Énoncé du théorème
Pour un fluide parfait et incompressible en écoulement stationnaire :
\begin{equation}
\frac{P}{\rho} + \frac{v^2}{2} + gz = \text{constant} \tag{1}
\end{equation}
où :
- \( P \) est la pression du fluide,
- \( \rho \) est la masse volumique du fluide,
- \( v \) est la vitesse d’écoulement du fluide,
- \( g \) est l’accélération due à la gravité,
- \( z \) est la hauteur par rapport à une référence.
Ce qui s’écrit entre 2 points A et B le long de l’écoulement :
\begin{equation} \frac{P_A}{\rho} + \frac{v_A^2}{2} + g z_A = \frac{P_B}{\rho} + \frac{v_B^2}{2} + g z_B \tag{2} \end{equation}
où :
- \( P_A \) et \( P_B \) sont les pressions aux points \( A \) et \( B \),
- \( v_A \) et \( v_B \) sont les vitesses du fluide aux points \( A \) et \( B \),
- \( z_A \) et \( z_B \) sont les hauteurs des points \( A \) et \( B \) par rapport à l’altitude de référence,
- \( \rho \) est la masse volumique du fluide,
- \( g \) est l’accélération due à la gravité. \end{itemize}
Remarques :
- Le théorème de Bernoulli exprime la conservation de l’énergie.
Pour un fluide parfait et incompressible en écoulement stationnaire, la puissance des forces de viscosité est nulle et qu’il n’y pas d’échange de travaux avec des parties mobiles, comme des pompes ou des turbines.
- Dans l’équation (1) : \[ \frac{P}{\rho} \text{ représente l’énergie de pression par unité de masse,} \] \[ \frac{v^2}{2} \text{ représente l’énergie cinétique par unité de masse,} \] \[ gz \text{ représente l’énergie potentielle par unité de masse.} \]
Applications
Formule de Torricelli
Elle donne la vitesse d’écoulement d’un fluide à travers l’orifice de sortie d’un réservoir verticale. La section de l’orifice de sortie doit être très inférieure à celle du réservoir qui contient le fluide. Si on note h la hauteur entre la surface libre et le jet, alors la vitesse du fluide éjecté vaut : \begin{equation} v = \sqrt{2gh} \end{equation}.
Effet Venturi
Considérons un fluide vérifiant les hypothèses du théorème de Bernoulli en écoulement dans une conduite circulaire.
Lorsque la section de la conduite diminue, la vitesse d’écoulement du fluide augmente afin de respecter la conservation du débit volumique. Le fluide en écoulement subit alors une dépression là où sa vitesse augmente (i.e. là où la conduite se réduit).
Le schéma suivant met en lumière la variation de pression.
Tube de Pitot
Pour vous entrainer
- Sujet Mines Ponts PSI 2013 Physique 2