Centrale Maths 1 MP 2006

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Chapitres abordés : algèbre linéaire, équations différentielles, espaces préhilbertiens, Espaces vectoriels normés, Intégration, Séries entières, Séries numériques

Mots clés : asymptotique n^{-3/2} des coefficients, coefficients exponentiels de fourier, formule de parseval, rayon de convergence et fonction génératrice, récurrence matricielle et matrices de transfert

Corrigé de l’épreuve Centrale Mathématiques MP 2006

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Énoncé de l’épreuve Centrale Mathématiques MP 2006

💡 Si un sujet identique a été utilisé par le concours pour différentes filières, le sujet affiché ci-dessous peut-être celui d'une autre filière. Le contenu reste identique.

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Questions du sujet

1. I.A – Préciser sur un dessin la signification géométrique du paramètre intervenant dans le paramétrage (1). 2. I.B – Prouver rapidement que $S_r$ et $B_r$ sont des espaces vectoriels et préciser la dimension de $S_r$. 3. I.C – Donner sans démonstration l’énoncé précis du théorème de Parseval relatif à un élément $f \in C_{2\pi}$ (les coefficients de Fourier intervenant dans la formule seront les coefficients exponentiels).\\ Si $f$ et $g$ sont deux éléments de $C_{2\pi}$, prouver, en justifiant d’abord la convergence absolue de la série, la formule :\\ $(f|g) = c_0(f)c_0(g) + \sum_{n=1}^{\infty} [c_n(f)c_{-n}(g) + c_{-n}(f)c_n(g)]$. 4. I.D – Soit $n$ un entier naturel. Exprimer $a_n(f_r)$ à l’aide de $\alpha_n$. 5. I.E – Soient $a$ et $b$ deux réels vérifiant $a > b > 0$. On pose $r = \frac{a-b}{a+b}$.\\ Exprimer, en fonction de $a$, $b$ et de constantes, le réel $L_{a,b}$.} 6. II.A – Déterminer le rayon de convergence de la série entière de terme général $\alpha_n z^n$. On notera $f(z)$ sa somme dans le disque ouvert complexe de centre $0$ et de rayon $R$. 7. II.B – Soit $r$ un réel appartenant à l’intervalle ouvert $]0,1[$. Donner une relation entre $f(r)$ et $L_{a,b}$. En déduire une expression simple de la restriction de $f$ à l’intervalle ouvert $]0,R[$. 8. II.C – On choisit maintenant un complexe $z$ tel que $|z| N, \; u_n – l \leq k(u_{n-1} – l) + \epsilon_n$.\\ Montrer que $\lim_{n\to\infty} u_n = l$. 15. III.D – Prouver que :\\ $\lim_{n\to\infty} A_n(r) a_n = a_0 f_r(1-r^2)^{-1}$\\ Que dire de la suite de terme général $B_n(r)a_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini ?} 16. III.E – Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a > b > 0$. On pose $r = \frac{a-b}{a+b}$.\\ À l’aide des questions II.E et III.D, démontrer que la suite définie par\\ $\ell_0(\pi (a+b)(1-r^2)^{-3/2})$ converge vers $L_{a,b}$. 17. IV.A – Soit un élément $(a_n)_{n\geq 0}$ de $S_r$. Prouver l’égalité :\\ $a_1A_n – a_0B_n – a_{n+1} = \det M_n$. 18. IV.B – Calculer $\det T_n$ puis $\det M_n$. Donner un équivalent de $\det M_n$. 19. IV.C – Préciser la dimension et une base de $B_r$. Soit un élément $(a_n)_{n\geq 0}$ de $S_r$ qui n’appartient pas à $B_r$. Déterminer un équivalent simple de $a_n$ lorsque $n\to \infty$.}

FAQ

Quelles notions essentielles de séries de Fourier dois-tu maîtriser pour le concours Centrale MP 2006 ?

Le sujet aborde plusieurs aspects fondamentaux des séries de Fourier, comme l’expression et l’interprétation géométrique des coefficients de Fourier (coefficients exponentiels), le théorème de Parseval, la convergence absolue des séries et l’interprétation des identités d’intégration. Tu dois aussi savoir relier ces outils à des applications analytiques, notamment à l’étude de certaines fonctions dans $C_{2\pi}$. Toutes ces notions sont des indispensables du programme MP et te seront utiles pour d’autres concours d’écoles d’ingénieurs.

