiel
[
\begin{cases}
v'(t) = u(t) v(t),\quad t \in \mathbb{R},\
v(0) = I,
\end{cases}
]
admet une solution et une seule $v(t)$ sur $\mathbb{R}$. - Montrer que pour tout $t \in \mathbb{R}$, la matrice $v(t)$ solution de (6) est orthogonale.
- Montrer que $v(t) t(t) v(t)^{-1}$ est une matrice constante que l’on déterminera. Les valeurs propres de $t(t)$ dépendent-elles de $t$ ?
- Montrer que la fonction $L$ est constante. En déduire que les fonctions $\beta_i$ sont bornées sur $\mathbb{R}$, soit par $D$.
- Pour $1 \leq i \leq m – 1$, montrer que
[
2\int_0^t \alpha_i^2(s)\,ds = \sum_{j=1}^i (\beta_j(t)-b_j)
]
et en déduire que les $\alpha_i^2$ sont intégrables sur $\mathbb{R}$. - En déduire que les $\beta_i(t),\ i = 1, \ldots, m$ possèdent une limite quand $t \to \pm \infty$.
- Déduire des résultats des questions précédentes que la fonction $\alpha_i \alpha’_i$ est intégrable sur $\mathbb{R}$. En déduire la limite de $\alpha_i(t)$ lorsque $t \to \pm \infty$.
- Montrer que pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, $\chi_t(\lambda)$ tend vers $\prod_{i=1}^m (\lambda – \beta_i^+)$ (respectivement vers $\prod_{i=1}^m (\lambda – \beta_i^-)$) lorsque $t \to +\infty$ (respectivement $-\infty$).
- En déduire que $\sigma(t) = B^+ = B^-$.
- On suppose que $A^+$ n’est pas vide et on pose $\tau = \inf{t \mid t \in A^+}$. Déterminer la valeur de $\alpha_i(\tau)$ et montrer que pour $t \in\;]0, \tau[$, $\alpha_i(t)$ est du même signe que $a_i$.
- En supposant toujours que $A^+$ n’est pas vide, montrer que
[
\left| \ln |\alpha_i(t)| – \ln |\alpha_i(0)| \right| \leq 2D\tau,\quad \forall t \in [0,\tau[.
]
En déduire que nécessairement $A^+ = \emptyset$, puis que $\alpha_i$ ne s’annule en aucun point de $\mathbb{R}$. - En raisonnant par l’absurde, montrer que $\beta_{i+1}^+ < \beta_i^+$, $i = 1, \ldots, m-1$ ; en déduire que $\beta_i^+ = \lambda_i$, $i = 1, \ldots, m$.
- Montrer que si $\delta$ est choisi tel que $0 < \delta < \beta^+i – \beta^+{i+1}$, $i = 1, \ldots, m-1$, alors il existe $S$ et $C$ strictement positifs tels que $\forall s > S$, $|\alpha_i(s)| < C e^{-\delta s}$, $i = 1, \ldots, m-1$. En déduire que pour $t > S$, $\exists C’>0$ tel que $|\lambda_i – \beta_i(t)| < C’ e^{-2\delta t}$, $i = 1, \ldots, m$.