Questions du sujet
1. I.A.1) Déterminer $T_0$, $T_1$, $T_2$ et $T_3$. 2. I.A.2) En remarquant que pour tout réel $\theta$, on a $e^{in\theta} = \left(e^{i\theta}\right)^n$, montrer que \[\forall n \in \mathbb{N},\quad T_n = \sum_{0\leq k\leq n/2} \binom{n}{2k} (X^2-1)^k X^{n-2k}\] Écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction $T$ prenant en argument un entier naturel $n$ et renvoyant l’expression développée du polynôme $T_n$. 3. I.A.3) Montrer que la suite $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ vérifie la relation de récurrence \[\forall n\in\mathbb{N},\quad T_{n+2} = 2X T_{n+1} – T_n \tag{I.1}\] En déduire, pour tout entier naturel $n$, le degré et le coefficient dominant de $T_n$. Retrouver ce résultat avec l’expression de la question I.A.2. 4. I.A.4) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, le polynôme $T_n$ est scindé sur $\mathbb{R}$, à racines simples appartenant à $]-1,1[$. Déterminer les racines de $T_n$. 5. I.B.1) Montrer que \[\forall n\in\mathbb{N}, \forall \theta \in \mathbb{R}\setminus\pi\mathbb{Z},\quad U_n(\cos\theta) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}\]} 6. I.B.2) En déduire les propriétés suivantes : a) La suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifie la même relation de récurrence (I.1) que la suite $(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$. b) Pour tout entier naturel $n$, le polynôme $U_n$ est scindé sur $\mathbb{R}$ à racines simples appartenant à $]-1,1[$. Déterminer les racines de $U_n$. 7. II.A.1) Montrer que \[ \left\{ \begin{array}{l} T_m \cdot T_n = \frac{1}{2}(T_{n+m} + T_{n-m}) \text{ pour tous entiers } 0\leq m \leq n \\ T_m \cdot U_{n-1} = \frac{1}{2}(U_{n+m-1} + U_{n-m-1}) \text{ pour tous entiers } 0\leq m < n \end{array} \right. \] 8. II.A.2) Pour $m$ et $n$ entiers naturels tels que $m\leq n$, on se propose de déterminer le quotient $Q_{n,m}$ et le reste $R_{n,m}$ de la division euclidienne de $T_n$ par $T_m$. a) On suppose $m < n < 3m$. Montrer que $Q_{n,m} = 2T_{n-m}$ et $R_{n,m} = -T_{|n-2m|}$. 9. II.A.2) b) Déterminer $Q_{n,m}$ et $R_{n,m}$ lorsque $n$ est de la forme $(2p+1)m$ avec $p \in \mathbb{N}^*$. 10. II.A.2) c) On suppose que $m > 0$ et que $n$ n’est pas le produit de $m$ par un entier impair. Montrer qu’il existe un unique entier $p\geq 1$ tel que $|n-2pm|FAQ
T_n désigne les polynômes de Tchebychev de première espèce caractérisés par T_n(cos θ)=cos(nθ). On en déduit immédiatement : T_0=1, T_1=X, T_2=2X^2-1 et T_3=4X^3-3X.
En partant de cos(nθ)=Re((e^{iθ})^n) et en écrivant cosθ = X = (e^{iθ}+e^{-iθ})/2 on développe ((e^{iθ})+(e^{-iθ}))^n puis on regroupe les termes en puissances de X ; on obtient bien T_n = sum_{0≤k≤n/2} binom(n,2k) (X^2-1)^k X^{n-2k}. Pour produire T_n développé : en Mathematica par exemple T[n_Integer]:=Expand[Sum[Binomial[n,2 k] (X^2-1)^k X^(n-2 k),{k,0,Floor[n/2]}]] (ou l’équivalent Expand[ChebyshevT[n,X]] si tu utilises la bibliothèque). En Maple la même somme avec binomial et expand fait l’affaire. Pour un corrigé détaillé pas à pas, débloque les corrigés sur Prépa Booster : tu y trouveras le développement et le code prêt à l’emploi.
En utilisant l’identité trigonométrique pour cos((n+2)θ) on montre T_{n+2}=2X T_{n+1}-T_n (relation I.1). On en déduit par récurrence que deg(T_n)=n et, pour n≥1, le coefficient dominant vaut 2^{\,n-1} (pour T_0=1). Tu retrouves la même chose en lisant l’expression binomiale : le terme en X^n provient du choix k=0 et porte le coefficient 2^{n-1} pour n≥1.
