Rapports de jury complets Mines Ponts 2024

Questions du sujet

1. Montrer que toute fonction majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en |x| est à croissance lente.

2. Montrer que C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) \subset L^1(\varphi). \\ On admet dans toute la suite du problème que \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(t)\,dt = 1.

3. Montrer que CL(\mathbb{R}) est un espace vectoriel. Montrer aussi que CL(\mathbb{R}) est stable par produit.

4. Soit t \in \mathbb{R}^+. Vérifier que la fonction P_t(f) est bien définie pour f \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) et vérifier que P_t est linéaire sur C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}).

5. Montrer que pour tout f \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) et tout x \in \mathbb{R}, \lim_{t \to +\infty} P_t(f)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) \varphi(y)\,dy.}

6. Soit t \in \mathbb{R}^+. Montrer que si f \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}), alors P_t(f) \in C^0(\mathbb{R}). Montrer aussi que P_t(f) est majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en |x| indépendante de t. En déduire que P_t(f) \in L^1(\varphi).\\ On admettra dans toute la suite du problème que, si f \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}), alors\\ \forall t \in \mathbb{R}^+, \int_{-\infty}^{+\infty} P_t(f)(x) \varphi(x)\,dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \varphi(x)\,dx.

7. Montrer que pour toutes fonctions f,g \in C^2(\mathbb{R}) telles que les fonctions f, f', f'' et g soient à croissance lente, on a \\ \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{L}(f)(x) g(x) \varphi(x)\,dx = - \int_{-\infty}^{+\infty} f'(x)g'(x)\varphi(x)\,dx.

8. Montrer que si f \in C^1(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) telle que f' \in CL(\mathbb{R}) et x \in \mathbb{R}, alors t \mapsto P_t(f)(x) est de classe \mathcal{C}^1 sur \mathbb{R}^*_+ et montrer que pour tout t > 0, on a \\ \frac{\partial P_t(f)(x)}{\partial t} = \int_{-\infty}^{+\infty} \left(-xe^{-t} + \frac{e^{-2t}}{\sqrt{1 - e^{-2t}}}y \right) f'\left( \frac{e^{-t}x + \sqrt{1 - e^{-2t}}y}{2} \right) \varphi(y)\,dy.

9. Soient f \in C^2(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) telle que f' et f'' soient à croissance lente et t \in \mathbb{R}^+. Montrer que x \mapsto P_t(f)(x) est de classe \mathcal{C}^2 sur \mathbb{R}. Montrer aussi que\\ \forall x \in \mathbb{R}, P_t(f)'(x) = e^{-t} \int_{-\infty}^{+\infty} f'\left( \frac{e^{-t}x + \sqrt{1 - e^{-2t}}y}{2} \right) \varphi(y)\,dy\\ et\\ \forall x \in \mathbb{R}, P_t(f)''(x) = e^{-2t} \int_{-\infty}^{+\infty} f''\left( \frac{e^{-t}x + \sqrt{1 - e^{-2t}}y}{2} \right) \varphi(y)\,dy.

10. En déduire que pour f \in C^2(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) telle que f' et f'' soient à croissance lente, on a\\ \forall t \in \mathbb{R}^*_+, \forall x \in \mathbb{R}, \frac{\partial P_t(f)(x)}{\partial t} = \mathcal{L}(P_t(f))(x).}

11. Étudier les variations de la fonction t \mapsto t \ln t sur \mathbb{R}^*_+. On vérifiera que l’on peut prolonger par continuité la fonction en 0.

12. Justifier que la quantité \mathrm{Ent}_\varphi(g) est bien définie pour tout g \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) à valeurs strictement positives telle que \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\varphi(x)\,dx = 1.\\\textit{Indication : On pourra utiliser la question 11.}

13. Pour t \in \mathbb{R}^{+}, on pose S(t) = \mathrm{Ent}_\varphi(P_t(f)). Justifier que S(t) est bien définie.

14. Montrer que S est continue sur \mathbb{R}^{+}.\\\textit{Indication : On pourra au préalable montrer que, si x \in \mathbb{R}, t \mapsto P_t(f)(x) est continue sur \mathbb{R}^{+}.}

15. Vérifier que l’on a S(0) = \mathrm{Ent}_\varphi(f) et \lim_{t \to +\infty} S(t) = 0.}

16. On admet que S est de classe \mathcal{C}^1 sur \mathbb{R}_+^* et que\\ \forall t \in \mathbb{R}_+^*, S'(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial P_t(f)(x)}{\partial t} (1 + \ln (P_t(f)(x))) \varphi(x)\,dx.\\ Montrer que\\ \forall t \in \mathbb{R}_+^*, S'(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{L}(P_t(f))(x) (1 + \ln (P_t(f)(x))) \varphi(x)\,dx.

