Questions du sujet
1. Montrer que les deux séries suivantes sont convergentes puis calculer leur somme. a. \(\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\). b. \(\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n(n-1)!}\). 2. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) de la façon suivante : \(f\) est une fonction périodique de période \(2\pi\), \(f\) est une fonction paire et pour tout \(x \in [0, \pi]\), \(f(x) = x\). \begin{itemize} \item[a.] Déterminer la série de Fourier de la fonction \(f\). \item[b.] En déduire, avec soin, les réels : \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}\), \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\) et \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}\). \item[c.] Déterminer, en énonçant le théorème utilisé, le réel : \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}\). \end{itemize} 3. Soit \(A\) une partie de \(\mathbb{R}\). Montrer que \(A\) est bornée si et seulement si son adhérence \(\overline{A}\) est une partie compacte de \(\mathbb{R}\). 4. Quelques exemples \\ a. On note \(u\) la fonction paire définie sur \(\mathbb{R}\) par \(u(x) = 4 – x^2\) si \(x \in [0,2]\) et \(u(x) = 0\) si \(x > 2\).\\ Représenter la fonction \(u\) et déterminer son support. La fonction \(u\) est-elle à support compact ? La fonction \(u\) est-elle une fonction test ?\\ b. La fonction sinus est-elle une fonction test ? 5. Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=e^{-1/x}\) si \(x > 0\) et \(h(x)=0\) si \(x \leq 0\). \begin{itemize} \item[a.] La fonction \(h\) est, d’après les théorèmes généraux, de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(]0,+\infty[\). Montrer que pour tout entier naturel \(k\), il existe un polynôme \(P_k\) dont on précisera le degré tel que pour tout réel \(x\) strictement positif, \[ h^{(k)}(x) = P_k\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x}. \] En déduire que \(h\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\). \item[b.] La fonction \(h\) est-elle une fonction test ? \(h\) est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ? \end{itemize}} 6. On définit sur \(\mathbb{R}\) la fonction \(\varphi\) par \(\varphi(x) = h(x)(1-h(x-1))\). \begin{itemize} \item[a.] Déterminer le support de \(\varphi\) puis justifier que c’est une fonction test. Déterminer les variations de \(\varphi\) puis tracer l’allure de sa courbe. \item[b.] Déterminer une fonction test dont le support est \([3,8]\) puis une fonction test dont le support est \([1,2] \cup [5,6]\). \end{itemize} 7. Déterminer les limites en \(+\infty\) et \(-\infty\) d’une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) à support compact. 8. Construction d’une suite régularisante\\ a. Justifier que la fonction \(\varphi\) de la question 4. est intégrable sur \(\mathbb{R}\) et que \(\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(t)dt > 0\). En déduire l’expression d’une fonction test \(\rho\) positive, de support \([−1,1]\), intégrable sur \(\mathbb{R}\) et telle que \(\int_{-\infty}^{+\infty} \rho(t)dt=1\). Pour tout entier naturel non nul \(n\), on définit sur \(\mathbb{R}\) la fonction \(\rho_n\) par \(\rho_n(x) = n\rho(nx)\). La suite de fonctions \((\rho_n)_n\) est appelée suite régularisante.\\ b. Pour tout entier naturel non nul \(n\), déterminer le support de \(\rho_n\) et calculer \(\int_{-\infty}^{+\infty} \rho_n(t)dt\). 9. L’approximation polynomiale ne convient plus\\ Soit \((P_n)\) une suite de fonctions polynômes qui converge uniformément sur \(\mathbb{R}\) vers une fonction \(f\). \begin{itemize} \item[a.] Justifier qu’il existe un entier naturel \(N\) tel que pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(N\), on ait pour tout réel \(x\), \(|P_n(x) – P_{n-1}(x)| \leq 1\). Que peut-on en déduire quant au degré des fonctions polynômes \(P_n – P_{n-1}\) lorsque \(n \geq N\) ? \item[b.] Conclure que \(f\) est nécessairement une fonction polynôme. \end{itemize} 10. Approximation d’une fonction continue nulle à l’infini par une suite de fonctions continues à support compact\\ Pour tout entier naturel \(n\), on définit sur \(\mathbb{R}\), la fonction paire \(z_n\) par \(z_n(x)=1\) si \(x\in[0,n[\), \(z_n(x)=n+1-x\) si \(x\in[n,n+1[\) et \(z_n(x)=0\) si \(x\in[n+1,+\infty[\). \begin{itemize} \item[a.] Représenter graphiquement la fonction \(z_n\). Déterminer la limite simple de la suite de fonctions \((z_n)_n\). La convergence est-elle uniforme sur \(\mathbb{R}\) ? \item[b.] Soit \(g\) une fonction continue sur \(\mathbb{R}\), nulle à l’infini. Démontrer que la fonction \(g\) est bornée sur \(\mathbb{R}\). On peut donc poser pour tout entier naturel \(n\), \(\alpha_n = \sup_{x \geq n} |g(x)|\). \item[c.] Etudier la monotonie de la suite \((\alpha_n)\) puis déterminer sa limite lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\). \item[d.] Pour tout entier naturel \(n\), on définit la fonction \(g_n = g z_n\). Déterminer un réel \(k\) tel que pour tout entier naturel \(n\), \(\|g – g_n\|_{\infty} \leq k \alpha_n\). \item[e.] En déduire le résultat d’approximation (A1): toute fonction continue sur \(\mathbb{R}\), nulle à l’infini peut être approchée uniformément sur \(\mathbb{R}\) par une suite de fonctions continues sur \(\mathbb{R}\) à support compact. \end{itemize} } 11. Dans les questions 9., 10., et 11., \(f\) désigne une fonction continue sur \(\mathbb{R}\) et \(g\) désigne une fonction continue à support compact. Il existe donc un réel \(R > 0\) tel que \(\mathrm{Supp}\,g \subset [-R, R]\).\\ 9. Convolution\\ a. Justifier que, pour tout réel \(x\), l’application \(t \mapsto g(t)f(x-t)\) est intégrable sur \(\mathbb{R}\). On définit alors sur \(\mathbb{R}\) la fonction \(g * f\) par \[ (g * f)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(t)f(x-t) dt. \] On dit que \(g * f\) est le produit de convolution de \(g\) par \(f\).\\ b. Soit \(x\) un réel, montrer que l’application \(t \mapsto f(t)g(x-t)\) est intégrable sur \(\mathbb{R}\). On définit donc sur \(\mathbb{R}\) la fonction \(f * g\) par \[ (f * g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)g(x-t)dt. \] Comparer les fonctions \(f * g\) et \(g * f\). 12. Support d’une convolution\\ a. Dans cette question, on suppose de plus que \(f\) est à support compact, il existe donc un réel \(S>0\) tel que \(\mathrm{Supp}\, f \subset [-S, S]\). Si \(x > R + S\), que vaut \((f * g)(x)\) ? En déduire que \(f * g\) est aussi à support compact.\\ b. Montrer que si la fonction \(f\) n’est pas à support compact, \(f * g\) n’est pas nécessairement à support compact. 13. Dérivation d’une convolution\\ a. Soit \(a\) un réel strictement positif. Justifier que pour tout \(x \in [ -a, a ]\), \[ (f * g)(x) = \int_{-a-R}^{a+R} f(t)g(x-t) dt. \] b. Montrer que si \(g\) est de plus supposée de classe \(\mathcal{C}^1\), alors \(f * g\) est de classe \(\mathcal{C}^1\). Écrire alors \((f * g)’\) à l’aide d’un produit de convolution.\\ Si on suppose de plus, que \(g\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\), on démontre de la même manière et on l’admettra que \(f * g\) est également de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\). 14. Application à l’approximation\\ a. Soit \(n\) un entier naturel non nul, \(\rho_n\) désigne la fonction test introduite dans la question 6., montrer que pour tout réel \(x\), \[ | (f * \rho_n)(x) – f(x)| \leq \int_{-1}^{1} |f(x-t) – f(x)| \rho_n(t) dt. \] b. On suppose de plus que \(f\) est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\). Montrer avec soin que la suite de fonctions \((f * \rho_n)_{n \geq 1}\) est une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^\infty\) qui converge uniformément sur \(\mathbb{R}\) vers \(f\). c. En déduire le résultat d’approximation (A2): toute fonction continue sur \(\mathbb{R}\) à support compact, est limite uniforme sur \(\mathbb{R}\) d’une suite de fonctions tests (on pourra utiliser librement le résultat suivant : une fonction continue sur \(\mathbb{R}\), nulle à l’infini, est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\)). 15. 13. Justifier que la réciproque du théorème de Whitney est vraie. } 16. 14. Une première tentative de preuve…infructueuse\\ Soit \(F\) une partie fermée de \(\mathbb{R}\).\\ Pour tout réel \(x\), on note \[ d_F(x) = \inf_{y \in F} |x-y| \] et on définit \(d_F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+\) par \(d_F(x) = d_F(x)\).\\ Déterminer \(Z(d_F) := \{ x \in \mathbb{R} : d_F(x) = 0 \}\). Quelle propriété, notée (P), devrait vérifier l’application \(d_F\) pour que le théorème de Whitney puisse être démontré ?\\ Représenter graphiquement \(d_F\) dans le cas particulier où \(F = ]-\infty,-1] \cup [1,+\infty[\).\\ \(d_F\) vérifie-t-elle cette propriété (P) ? Justifier votre réponse. 17. 15. Utilisation de fonctions tests\\ Démontrer le théorème de Whitney dans les cas suivants : \begin{itemize} \item[(i)] \(F\) est le complémentaire d’un intervalle ouvert \(]a, b[\). \item[(ii)] \(F\) est le complémentaire de la réunion de deux intervalles ouverts disjoints. \end{itemize} 18. 16. Démontrer le théorème de Whitney dans le cas général. On utilisera librement le résultat suivant : une partie ouverte \(\Omega\) de \(\mathbb{R}\) peut s’écrire comme une réunion finie ou dénombrable d’intervalles ouverts disjoints, c’est-à-dire \(\Omega = \bigcup_{k \in I} ]a_k, b_k[\), où \(I\) est une partie de \(\mathbb{N}\). }FAQ
Pour identifier rapidement une série convergente, pense à utiliser les critères classiques, comme le critère d’Alembert, de comparaison ou de séries télescopiques. Dans l’épreuve CCINP 2006, on a par exemple demandé d’étudier la convergence et de calculer la somme de séries issues d’expressions rationnelles. Ces méthodes sont incontournables pour réussir ce type d’exercice. Entraîne-toi régulièrement, et si tu veux le détail complet des corrections de ce genre de séries, n’hésite pas à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
Une fonction test est une fonction de classe \( \mathcal{C}^{\infty} \) (donc indéfiniment dérivable) à support compact, autrement dit elle est nulle en dehors d’un segment. C’est une notion clé pour aborder l’approximation des fonctions et la théorie de la distribution, qui sont fondamentales en mathématiques françaises de CPGE scientifique, comme le montre le sujet CCINP 2006. Comprendre ce concept te permet d’aborder les questions d’analyse appliquée, d’approximation ou de régularisation avec rigueur et méthode.
La convolution, notée souvent comme \( (f*g)(x) \), permet de ‘mélanger’ deux fonctions selon une règle d’intégration très structurée. C’est un outil classique en analyse, essentiel dans le traitement et l’approximation de fonctions, qu’elles soient continues, dérivables, ou à support compact. Les sujets comme celui du CCINP 2006 testent souvent ta capacité à manier ce concept, autant pour la théorie (propriétés, support, régularité) que pour des applications concrètes comme l’approximation uniforme. Prends le temps de bien maîtriser les propriétés de la convolution : cela t’ouvrira la porte à plein d’autres outils d’analyse.
Les séries de Fourier sont un incontournable en analyse puisqu’elles permettent de décomposer une fonction périodique en somme de sinus et cosinus. Savoir calculer et interpréter leurs coefficients est essentiel quand tu travailles sur les fonctions périodiques, la résolution d’équations différentielles ou encore l’étude de la convergence de séries remarquables. Les concours adorent ces outils car ils testent à la fois la rigueur du calcul et la vision globale sur la fonction étudiée, comme tu l’as vu dans le sujet CCINP 2006.
Une suite régularisante, c’est un outil ingénieux que l’on utilise pour approcher n’importe quelle fonction continue (voire plus) par des fonctions lisses à support compact. On s’en sert notamment pour ‘adoucir’ — autrement dit, lisser — une fonction qui n’aurait pas de régularité suffisante. C’est fondamental en analyse et dans la théorie des distributions. Maîtriser ce passage, c’est te donner la capacité d’aller vers l’analyse moderne et la résolution d’équations différentielles.
Une fonction à support compact est par définition nulle en dehors d’un segment borné, donc elle vaut zéro quand tu t’éloignes suffisamment loin vers l’infini, dans les deux sens. Cette propriété simplifie beaucoup les études de limite et les calculs d’intégrales impropres. C’est aussi ce qui rend les fonctions tests si pratiques lors des approximations en analyse.
Les deux théorèmes d’approximation fondamentaux sont : (A1) Toute fonction continue, nulle à l’infini, peut être approchée uniformément par une suite de fonctions continues à support compact ; (A2) Toute fonction continue à support compact est limite uniforme d’une suite de fonctions tests. Ces résultats te garantissent de toujours pouvoir travailler avec des fonctions « bien comportementées » pour les calculs, ce qui est un argument puissant à l’oral comme à l’écrit des concours type CCINP. Pense à t’exercer sur des preuves et applications typiques pour être au top le jour J. Pour un accès direct aux corrections détaillées et méthodes, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
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