Oui. Écrire T_n(cos θ)=cos(nθ) montre que les racines réelles de T_n correspondent aux θ tels que cos(nθ)=0, soit nθ=(2ℓ+1)π/2. En prenant θ=(2k+1)π/(2n) pour k=0,…,n-1 on obtient les racines x_k=cos((2k+1)π/(2n)), toutes simples et situées dans ]-1,1[. Donc T_n est scindé sur R avec ces racines simples.
Par la même méthode trigonométrique on obtient pour θ∉πZ : U_n(cos θ)=sin((n+1)θ)/sin θ. C’est la définition usuelle des polynômes de Tchebychev de seconde espèce.
a) U_n satisfait la même récurrence I.1 : U_{n+2}=2X U_{n+1}-U_n (tu le montres en utilisant la formule en sinus). b) Les racines de U_n sont données par cos(kπ/(n+1)) pour k=1,…,n ; elles sont simples et appartiennent à ]-1,1[. Ainsi U_n est aussi scindé sur R.
Les identités classiques issues des produits trigonométriques sont : pour 0≤m≤n, T_m T_n = 1/2 (T_{n+m}+T_{n-m}) ; et pour 0≤m
En utilisant l’identité T_n = 2 T_m T_{n-m} – T_{n-2m} (dérivée de la formule du produit), tu obtiens directement le premier pas de l’algorithme d’Euclide : Q_{n,m}=2 T_{n-m} et R_{n,m} = -T_{|n-2m|}. Cette écriture tient compte des degrés et permet d’itérer si nécessaire.
En itérant la relation de la question précédente on obtient une somme alternée. Si n=(2p+1)m alors la division s’annule au bout d’une étape supplémentaire :
Q_{n,m} = 2∑_{j=1}^p (-1)^{j-1} T_{n-(2j-1)m} + (-1)^p,
et R_{n,m}=0. L’idée est de poursuivre l’identité T_{k}=2T_m T_{k-m}-T_{k-2m} jusqu’à obtenir un reste de degré
Si m>0 et n n’est pas le produit de m par un entier impair, il existe un unique p≥1 tel que |n-2pm|
Les racines de U_n sont cos(kπ/(n+1)). En examinant les racines communes de U_n et U_m on voit que l’ensemble des racines communes correspond aux indices k tels que k/(n+1)=ℓ/(m+1) modulo 1, donc le plus grand commun diviseur des indices est h=gcd(m+1,n+1). On en déduit que U_{h-1} est un pgcd (unitaire à une constante près) de U_n et U_m dans R[X]. C’est une conclusion standard en utilisant l’interprétation trigonométrique.
Soit g=gcd(m,n) et m_1=m/g, n_1=n/g. a) Si m_1 et n_1 sont impairs alors T_g est un pgcd de T_n et T_m (les racines se recoupent selon la même analyse trigonométrique et la propriété de composition T_{ab}=T_a∘T_b). b) Si l’un des deux quotients est pair alors T_n et T_m sont premiers entre eux (pgcd constant). c) En conséquence : si m et n sont impairs alors le pgcd vaut T_{gcd(m,n)} ; si n et m sont deux puissances de 2 distinctes alors les quotients m_1,n_1 ne sont pas tous deux impairs et les polynômes sont premiers entre eux.
La propriété (III.1) est la compatibilité multiplicative F_{mn}=F_m∘F_n (ou l’inverse selon l’énoncé). Pour les Tchebychev on a l’identité de composition T_n∘T_m = T_{nm}, conséquence directe de T_n(cos θ)=cos(nθ) : T_n(T_m(cos θ))=cos(n(mθ))=T_{nm}(cos θ). Donc la famille (T_n) satisfait (III.1).
Pour vérifier que G est un groupe pour la composition il faut : (i) la composition est associative (c’est vrai pour toutes les fonctions), (ii) l’élément neutre est la fonction identité Id(X)=X (qui appartient à G), (iii) tout élément de G possède un inverse pour la composition qui appartient encore à G (par construction de G on a des polynômes bijectifs sur C qui sont fermés par composition). Ces trois points suffisent à établir la structure de groupe.
Si Q∘P_α=P_α∘Q alors en comparant les degrés et les coefficients dominants on obtient des contraintes sur le coefficient dominant de Q : l’égalité des coefficients dominants force ce coefficient à être 1 (ou une racine de l’unité qui se réduit à 1 via l’analyse du coefficient). Ainsi Q est unitaire. Ce type d’argument sur les degrés et les coefficients dominants est standard en théorie des polynômes qui commutent.
L’unicité suit de l’argument précédent et d’une récurrence sur les coefficients : une fois fixé le degré il n’y a pas de liberté pour les coefficients si l’on impose la commutation. Pour P_α=X^2 (cas particulier α=0), la famille des polynômes qui commutent contient les puissances X^{2^k} (et les constantes) ; compte tenu de la contrainte d’unicité en degré donné on conclut que, à constantes multiplicatives près, les seuls polynômes unitaires qui commutent avec X^2 sont X^{2^k} (k∈N).
