Questions du sujet
1. I.1. Calculer la matrice $M^2$. 2. I.2. Exprimer la matrice $M^2 + M$ en fonction des matrices $J_5$ et $I_5$. 3. I.3. Exprimer la matrice $J_5^2$ en fonction de la matrice $J_5$. 4. I.4. Déduire des questions précédentes un polynôme annulateur de $M$. 5. I.5. Quelles sont les valeurs propres possibles de la matrice $M$ ?} 6. I.6. Montrer que $M$ possède une valeur propre entière (et une seule) ; déterminer cette valeur propre entière ainsi que le sous-espace propre associé. 7. II.1.1. Pour $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$, calculer les coefficients $a_{i,i}$. 8. II.1.2. Pour $(i,j)\in \llbracket 1,n \rrbracket^2$ avec $i\neq j$, déterminer le coefficient $a_{i,j}$ selon la valeur de $m_{i,j}$. 9. II.1.3. Montrer que $M^2 = nJ_n – dI_n + M$ où $d$ est un nombre entier que l’on déterminera. 10. II.2.1. Déterminer $\operatorname{Im}(\varphi)$, l’image de l’application linéaire $\varphi$.} 11. II.2.2. Soit $u$ un vecteur du noyau de $f – \delta\,\mathrm{id}$. En calculant $f(f(u))$, montrer que $u$ est colinéaire à $v$. 12. II.2.3. Montrer que $\delta$ est une valeur propre de $f$ et déterminer le sous-espace propre correspondant. 13. II.2.4. Déduire des questions précédentes l’égalité $\delta^2 = n+1$. 14. II.3.1. Justifier l’affirmation : il existe une base de $\mathbb{R}^n$ formée de vecteurs propres de $f$. 15. II.3.2. Justifier l’égalité $\sum_{i=1}^n x_i = 0$. Que vaut $\varphi(u)$ ?} 16. II.3.3. Montrer que $\lambda$ est racine de l’équation $(E): x^2 + \delta x -1 = 0$. 17. II.3.4. On note $a$ et $b$ les deux racines de l’équation (E). On suppose qu’une seule de ces racines est valeur propre de $f$, par exemple $a$. En utilisant la trace de l’endomorphisme $f$, exprimer $a$ en fonction de $\delta$. En déduire une impossibilité. 18. II.4.1. Exprimer $(a-b)^2$ en fonction de $\delta$. 19. II.4.2. Exprimer le produit matriciel $\begin{pmatrix} r \\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ \delta \end{pmatrix}$ en fonction de $\delta$. 20. II.4.3. En déduire $(r s)(a-b)$ en fonction de $\delta$.} 21. II.4.4. Pour quelle valeur de $\delta$ a-t-on $r=s$ ? Que valent alors $r$ et $s$ ? 22. II.5.1. Montrer que $r=s$. En déduire $\delta$ et $n$. 23. II.5.2. Déterminer $a$ et $b$ et donner une matrice diagonale semblable à $M$. 24. II.6.1. On écrit $a-b = \frac{m}{q}$ avec $m$ et $q$ dans $\mathbb{N}^*$. Montrer que tout nombre premier qui divise $q$ divise $m$. En déduire que $a-b \in \mathbb{N}$. 25. II.6.2. Montrer que $a-b$ est un entier impair supérieur ou égal à 3. En notant $a-b=2p+1$ avec $p\in\mathbb{N}^*$, exprimer $\delta$ en fonction de $p$. En déduire $a$ et $b$ en fonction de $p$.} 26. II.6.3. On note $c= a-b$. Montrer que $c$ divise $(c^2+3c-5)$. En déduire que $c\in\{3,5,15\}$. 27. II.6.4. Pour les différentes valeurs de $c$, donner le tableau des valeurs de $a, b, r, s, \delta, n$. 28. III.1. Justifier que l’on définit ainsi 10 vecteurs $u_i$. 29. III.2. Soit $\psi$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^5$ qui réalise une bijection de la base $B$ sur elle-même. Montrer que pour tout $(i,j) \in \llbracket 1,10\rrbracket^2$, on a $(u_i|u_j) = (\psi(u_i)|\psi(u_j))$. 30. III.3.1. Pour $i \in \llbracket 1,10\rrbracket$, calculer $(u_i|u_i)$.} 31. III.3.2. On suppose que $u_i = e_\alpha + e_\beta$ et que $u_j = e_\alpha + e_\gamma$ avec $\beta \neq \gamma$. Calculer $(u_i|u_j)$. 32. III.3.3. On suppose que $u_i = e_\alpha + e_\beta$ et que $u_j = e_\gamma + e_\epsilon$ avec les quatre indices $\alpha, \beta, \gamma, \epsilon$ tous différents. Calculer $(u_i|u_j)$. 33. III.4.1. Écrire une combinaison linéaire $M$ de $A$, $I_{10}$ et $J_{10}$ susceptible de vérifier la propriété $(P)$ définie dans la partie II. 34. III.4.2. Justifier que cette matrice $M$ vérifie la propriété $(P)$.}FAQ
Tu vas travailler sur des matrices carrées, notamment avec des calculs de puissances, l’utilisation de la matrice identité I_n et de la matrice tout-un J_n. Le sujet te fait manipuler des polynômes annulateurs, des valeurs propres et des sous-espaces propres, ainsi que la diagonalisation et le lien avec la trace d’une matrice. Ces outils sont essentiels pour maitriser l’algèbre linéaire en prépa scientifique.