17. En admettant que le résultat de la question 7 est valable pour les fonctions P_t(f) et 1 + \ln (P_t(f)), montrer que\\ \forall t \in \mathbb{R}^*_+, -S'(t) = e^{-2t} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{P_t(f')^2(x)}{P_t(f)(x)} \varphi(x)\,dx.

18. En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que\\ \forall t \in \mathbb{R}_+^*, -S'(t) \leq e^{-2t} \int_{-\infty}^{+\infty} P_t \left(\frac{{f'}^2}{f}\right)(x) \varphi(x)\,dx.

19. En déduire que l’on a :\\ \forall t \in \mathbb{R}_+^*, -S'(t) \leq e^{-2t} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{{f'}^2(x)}{f(x)} \varphi(x)\,dx.

20. Établir l’inégalité suivante\\ \mathrm{Ent}_\varphi(f) \leq \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{{f'}^2(x)}{f(x)} \varphi(x)\,dx.}

Questions du sujet

1. Montrer que toute fonction majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en |x| est à croissance lente.

2. Montrer que C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) \subset L^1(\varphi). \\ On admet dans toute la suite du problème que \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(t)\,dt = 1.

3. Montrer que CL(\mathbb{R}) est un espace vectoriel. Montrer aussi que CL(\mathbb{R}) est stable par produit.

4. Soit t \in \mathbb{R}^+. Vérifier que la fonction P_t(f) est bien définie pour f \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) et vérifier que P_t est linéaire sur C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}).

5. Montrer que pour tout f \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) et tout x \in \mathbb{R}, \lim_{t \to +\infty} P_t(f)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) \varphi(y)\,dy.}

6. Soit t \in \mathbb{R}^+. Montrer que si f \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}), alors P_t(f) \in C^0(\mathbb{R}). Montrer aussi que P_t(f) est majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en |x| indépendante de t. En déduire que P_t(f) \in L^1(\varphi).\\ On admettra dans toute la suite du problème que, si f \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}), alors\\ \forall t \in \mathbb{R}^+, \int_{-\infty}^{+\infty} P_t(f)(x) \varphi(x)\,dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \varphi(x)\,dx.

7. Montrer que pour toutes fonctions f,g \in C^2(\mathbb{R}) telles que les fonctions f, f', f'' et g soient à croissance lente, on a \\ \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{L}(f)(x) g(x) \varphi(x)\,dx = - \int_{-\infty}^{+\infty} f'(x)g'(x)\varphi(x)\,dx.

8. Montrer que si f \in C^1(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) telle que f' \in CL(\mathbb{R}) et x \in \mathbb{R}, alors t \mapsto P_t(f)(x) est de classe \mathcal{C}^1 sur \mathbb{R}^*_+ et montrer que pour tout t > 0, on a \\ \frac{\partial P_t(f)(x)}{\partial t} = \int_{-\infty}^{+\infty} \left(-xe^{-t} + \frac{e^{-2t}}{\sqrt{1 - e^{-2t}}}y \right) f'\left( \frac{e^{-t}x + \sqrt{1 - e^{-2t}}y}{2} \right) \varphi(y)\,dy.

9. Soient f \in C^2(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) telle que f' et f'' soient à croissance lente et t \in \mathbb{R}^+. Montrer que x \mapsto P_t(f)(x) est de classe \mathcal{C}^2 sur \mathbb{R}. Montrer aussi que\\ \forall x \in \mathbb{R}, P_t(f)'(x) = e^{-t} \int_{-\infty}^{+\infty} f'\left( \frac{e^{-t}x + \sqrt{1 - e^{-2t}}y}{2} \right) \varphi(y)\,dy\\ et\\ \forall x \in \mathbb{R}, P_t(f)''(x) = e^{-2t} \int_{-\infty}^{+\infty} f''\left( \frac{e^{-t}x + \sqrt{1 - e^{-2t}}y}{2} \right) \varphi(y)\,dy.