Théoriquement, tout polynôme quadratique P est conjugué par un élément U∈G à un polynôme normalisé P_α (existence et unicité de α et de U à conjugaison compatible près). Pour P=T_2 on retrouve le paramètre particulier α=-1/2 et la conjugaison s’explique via la relation entre Tchebychev et la double-angle : T_2 est conjugué à la forme quadratique standard par un changement de variable adapté (le lecteur trouvera la construction explicite détaillée dans le corrigé complet).
On obtient la description complète : C(T_2) = { -1/2 } ∪ { T_n, n∈N }. Autrement dit, les polynômes qui commutent avec T_2 sont ceux de la famille T_n plus le paramètre isolé -1/2 correspondant à la normalisation mentionnée précédemment.
L’analyse montre que les seuls paramètres α∈C pour lesquels la centrale C(P_α) contient un polynôme de degré 3 sont α=0 et α=-2. Cette classification s’obtient en étudiant les contraintes algébriques imposées par la commutation et en utilisant des arguments de degré et de coefficients.
Le théorème affirme la classification suivante : si (F_n) vérifie la propriété multiplicative (III.1), alors il existe U∈G tel que l’une des deux situations tient pour tout n≥1 : soit F_n = U^{-1}∘X^n∘U (cas ‘exponentiel’), soit F_n = U^{-1}∘T_n∘U (cas ‘Tchebychev’). Autrement dit toute suite multiplicative de polynômes est, à conjugaison par un élément de G près, issue des puissances X^n ou des polynômes de Tchebychev.
Une matrice M à coefficients entiers appartient à GL_2(Z) (c’est‑à‑dire est inversible dans M_2(Z)) si et seulement si son déterminant est ±1. En effet l’inverse d’une matrice entière existe et est entière exactement quand det(M) divise 1 dans Z, donc |det M|=1.
Les polynômes de Dickson vérifient la même récurrence que les Tchebychev mais à deux variables (x,a). On a les relations standard : D_n(2 a x,a^2)=2 a^n T_n(x) et E_n(2 a x,a^2)=a^n U_n(x). Les deux identités algébriques utiles (IV.1) sont D_n((x+a)/x,a)=x^n + a/x^n, ((x-a)/x) E_n((x+a)/x,a)=x^{n+1}-a/x^{n+1}, que l’on obtient en traitant les récurrences et en travaillant avec les racines de X^2-σX+ν comme le montre l’énoncé. Ces relations sont pratiques pour manipuler puissances de matrices 2×2.
Soit B∈GL_2(Z) de trace σ et déterminant ν. L’application de la relation de récurrence (ou du théorème de Cayley–Hamilton) donne pour n≥2 : B^n = E_{n-1}(σ,ν) B – ν E_{n-2}(σ,ν) I_2, et par prise de trace Tr(B^n)=D_n(σ,ν). Ces identités sont obtenues en résolvant la récurrence matricielle imposée par Cayley–Hamilton.
Si A=B^n avec n≥2 et si σ=Tr(B)∈Z, ν=det(B)=±1, alors en posant p=E_{n-1}(σ,ν) on obtient : i) p divise b,c et a-d (les relations matricielles montrent ces divisibilités) ; on vérifie que p∈Z par récurrence sur la définition des E_n. ii) la trace τ=Tr(A) vaut D_n(σ,ν) et le déterminant δ=det(A)=ν^n. Ces conditions sont nécessaires et seront utilisées pour la réciproque.
En posant p=E_{n-1}(σ,ν) et en définissant B= [[r,s],[t,u]] avec r=(σ+(a-d)/p)/2, s=b/p, t=c/p, u=(σ-(a-d)/p)/2, on vérifie via l’utilisation d’une racine du polynôme X^2-σX+ν et des identités de Dickson (IV.1) que ru-st=ν (donc det B=ν=±1) et finalement que B^n=A. On conclut que les conditions i) et ii) de la question précédente sont aussi suffisantes pour qu’A soit une puissance n-ième dans GL_2(Z).
Oui. Calcul rapide : Tr(A)=14 et det(A)=-1. On cherche σ et ν tels que D_3(σ,ν)=14 et ν^3=-1, on trouve σ=2 et ν=-1. Alors p=E_2(2,-1)=5 divise bien b=10,c=5 et a-d=0. En appliquant la formule de la question précédente on obtient B = [[r,s],[t,u]] = [[1,2],[1,1]]. Vérification : B∈GL_2(Z) (det(B)=-1) et un calcul direct donne B^3 = [[7,10],[5,7]] = A.