Rapports de jury complets Mines Ponts 2024

Questions du sujet

1. Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Démontrer que la restriction $g$ de la fonction $f$ à l’intervalle $]a, b[$ appartient à l’ensemble $D_{a,b}$.

2. En posant pour tout entier $k > 1$, $a_k = \frac{1}{k} - \frac{1}{2k+1}$ et $b_k = \frac{1}{k} + \frac{1}{2k+1}$, montrer que l’on peut choisir un entier $k_0 > 1$ tel que : $\forall k > k_0, \ b_{k+1} < a_k$. En déduire que la fonction $f :\ ]0, 1[ \to \mathbb{R}$ définie par : \[ f : t \mapsto \begin{cases} k^2 \cdot 2^{k+1} \cdot (t - a_k), & \text{si il existe un entier $k > k_0$ tel que } t \in \left]a_k, a_k + \frac{1}{2k+1}\right] \\
k^2 \cdot 2^{k+1} \cdot (b_k - t), & \text{si il existe un entier $k > k_0$ tel que } t \in \left]a_k + \frac{1}{2k+1}, b_k\right] \\
0, & \text{sinon}
\end{cases}
\]
est une fonction bien définie et continue sur $]0, 1[$, intégrable sur $]0, 1[$ et que cette fonction $f$ n’appartient pas à l’ensemble $D_{0,1}$.

3. Montrer que la fonction $\psi : t \mapsto \frac{1}{\sqrt{t}}$ est intégrable sur $]0, 1[$, puis montrer que la fonction $\psi$ appartient à $D_{0,1}$.

4. On note $\tilde{h}$ la restriction de la fonction $h$ à l’intervalle $\left]0, \frac{1}{2}\right[$. Vérifier que la fonction $\tilde{h}$ est décroissante sur $\left]0, \frac{1}{2}\right[$, puis montrer que la fonction $\tilde{h}$ appartient à $D_{0, \frac{1}{2}}$.

5. Montrer que la fonction $h$ est intégrable sur $]0, 1[$ et que : \[
\int_{0}^{1} h(t) dt = 2 \int_{0}^{1/2} \tilde{h}(t) dt.
\]}

6. Prouver alors que : \[
\lim_{n \to +\infty} 2 \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2n} h\left( \frac{k}{2n} \right) =
\int_{0}^1 h(t) dt.
\]

7. Montrer que :
\[
\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{2n+1} h\left( \frac{k}{2n+1} \right) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} h(t) dt.
\]
En déduire que :
\[
\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{2n+1} h\left( \frac{k}{2n+1} \right) = \int_{0}^{1} h(t) dt.
\]

8. Déduire des questions précédentes que la fonction $h$ appartient à $D_{0,1}$.

9. Montrer que : \[
\int_0^1 h(t) dt = \pi.
\]

10. Montrer que lorsque $n$ tend vers $+\infty$, on a un équivalent de la forme : \[
\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \underset{n \to +\infty}{\sim} \lambda \sqrt{n},
\]
où la constante $\lambda$ est à préciser.
}

11. En déduire la limite :
\[
\lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{i(n-i)}}.
\]

12. On considère une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ de nombres réels strictement supérieurs à $-1$, convergente de limite nulle.
Montrer que :
\[
\lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n-1} \frac{|a_i|}{\sqrt{i(n-i)}} = 0.
\]

13. En déduire que :
\[
\lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{i(n-i)}} \left( \frac{(1 + a_i)(1 + a_{n-i})}{1 + a_n} - 1 \right) = 0.
\]

14. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, la variable aléatoire $\frac{1 + X_n}{2}$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{2}$.

15. Calculer la probabilité $\mathbb{P}(A_i)$, pour tout entier $i$ entre $1$ et $n$.}

16. Soit $\ell \in \mathbb{Z}$ un entier et $n > 1$ un autre entier. En distinguant le cas où l’entier $\ell-n$ est pair ou impair, calculer $\mathbb{P}(S_n = \ell)$.

17. Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ et $(b_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ deux suites de nombres réels non nuls telles que $a_n = o(b_n)$ au voisinage de $+\infty$ et la série $\sum_n |b_n|$ est divergente. Alors :
\[
\sum_{k=1}^n a_k = o \left( \sum_{k=1}^n |b_k| \right)
\]
au voisinage de $+\infty$.
Soit $(c_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ et $(d_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ deux suites de nombres réels strictement positifs telles que $c_n \underset{n \to +\infty}{\sim} d_n$ et la série $\sum_n c_n$ diverge.
En utilisant le résultat admis dans l’énoncé, montrer que la série $\sum_n d_n$ est divergente et que :
\[
\sum_{k=1}^n c_k \underset{n \to +\infty}{\sim} \sum_{k=1}^n d_k.
\]

18. Montrer que la variable aléatoire $N_n$ admet une espérance finie et que son espérance $\mathbb{E}(N_n)$ est égale à :
\[
\mathbb{E}(N_n) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2i} \binom{2i}{i}.
\]
[indication : on pourra exprimer la variable $N_n$ à l’aide de fonctions indicatrices associées aux événements $A_i$.]

19. En déduire l’équivalent :
\[
\mathbb{E}(N_n) \underset{n \to +\infty}{\sim} 2 \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{n}}.
\]

20. Dans une urne contenant $n$ boules blanches et $n$ boules noires, on procède à des tirages de boules sans remise, jusqu’à vider complètement l’urne. Les tirages sont équiprobables à chaque pioche.\\
Pour tout entier $k$ entre $1$ et $2n$, on dit que l’entier $k$ est un indice d’égalité si dans l’expérience de pioche précédemment décrite, il reste autant de boules noires que de boules blanches dans l’urne après avoir pioché les $k$ premières boules sans remise. On remarque que l’entier $2n$ est toujours un indice d’égalité.\\
On note $M_n$, la variable aléatoire comptant le nombre aléatoire d’indices d’égalité $k$ entre $1$ et $2n$.\\
En utilisant par exemple les événements $B_i$ : « l’entier $i$ est un indice d’égalité », montrer que la variable $M_n$ admet une espérance finie égale à :
\[
\mathbb{E}(M_n) = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{2i} \binom{2i}{i} \frac{1}{2n-2i} \binom{2n-2i}{n-i} \frac{1}{2n} \binom{2n}{n}.
\]}

21. En déduire l’équivalent :
\[
\mathbb{E}(M_n) \underset{n \to +\infty}{\sim} \sqrt{\pi n}.
\]}

Questions du sujet

1. Montrer que pour tout \( \theta \in ]-\pi ; \pi[ \), la fonction \( f \) définie par
\[ f : ]0 ; +\infty[ \to \mathbb{C} \]
\[ t \mapsto \frac{t^{x-1}}{1 + t e^{i\theta}} \]
est définie et intégrable sur \( ]0; +\infty[ \).

2. Montrer que la fonction \( r \) est de classe \( C^1 \) sur \( ]-\pi ; \pi[ \) et que :
\[
\forall \theta \in ]-\pi ; \pi[, \quad r'(\theta) = -i e^{i\theta} \int_{0}^{+\infty} \frac{t^{x}}{(1 + t e^{i\theta})^2} dt.
\]
Indication : soit \( \beta \in ]0; \pi[ \), montrer que pour tout \( \theta \in [-\beta; \beta] \) et \( t \in [0, +\infty[ \),
\[
|1 + t e^{i\theta}|^2 \geq |1 + t e^{i\beta}|^2 = (t + \cos(\beta))^2 + (\sin(\beta))^2.
\]

3. Montrer que la fonction \( g \) est de classe \( C^1 \) sur \( ]-\pi; \pi[ \) et que pour tout \( \theta \in ]-\pi; \pi[ \),
\[
g'(\theta) = i e^{ix\theta} \int_{0}^{+\infty} h'(t) dt,
\]
où \( h \) est la fonction définie par
\[
h : ]0; +\infty[ \to \mathbb{C}, \quad t \mapsto \frac{t^x}{1 + t e^{i\theta}}.
\]
Calculer \( h(0) \) et \(\lim_{t \to +\infty} h(t) \). En déduire que la fonction \( g \) est constante sur \( ]-\pi; \pi[ \).

4. Montrer que pour tout \( \theta \in ]0; \pi[ \),
\[
g(\theta) \sin(x\theta) = \frac{1}{2i} [ g(-\theta) e^{ix\theta} - g(\theta) e^{-ix\theta} ] = \sin(\theta) \int_{0}^{+\infty} \frac{t^x}{t^2 + 2t\cos(\theta) + 1} dt.
\]

5. En déduire que :
\[
\forall \theta \in ]0; \pi[, \quad g(\theta) \sin(\theta x) = \int_{\cotan(\theta)}^{+\infty} \frac{u \sin(\theta) - \cos(\theta)}{u^{2x}(1 + u^2)} du,
\]
où \( \cotan(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \).
}

6. Montrer, en utilisant le théorème de convergence dominée, que :
\[
\lim_{\theta \to \pi^-} g(\theta) \sin(x\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{du}{1 + u^2}.
\]

7. En déduire que
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{x-1}}{1 + t} dt = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}.
\]

8. Montrer que
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{x-1}}{1 + t} dt = \int_{0}^{1} \left[ \frac{t^{x-1}}{1+t} + \frac{t^{-x}}{1+t} \right] dt.
\]

9. Montrer que :
\[
\int_{0}^{1} \frac{t^{x-1}}{1+t} dt = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k+x}.
\]

10. Établir l’identité
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{x-1}}{1+t} dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+x} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1-x}.
\]}

11. En déduire que l’on a
\[
\frac{\pi}{\sin(\pi x)} = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n x}{n^2 - x^2}.
\]

12. En déduire enfin que :
\[
\forall y \in ]0 ; \pi[, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n y \sin(y)}{y^2 - n^2\pi^2} = 1 - \frac{\sin(y)}{y}.
\]

13. Montrer que l’intégrale
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{1 - \cos(t)}{2^{2p+1} t^2} dt
\]
converge et que :
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{1 - \cos(t)}{2^{2p+1} t^2} dt = (2p + 1) \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(t)}{2^{2p} t \sin(t)} dt.
\]

14. Montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \) :
\[
\int_{\frac{\pi}{2} + n\pi}^{\frac{\pi}{2} + (n-1)\pi} \frac{\cos(t)}{2^{2p} \sin(t) t} dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(t)}{2^{2p}} \frac{2(-1)^n t \sin(t)}{t^2 - n^2\pi^2} dt.
\]

15. En déduire que :
\[
\int_{\frac{\pi}{2}}^{+\infty} \frac{\cos(t)}{2^{2p}\sin(t)t} dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(t)}{2^{2p}} \left( 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n t \sin(t)}{t^2 - n^2\pi^2} \right) dt.
\]}

16. En déduire que :
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(t)}{2^{2p} \sin(t) t} dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(t)}{2^{2p}} dt.
\]
Dans le cas \( p = 0 \), cette intégrale est communément appelée “Intégrale de Dirichlet”.

17. Montrer que :
\[
(\cos(t))^{2p} = \frac{1}{2^{2p}} \left[ \binom{2p}{p} + 2 \sum_{k=0}^{p-1} \binom{2p}{k} \cos(2(p-k)t) \right].
\]
Indication : On pourra développer \( \left(\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}\right)^{2p} \).

18. En déduire que :
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{1 - \cos(t)}{2^{2p+1} t^2} dt = \frac{\pi^2}{(2p+1)! 2^{2p} (p!)^2}.
\]

19. Déterminer, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( \mathbb{E}(S_n) \) et \( \mathrm{Var}(S_n) \).
\\
Soient \( S \) et \( T \) deux variables aléatoires indépendantes prenant toutes deux un nombre fini de valeurs réelles. On suppose que \( T \) et \( -T \) suivent la même loi.

20. Montrer que :
\[
\mathbb{E}\left( \frac{\cos(S+T)}{2} \right) = \mathbb{E}\left( \frac{\cos(S)}{2} \right) \mathbb{E}\left( \frac{\cos(T)}{2} \right).
\]}

21. En déduire que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), et pour tout \( t \in \mathbb{R} \) :
\[
\mathbb{E}\left( \frac{\cos(t S_n)}{2} \right) = \frac{\cos(t)}{2^n}.
\]

22. Soient \( a, b \in \mathbb{R} \) tels que \( a \neq 0 \) et \( |b| \leq |a| \). Montrer que
\[
|a + b| = |a| + \text{sgn}(a) b
\]
où \( \text{sgn}(x) = x/|x| \) pour \( x \) réel non nul. En déduire que :
\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad \mathbb{E}|S_{2n}| = \mathbb{E}|S_{2n-1}|.
\]

23. Montrer que pour tout \( s \in \mathbb{R} \)
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{1 - \cos(st)}{t^2} dt = \pi^2 \frac{1}{|s|}.
\]

24. En déduire que pour tout \( n \in \mathbb{N} \) :
\[
\mathbb{E}|S_n| = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{+\infty} \frac{1 - \cos(t)}{2^n t^2} dt.
\]

25. Conclure que :
\[
\forall n \in \mathbb{N},\qquad \mathbb{E}|S_{2n}| = \mathbb{E}|S_{2n-1}| = \frac{(2n-1)!}{2^{2n-2}((n-1)!)^2}.
\]}

Questions du sujet

1. 1~Û Montrer que les matrices \( M \) et \( (m_{\varphi(i),\varphi(j)})_{1 \leq i,j \leq n} \) sont semblables.\\
En déduire que si \( G = (S, A) \) est un graphe non vide, et si \( \iota \) et \( \iota' \) sont deux indexations de \( S \), alors \( M_{G,\iota} \) et \( M_{G,\iota'} \) sont semblables.

2. 2~Û Justifier qu’une matrice d’adjacence d’un graphe non vide est diagonalisable.

3. 3~Û Montrer qu’une matrice d’adjacence d’un graphe non vide n’est jamais de rang 1.

4. 4~Û Montrer qu’une matrice d’adjacence d’un graphe dont les sommets non isolés forment un graphe de type étoile est de rang 2 et représenter un exemple de graphe dont la matrice d’adjacence est de rang 2 et qui n’est pas du type précédent.

5. 5~Û Soit \( G \) un graphe et \( G' \) une copie de \( G \). Justifier que \( \chi_G = \chi_{G'} \).}

6. 6~Û Soit \( G = (S, A) \) un graphe avec \( |S| = n \geq 2 \). On note \( \chi_G(X) = X^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_k X^k \).\\
Donner la valeur de \( a_{n-1} \) et exprimer \( a_{n-2} \) à l’aide de \( |A| \).

7. 7~Û En déduire le polynôme caractéristique d’un graphe à \( n \) sommets dont les sommets non isolés forment une étoile à \( d \) branches avec \( 1 \leq d \leq n-1 \).\\
Déterminer alors les valeurs et vecteurs propres d’une matrice d’adjacence de ce graphe.

8. 8~Û Montrer que :\\[\jot]
\( \chi_G = \chi_{G_1} \cdot \chi_{G_2} - \chi_{G_1 \setminus s_1} \cdot \chi_{G_2 \setminus s_2} \)

9. 9~Û Déterminer le polynôme caractéristique de la double étoile à \( d_1 + d_2 + 2 \) sommets, constituée respectivement de deux étoiles disjointes à \( d_1 \) et \( d_2 \) branches, à qui l’on a ajouté une arête supplémentaire reliant les deux centres des deux étoiles.\\
Quel est le rang de la matrice d’adjacence de cette double étoile~?

10. 10~Û Soit \( G = (S, A) \in \mathcal{N}_n \). Déterminer la probabilité \( P(\{G\}) \) de l’événement élémentaire \( \{G\} \) en fonction de \( p_n, q_n, N \) et \( a = \operatorname{card}(A) \).\\
Retrouver alors le fait que \( P(\mathcal{N}_n) = 1 \).}

11. 11~Û Montrer que \( \mathbb{P}(X > 0) \leq \mathbb{E}(X) \).

12. 12~Û Montrer que si \( \mathbb{E}(X) \neq 0 \), alors \( \mathbb{P}(X = 0) \leq \dfrac{\mathrm{V}(X)}{(\mathbb{E}(X))^2} \).\\
\emph{Indication~: on remarquera que \( (X = 0) \subset \{|X - \mathbb{E}(X)| \geq \mathbb{E}(X)\} \).}

13. 13~Û Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire \( A_n \) représentant le nombre d’arêtes d’un graphe de \( \mathcal{N}_n \)~?

