Questions du sujet
1. Démontrer qu’une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est orthodiagonalisable si et seulement si elle est symétrique.
2. En observant la première et la dernière colonne de $A_1$, déterminer un vecteur propre de $A_1$ et la valeur propre $\lambda_1$ associée.
3. Déterminer le sous-espace propre de $A_1$ associé à la valeur propre $\lambda_1$ et en déduire le spectre de $A_1$.
4. Orthodiagonaliser $A_1$.
5. Montrer que l’application $\varphi : (P, Q) \mapsto \varphi(P, Q) = \int_0^1 P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t$ définit un produit scalaire sur $\mathbb{R}_{n-1}[X]$.}
6. Écrire la matrice $H$ de ce produit scalaire dans la base canonique de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$, c’est-à-dire la matrice de terme général $h_{i,j} = \varphi(X^i, X^j)$ où les indices $i$ et $j$ varient entre $0$ et $n-1$.
7. Soit $U \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$. Exprimer le produit $U^\top H U$ à l’aide de $\varphi$ et des coefficients de $U$.
8. Montrer que $H$ appartient à $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et que ses valeurs propres sont strictement positives.
9. Montrer que, si $A$ est nilpotente, c’est-à-dire qu’il existe $p \in \mathbb{N}^\ast$ tel que $A^p = 0_n$, alors le rayon spectral de $A$ est nul.
10. On note $C = \{ U \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\, |\, U^\top U = 1 \}$. Démontrer que $C$ est une partie fermée de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$.}
11. En déduire que l’application $U \mapsto |U^\top A U|$ admet un maximum sur $C$.
12. Montrer que $\rho(A) \leq \max_{U \in C} |U^\top A U|$.
13. Démontrer que $\rho(A) = \max_{U \in C} |U^\top A U|$.
14. On suppose de plus que les valeurs propres de $A$ sont toutes positives. Montrer alors que $\rho(A) = \max_{U \in C} (U^\top A U)$.
15. Démontrer que l’application $\rho$ définit une norme sur $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$.}
16. Vérifier que $\Sigma_Y$ est une matrice symétrique, que
\[
\Sigma_Y = \mathbb{E}((Y – \mathbb{E}(Y))(Y – \mathbb{E}(Y))^\top)
\]
et que, si $U$ est un vecteur constant dans $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, alors $\Sigma_{Y+U} = \Sigma_Y$.
17. Soient $p \in \mathbb{N}^\ast$ et $M \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})$. On définit la variable aléatoire discrète $Z = MY$, à valeurs dans $\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{R})$. Justifier que $Z$ admet une espérance et exprimer $\mathbb{E}(Z)$ en fonction de $\mathbb{E}(Y)$. Montrer que $Z$ admet une matrice de covariance $\Sigma_Z$ et que $\Sigma_Z = M \Sigma_Y M^\top$.
18. Démontrer que $\Sigma_X$ est une matrice diagonale.
19. En déduire que les valeurs propres de $\Sigma_Y$ sont toutes positives.
20. Démontrer que la variance totale de $X$ est égale à celle de $Y$.}
21. Démontrer l’existence d’une variable aléatoire discrète $Z$ à valeurs dans $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ telle que $\Sigma_Z = D$.
22. Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ une matrice symétrique dont les valeurs propres sont positives. Démontrer l’existence d’une variable aléatoire discrète $Y$ à valeurs dans $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ telle que $\Sigma_Y = A$.
23. Dans $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, soit $U = \begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}$. On définit la variable aléatoire discrète $X = U^\top Y$. Montrer que $X$ admet une variance et que $\mathrm{Var}(X) = U^\top \Sigma_Y U$.
24. L’objectif de cette sous-partie est de montrer que $\mathbb{P}(Y – \mathbb{E}(Y) \in \mathrm{Im}\;\Sigma_Y) = 1$. On note $r$ le rang de la matrice de covariance de $Y$. Traiter le cas où $r = n$.
25. On suppose maintenant $r < n$. Démontrer que le noyau et l’image de $\Sigma_Y$ sont supplémentaires orthogonaux dans $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$.} 26. On note $d = \dim \ker \Sigma_Y$ et on considère une base orthonormée $(V_1, \ldots, V_d)$ de $\ker \Sigma_Y$. Démontrer que \[ \forall j \in \llbracket 1, d \rrbracket, \mathrm{Var}(V_j^\top (Y - \mathbb{E}(Y))) = 0. \] 27. En déduire que $\mathbb{P}(V_j^\top (Y - \mathbb{E}(Y)) = 0) = 1$. 28. Conclure. 29. Justifier l’existence d’un vecteur aléatoire dont $A_2$ est la matrice de covariance, où $A_2 = \mathrm{diag}(9,5,4)$. 30. Dans cette question uniquement, on suppose que $Y$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ telle que $\Sigma_Y = A_2$. Déterminer le maximum de $q_Y$ sur $C$.} 31. Dans le cas général, démontrer que la fonction $q_Y$ admet un maximum sur $C$. Préciser la valeur de ce maximum ainsi qu’un vecteur $U_0 \in C$ tel que \[ \max_{U \in C} \mathrm{Var}(U^\top Y) = \mathrm{Var}(U_0^\top Y). \] 32. On suppose, dans cette sous-partie III.C uniquement, que $\Sigma_Y$ vérifie \[ \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket,\; \sigma_{i,i} = \sigma^2 \quad \text{et} \quad \forall (i,j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2,\; i \neq j \Rightarrow \sigma_{i,j} = \sigma^2 \gamma \] où $\sigma$ et $\gamma$ sont deux réels strictement positifs. On note $J \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Démontrer que $\gamma \leq 1$ et exprimer $\Sigma_Y$ en fonction de $J$. 33. Déterminer les valeurs propres de $J$ et la dimension de chaque sous-espace propre associé. Déterminer également un vecteur propre associé à sa valeur propre de module maximal. 34. Préciser un vecteur $U_0$ unitaire tel que la variance de $Z = U_0^\top Y$ soit maximale. 35. Calculer le pourcentage de la variance totale représenté par $Z$, c’est-à-dire le rapport $\frac{\mathrm{Var}(Z)}{\mathrm{Var}_T(Y)}$.} 36. On suppose, dans cette dernière sous-partie, que $\Sigma_Y$ présente $n$ valeurs propres distinctes qu’on classe par ordre strictement décroissant $\lambda_1 > \dotsb > \lambda_n$. On se munit d’un vecteur $U_0$ tel que $\mathrm{Var}(U_0^\top Y) = \max_{U \in C} \mathrm{Var}(U^\top Y)$. On note $C’ = \left\{ U \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \mid U^\top U = 1 \text{ et } U_0^\top U = 0 \right\}$. Justifier que $q_Y$ admet un maximum sur $C’$.
37. Déterminer la valeur de ce maximum et préciser un vecteur $U_1 \in C’$ tel que
\[
\max_{U \in C’} \mathrm{Var}(U^\top Y) = \mathrm{Var}(U_1^\top Y).
\]
38. Calculer la covariance des variables aléatoires discrètes $U_0^\top Y$ et $U_1^\top Y$ (pour simplifier l’écriture, on pourra supposer $Y$ centrée, c’est-à-dire $\mathbb{E}(Y) = 0$).}