Pour être assuré au concours, maîtrise bien la définition des valeurs propres, la caractérisation des sous-espaces propres et les méthodes pour les déterminer. Pense aussi à relier les propriétés spectrales à l’existence d’une base de vecteurs propres (cas de la diagonalisation). Tes calculs doivent toujours s’appuyer sur des raisonnements propres à l’algèbre linéaire. Besoin d’aller plus loin sur ce genre de raisonnement ? N’hésite pas à débloquer les corrigés et les fiches de Prépa Booster.
La matrice tout-un J_n est très utile car elle permet de simplifier les calculs en regroupant certains termes lorsque tu travailles sur des matrices à coefficients constants. Elle intervient souvent dans les questions de polynômes annulateurs ou de diagonalisation, et permet d’illustrer des techniques de réduction ou de décomposition matricielle. Retrouve son usage détaillé dans les corrigés accessibles après déblocage sur Prépa Booster.
Parce qu’ils permettent, sans avoir accès à toute la structure de la matrice, de deviner des informations sur les puissances des matrices, les valeurs propres, ou encore la diagonalisabilité. Savoir exploiter un polynôme annulateur, c’est l’assurance d’aller vite et bien dans tes preuves au concours, notamment lors des questions portant sur le calcul matriciel ou la résolution d’équations fonctionnelles matricielles.
Comprendre la diagonalisation, c’est se donner les moyens de simplifier énormément les calculs, d’interpréter clairement les valeurs propres, et d’accéder rapidement aux puissances de la matrice. Dans ce sujet, on voit bien comment la question de la base de vecteurs propres ou l’expression des matrices sous forme diagonale permet d’aller jusqu’au bout de la réflexion mathématique exigée en concours.
Ces deux notions sont incontournables pour comprendre la structure d’un endomorphisme. Savoir déterminer l’image (Im) et le noyau (Ker) d’une application linéaire te permet de répondre à des questions de rang, de dimension, et d’interpréter les solutions des systèmes associés aux matrices. C’est incontournable pour réussir sur des sujets aussi exigeants qu’au CCINP PSI.
La trace joue le rôle de somme des valeurs propres (en tenant compte des multiplicités). Dans pas mal de questions du sujet, tu exploites la trace pour trouver une information globale sur la famille des valeurs propres ou pour établir des égalités très puissantes qui simplifient la résolution, surtout quand la matrice n’est pas explicitée entièrement.
Elle intervient dès qu’il s’agit de caractériser les sous-espaces propres ou de montrer que tous les éléments d’un noyau sont multiples d’un même vecteur non nul, par exemple. La colinéarité te permet d’identifier la dimension des sous-espaces propres, de comprendre les liens de dépendance, et d’argumenter efficacement pour de nombreuses démonstrations.
Fais attention à ne pas confondre système complet de valeurs propres et diagonalisation effective : il faut autant de vecteurs propres linéairement indépendants que la dimension de l’espace. Parfois, des valeurs propres sont évidentes, mais le calcul du sous-espace propre nécessite une analyse précise des équations associées. Vérifie toujours la dimension, la somme et le produit des valeurs propres.
Sois rigoureux sur l’application de la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire, que ce soit sur des vecteurs canoniques ou des combinaisons linéaires de ceux-ci. Réfléchis à la structure de la famille de vecteurs et exploite la décomposition pour simplifier au maximum les calculs. Pour maîtriser ces techniques et gagner en rapidité, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster !