Questions du sujet
1. Représenter graphiquement la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$, puis déterminer la série de Fourier de la fonction $f$. 2. Justifier l’existence des sommes suivantes et utiliser la question précédente, en énonçant les théorèmes utilisés, pour donner leur valeur :\\ (a) $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k + 1}$ \hspace{1cm} (b) $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k + 1)^2}$. 3. On considère la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$. Calculer le polynôme caractéristique de la matrice $A$ et en déduire que la matrice $B = A – 2I_2$ est nilpotente.\\ En utilisant sans démonstration l’égalité $e^{tA} = e^{2t} e^{t(A-2I_2)}$, valable pour tout réel $t$, donner l’expression de la matrice $e^{tA}$. 4. En utilisant ce qui précède, ou à l’aide de toute autre méthode, trouver la solution du système différentiel vérifiant $\begin{pmatrix} x(0) \\ y(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. 5. Justifier, pour tout réel $x \in ]-1, 1[$, l’existence de $\sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1}$ et donner sa valeur.} 6. On rappelle que la fonction $\Gamma$ est définie pour tout réel $x \in ]0, +\infty[$ par :\\ $\displaystyle \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$.\\ Démontrer que pour tout réel $x \in ]0, +\infty[$, $\Gamma(x + 1) = x\Gamma(x)$ et en déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, la valeur de $\Gamma(n)$. 7. Démontrer la formule de Taylor avec reste de Laplace (ou reste intégral) :\\ si $I$ est un intervalle contenant le réel $a$, si $f$ est une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $I$, alors pour tout réel $x \in I$ et pour tout entier naturel $n$, on a : \[ f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{(x – a)^k}{k!} f^{(k)}(a) + \int_a^x \frac{(x – t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)dt. \] 8. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(0) = 1$ et pour tout réel $x \neq 0$, $f(x) = \frac{\sin x}{x}$.\\ Démontrer que la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$. 9. Expliciter une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur un voisinage de $0$ et vérifiant, pour tout entier naturel $n$, l’égalité $f^{(n)}(0) = n \cdot n!$ 10. Soit $f$ une fonction développable en série entière sur $]-R, R[$ avec $R > 1$ :\\ $\forall x \in ]-R, R[, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n.$\\ On suppose, que pour tout entier naturel $n$, $\int_0^1 x^n f(x)dx = 0.$\\ L’objectif de cette question est de montrer que $f$ est identiquement nulle sur $]-R, R[$. \begin{enumerate} \item[(a)] Démontrer que la série $\sum_{n\geq0} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$ converge normalement sur l’intervalle $[0, 1]$. \item[(b)] À l’aide du calcul de $\int_0^1 (f(x))^2 dx$, démontrer que la fonction $f$ est nulle sur l’intervalle $[0,1]$. \item[(c)] Démontrer que $f$ est la fonction nulle sur l’intervalle $]-R, R[$. \end{enumerate} } 11. Donner un exemple de fonction $f$ à la fois de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur un intervalle $I$ et développable en série entière au voisinage de l’origine, mais qui ne coïncide pas avec sa série de Taylor en $0$ sur $I$ tout entier. 12. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :\\ pour tout réel $x \neq 0,\quad f(x) = \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)$ et $f(0) = 0$. \begin{enumerate} \item[(a)] Donner, à l’aide de la calculatrice (sans étude), l’allure de la courbe de la fonction $f$. \item[(b)] Par les théorèmes généraux, la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]0, +\infty[$.\\ Démontrer que pour tout entier naturel $n$, il existe un polynôme $P_n$ tel que, pour tout $x\in]0,+\infty[$, \[ f^{(n)}(x) = \frac{P_n(x)}{x^{3n}} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right). \] \item[(c)] Démontrer que la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $[0,+\infty[$ avec pour tout entier naturel $n$, $f^{(n)}(0)=0$.\\ Par parité, la fonction $f$ ainsi définie est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$. \item[(d)] La fonction $f$ est-elle développable en série entière sur un intervalle $]-r,r[$~? \end{enumerate} 13. Pour tout $x$ réel, on pose : $f(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{1+t x^2}dt$. \begin{enumerate} \item[(a)] Justifier que, pour tout réel $x$, la fonction $t \mapsto \frac{e^{-t}}{1 + t x^2}$ est bien intégrable sur $[0, +\infty[$, puis démontrer que la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur~$\mathbb{R}$.\\ On admettra que la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ et que l’on obtient les dérivées successives en dérivant sous le signe intégrale. \item[(b)] Pour $t \in ]0, +\infty[$, calculer, au moyen d’une série entière, les dérivées successives en zéro de la fonction $x \mapsto \frac{e^{-t}}{1+t x^2}$ pour en déduire l’expression de $f^{(n)}(0)$ pour tout entier naturel $n$. \item[(c)] Quel est le rayon de la série entière $\sum_{n \geq 0} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$ ? La fonction $f$ est-elle développable en série entière à l’origine ? \end{enumerate} 14. Soient $a$ un réel strictement positif et $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur l’intervalle $] – a, a[$.\\ On suppose qu’il existe un réel $M > 0$ tel que, pour tout réel $x \in ]-a, a[$ et pour tout entier naturel $n$, $|f^{(n)}(x)| \leq M$. \begin{enumerate} \item[(a)] Démontrer que la fonction $f$ est développable en série entière au voisinage de l’origine. \item[(b)] Donner un exemple simple de fonction pour laquelle ce résultat s’applique. \end{enumerate} }FAQ
La série de Fourier permet de décomposer une fonction périodique en une somme de fonctions trigonométriques simples, ce qui aide à étudier la structure fine de la fonction, à résoudre des équations différentielles et à modéliser de nombreux phénomènes physiques. Dans l’épreuve de mathématiques du concours CCINP en filière MPI, tu croiseras souvent cette notion car elle est essentielle en analyse, mais aussi pour ses applications variées en sciences. Maîtriser la théorie, son écriture concrète et savoir l’utiliser pour des calculs de sommes ou des démonstrations est donc incontournable pour réussir.
La fonction Gamma généralise la notion de factorielle et intervient dans de nombreuses formules d’analyse et de probabilités. Lorsqu’une question porte sur la fonction Gamma ou sur une intégrale du type ∫₀⁺∞ t^{x-1} e^{-t} dt, commence toujours par t’assurer de la convergence de l’intégrale puis utilise l’intégration par parties ou les propriétés connues : Gamma(x + 1) = x·Gamma(x), par exemple. Ce genre de questions teste à la fois ta rigueur de raisonnement et ta connaissance des méthodes classiques, mais aussi ta vision globale de l’analyse. Pour t’entraîner sur ces manipulations, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster : tu auras sous la main toutes les méthodes types et modèles de rédaction attendus !
Les systèmes différentiels linéaires font le lien entre analyse et algèbre linéaire, deux piliers de la prépa scientifique. Les concours aiment proposer des matrices ayant des propriétés particulières (nilpotence, diagonalisabilité, etc.) car cela oblige à manipuler à la fois la théorie (valeurs propres, exponentielle de matrice) et des calculs précis. Savoir calculer e^{tA}, résoudre un système vectoriel, interpréter la solution selon les conditions initiales… tout cela montre ta maîtrise du raisonnement et la capacité à lier différentes parties du programme. Prends le temps de comprendre les méthodes de résolution (changement de base, calcul direct…) et consulte les corrigés détaillés pour aller plus loin.
Être de classe 𝒞∞ signifie que la fonction possède toutes ses dérivées d’ordre quelconque. Mais, attention, cela ne veut PAS dire automatiquement que la fonction est développable en série entière ! Un contre-exemple classique (souvent donné en concours pour piéger) est la fonction nulle en 0 et “flattée” ailleurs, qui est 𝒞∞ partout mais qui n’est développable que sur un sous-ensemble réduit, voire jamais. Cette distinction est centrale : n’oublie jamais de démontrer la convergence du développement en série entière, même si la fonction est 𝒞∞. Un rappel indispensable, surtout quand les sujets explorent ce thème subtil.
La formule de Taylor avec le reste intégral (ou reste de Laplace) est précieuse pour majorer les erreurs d’approximation d’une fonction par son polynôme de Taylor et prouver des résultats d’annulation ou d’unicité (comme dans la question 10 du sujet). Pour assurer des rédactions irréprochables, pense à bien justifier chaque étape : existence des dérivées, intégrabilité du reste, convergence… et exploite la formule pour encadrer un écart ou démontrer la nullité d’une fonction. Maîtriser cette formule, c’est augmenter tes chances le jour J car elle intervient très souvent dans les démonstrations attendues en analyse avancée.
Bien sûr ! La manipulation des séries, surtout à termes généralisés comme dans le cas des séries puissances, est incontournable en CCINP. Plus que trouver leur rayon de convergence, il s’agit de savoir écrire proprement la sommation, utiliser les critères de convergence, connaître les méthodes de prolongement analytique et, parfois, déduire des propriétés globales d’une fonction via sa série. Ces compétences sont très souvent sollicitées sur ce type d’épreuve. Pour t’assurer de tout maîtriser, va jeter un œil aux exercices corrigés disponibles après déblocage sur Prépa Booster.
Les intégrales à paramètre sont prisées car elles mettent à l’épreuve ta capacité à justifier la validité de certains passages (comme la dérivation sous le signe intégral), la manipulation des séries et l’analyse de convergence uniforme. Savoir poser le problème, appliquer les théorèmes d’échanges d’intégrale et de somme, puis faire le lien avec la différentiabilité de la fonction obtenue, c’est montrer que tu as une vision experte des outils d’analyse moderne. C’est précisément ce qu’attendent les correcteurs et que tu pourras travailler en détail dans les corrigés complets sur Prépa Booster.
Oui, un point clé est d’utiliser à la fois le développement en série entière de la fonction et l’orthogonalité des monômes sur un intervalle : si tous les moments \( \int_0^1 x^n f(x) dx = 0 \) pour tout n, alors la fonction est nulle. La démarche type : écrire f comme série entière, permuter somme et intégrale (en vérifiant la convergence), puis en conclure que le carré \( \int_0^1 (f(x))^2 dx \) est nul, ce qui prouve l’identité nulle sur l’intervalle. Savoir orchestrer ces étapes fait toute la différence !
Oui, et plus souvent qu’on ne le pense ! La frontière entre simple régularité (𝒞∞) et développabilité réelle en série entière, la fameuse question des fonctions plates (nulles à tous les ordres en 0) mais non analytiques, ou des exemples canoniques comme \( f(x) = \exp(-1/x^2) \), sont classiques. Cela t’entraîne à différencier les concepts et justifier finement chaque propriété. D’où l’intérêt de manipuler de nombreux exercices corrigés variés et de t’auto-évaluer sur un dashboard personnalisé, comme proposé sur Prépa Booster.
Débloquer les corrigés sur Prépa Booster te permet d’accéder à des solutions détaillées, point par point, adaptées spécifiquement au programme et aux exigences du concours CCINP MPI. Tu gagnes en autonomie, tu vois comment structurer ta rédaction, anticiper les pièges courants, et tu as sous la main des exercices types pour t’entraîner efficacement. En plus, tu peux suivre ta progression grâce au dashboard personnalisé : un vrai plus pour booster tes chances le jour J !