10. En déduire que pour f \in C^2(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) telle que f' et f'' soient à croissance lente, on a\\ \forall t \in \mathbb{R}^*_+, \forall x \in \mathbb{R}, \frac{\partial P_t(f)(x)}{\partial t} = \mathcal{L}(P_t(f))(x).}

11. Étudier les variations de la fonction t \mapsto t \ln t sur \mathbb{R}^*_+. On vérifiera que l’on peut prolonger par continuité la fonction en 0.

12. Justifier que la quantité \mathrm{Ent}_\varphi(g) est bien définie pour tout g \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) à valeurs strictement positives telle que \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\varphi(x)\,dx = 1.\\\textit{Indication : On pourra utiliser la question 11.}

13. Pour t \in \mathbb{R}^{+}, on pose S(t) = \mathrm{Ent}_\varphi(P_t(f)). Justifier que S(t) est bien définie.

14. Montrer que S est continue sur \mathbb{R}^{+}.\\\textit{Indication : On pourra au préalable montrer que, si x \in \mathbb{R}, t \mapsto P_t(f)(x) est continue sur \mathbb{R}^{+}.}

15. Vérifier que l’on a S(0) = \mathrm{Ent}_\varphi(f) et \lim_{t \to +\infty} S(t) = 0.}

16. On admet que S est de classe \mathcal{C}^1 sur \mathbb{R}_+^* et que\\ \forall t \in \mathbb{R}_+^*, S'(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial P_t(f)(x)}{\partial t} (1 + \ln (P_t(f)(x))) \varphi(x)\,dx.\\ Montrer que\\ \forall t \in \mathbb{R}_+^*, S'(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{L}(P_t(f))(x) (1 + \ln (P_t(f)(x))) \varphi(x)\,dx.

17. En admettant que le résultat de la question 7 est valable pour les fonctions P_t(f) et 1 + \ln (P_t(f)), montrer que\\ \forall t \in \mathbb{R}^*_+, -S'(t) = e^{-2t} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{P_t(f')^2(x)}{P_t(f)(x)} \varphi(x)\,dx.

18. En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que\\ \forall t \in \mathbb{R}_+^*, -S'(t) \leq e^{-2t} \int_{-\infty}^{+\infty} P_t \left(\frac{{f'}^2}{f}\right)(x) \varphi(x)\,dx.

19. En déduire que l’on a :\\ \forall t \in \mathbb{R}_+^*, -S'(t) \leq e^{-2t} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{{f'}^2(x)}{f(x)} \varphi(x)\,dx.

20. Établir l’inégalité suivante\\ \mathrm{Ent}_\varphi(f) \leq \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{{f'}^2(x)}{f(x)} \varphi(x)\,dx.}

Soit $f : \mathbb{C}_n[X] \to \mathbb{C}_n[X]$ définie par
$$
f(P) = (X^2 + X) P(1) + (X^2 – X) P(-1),
$$
où $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{C}_n[X]$.

1. Déterminer le noyau et l’image de $f$.
2. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $f$. L’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?

Soit $\left(x_n\right)_{n \geqslant 0}$ définie par : $x_0=1$ et $\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$. Donner un équivalent de $x_n$ quand $n \rightarrow+\infty$.

On suppose que la série de terme général $a_n > 0$ est divergente. Soit, pour tout entier $n$, $S_n = a_0 + \cdots + a_n$ et $b_n = \frac{a_{n+1}}{S_n}$.
Déterminer la nature de la série de terme général $b_n$.

Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un ensemble \(E\). Déterminer le nombre de parties \(X \subset E\) telles que \(A \subset X \subset B\).

Soit une fonction continue $f:] 0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ telle que $\forall(x, y) \in] 0 ;+\infty\left[{ }^2, f(x y)=f(x)+f(y)\right.$

a. Calculer $f(1)$. Pour $x \in] 0 ;+\infty\left[\right.$, comparer $f(x)$ et $f\left(\frac{1}{x}\right)$.
b. Montrer que $\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, f(x)=\frac{1}{x} \int_x^{2 x} f(t) d t-\int_1^2 f(t) d t\right.$.
c. Montrer que f est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ et en déduire f .

a) Montrer qu’il existe un unique $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\int_1^{+\infty} \frac{\lambda – \sin(t)}{t} \, dt$ converge.

Considérons $T > 0$ et soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue et $T$-périodique.
b) Montrer qu’il existe un unique $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\int_1^{+\infty} \frac{\lambda – f(t)}{t} \, dt$ converge.