Quelle est l’importance des espaces vectoriels et de leur dimension en analyse, d’après ce sujet ?

L’identification des espaces vectoriels $S_r$ et $B_r$, la détermination de leur dimension et la description de leurs bases sont cruciales pour comprendre la structure des suites et fonctions utilisées dans tout problème d’analyse. Savoir justifier que ces ensembles sont des espaces vectoriels et calculer leur dimension t’aidera à mieux manipuler séries, fonctions et suites récurrentes, tout en reliant ces notions à l’algèbre linéaire avancée. Ces techniques sont autant d’armes indispensables pour briller sur ce type d’épreuve.

Comment aborder la résolution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre en lien avec les séries et suites de Fourier ?

Repérer la structure d’une équation différentielle linéaire dans le contexte des séries de Fourier est une aptitude-clé : elle permet d’obtenir des informations précieuses sur les solutions et sur l’évolution des coefficients dans les suites définies par récurrence. Pour la filière MP, comprendre le lien suites/récurence/équation différentielle montre une solide maîtrise de l’outil analytique. Avec Prépa Booster, tu peux débloquer corrigés détaillés et exercices pour t’entraîner plus efficacement sur ce thème !

Pourquoi l’étude du rayon de convergence d’une série entière est-elle incontournable en analyse complexe et dans ce concours ?

Le rayon de convergence d’une série entière permet de savoir dans quelle région du plan complexe la série (et donc la fonction qu’elle définit) est bien définie et utilisable. Cela a un impact direct sur l’analyse des propriétés de la fonction, sur la manipulation d’identités et même sur l’étude des problèmes d’intégration complexe. Cette question est classique dans toutes les épreuves MP, car elle fait appel à la rigueur et à la précision analytique exigées en CPGE scientifique.

À quoi servent les suites définies par relations de récurrence et les matrices dans ce problème ?

Les suites récurrentes et les matrices associées (notamment utilisées ici via $A_n(r)$, $B_n(r)$ et $M_n(r)$) sont un puissant outil d’analyse pour résoudre des équations linéaires, exprimer les solutions en fonction des conditions initiales, et travailler sur les équivalents pour $n$ grand. La structure matricielle permet également d’automatiser les calculs avec des fonctions en Python ou autre langage de calcul formel, ce qui fait le pont entre algèbre et analyse. Une véritable compétence transversale pour les concours scientifiques !

Comment les résultats d’équivalents asymptotiques te servent-ils dans la compréhension des séries de Fourier ?

Les équivalents asymptotiques, par exemple pour $a_n(f_r)$ lorsque $n$ tend vers l’infini, donnent une image précise du comportement à long terme des coefficients de Fourier. Ces résultats permettent d’interpréter la convergence des séries, leur rapidité, et la régularité des fonctions approchées. Mieux comprendre ces notions t’aide à anticiper la difficulté des questions d’estimation ou de majorations, très prisées à Centrale et dans d’autres grandes écoles !

Pourquoi est-il utile de savoir programmer les questions de calcul formel données dans ce type de sujet ?

Savoir transformer des récurrences mathématiques en fonctions informatiques (en Python ou autre) te permet d’automatiser la production de termes, de tester la validité de formules ou d’explorer la structure des suites et matrices. C’est une compétence de plus en plus valorisée dans les concours, et elle te donnera de l’aisance pour la modélisation, la simulation ou même la vérification de tes calculs aux oraux et dans la vie professionnelle.

Comment s’entraîner sur ces notions pour réussir à l’écrit comme à l’oral du concours Centrale MP ?

Pour devenir efficace, alterne l’entraînement sur des sujets de concours corrigés, comme celui de 2006 ici, et sur des exercices de rédaction rapide de preuve. Travaille les questions d’applications directes du cours, mais aussi celles obligeant à mobiliser plusieurs techniques (analyse, algèbre, méthodes numériques). Débloque l’accès au corrigé sur Prépa Booster pour avoir des explications détaillées, des astuces et ton tableau de bord personnalisé, idéal pour progresser !