14. 14~Û Montrer que si \( p_n = o\left(\frac{1}{n^2}\right) \) au voisinage de \( +\infty \), alors \( \lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(A_n > 0) = 0 \).

15. 15~Û Montrer que si \( \frac{1}{n^2} = o(p_n) \) au voisinage de \( +\infty \), alors \( \lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(A_n > 0) = 1 \).}

16. 16~Û En déduire une propriété \( \mathcal{P}_n \) et sa fonction de seuil associée.

17. 17~Û Montrer que \( \mathbb{E}(X_H) = p_n^{a_H} \).

18. 18~Û Soit \( S'_0 \) un ensemble fixé de cardinal \( s_0 \). On note \( c_0 \) le nombre des graphes dont l’ensemble des sommets est \( S'_0 \) et qui sont des copies de \( G_0 \).\\
Exprimer le cardinal de \( \mathcal{C}_0 \) à l’aide de \( c_0 \) et en utilisant un majorant simple de \( c_0 \), justifier que le cardinal de \( \mathcal{C}_0 \) est inférieur à \( n^{s_0} \).

19. 19~Û Exprimer \( X_n^0 \) à l’aide de variables aléatoires du type \( X_H \), et montrer que~:\\
\( \mathbb{E}(X_n^0) = \sum_{H \in \mathcal{C}_0} \mathbb{P}(H \subset G) \leq n^{s_0} p_n^{a_0} \).

20. 20~Û En déduire que si \( p_n = o(n^{-\Theta_0}) \), alors \( \lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(X_n^0 > 0) = 0 \).\\
\emph{Indication~: on pourra introduire \( H_0 \subset G_0 \) réalisant le minimum donnant \( \Theta_0 \).}}

21. 21~Û Montrer que l’espérance \( \mathbb{E}\left((X_n^0)^2\right) \) vérifie~:\\
\( \mathbb{E}\left((X_n^0)^2\right) = \sum_{(H,H') \in \mathcal{C}_0^2} \mathbb{P}(H \cup H' \subset G) = \sum_{(H,H') \in \mathcal{C}_0^2} p_n^{2a_0 - a_{H \cap H'}} \).\\
Pour \( k \in \llbracket 0, s_0 \rrbracket \), on note~:\\
\( S_k = \sum_{(H,H') \in \mathcal{C}_0^2,\, |S_H \cap S_{H'}| = k} \mathbb{P}(H \cup H' \subset G) \).

22. 22~Û Montrer que \( 0 \leq \dfrac{\operatorname{Var}(X_n^0)}{(\mathbb{E}(X_n^0))^2} \).

23. 23~Û Soit \( k \in \llbracket 1, s_0 \rrbracket \) ; montrer que~:\\
\( S_k \leq \sum_{H \in \mathcal{C}_0} \binom{s_0}{k} \binom{n-s_0}{s_0 - k} c_0 p_n^{2a_0 - \Theta_0 k} \).

24. 24~Û Justifier que pour tous entiers naturels \( q \) et \( r \) vérifiant \( 1 \leq q \leq r \), on a~:\\
\( \binom{r}{q} r^{r-q} \geq \dfrac{1}{q!}\binom{r-1}{q}^{q} \).\\
et en déduire que pour \( k \in \llbracket 1, s_0 \rrbracket \), on a \( S_k = o((\mathbb{E}(X_n^0))^2) \) lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \).

25. 25~Û Montrer que \( \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\operatorname{Var}(X_n^0)}{(\mathbb{E}(X_n^0))^2} = 0 \) où \( \operatorname{Var}(X_n^0) \) désigne la variance de \( X_n^0 \).}

26. 26~Û Montrer alors que la suite \( (n^{-\Theta_0})_{n \geq 2} \) est une fonction de seuil pour la propriété \( \mathcal{P}_n \).

27. 27~Û Retrouver le résultat de la question 16~Û et déterminer une fonction de seuil pour la propriété «contenir une copie de l’étoile à \( d \) branches» avec \( d \) entier fixé supérieur à 1.}

Questions du sujet

1. 1~Û Montrer que les matrices \( M \) et \( (m_{\varphi(i),\varphi(j)})_{1 \leq i,j \leq n} \) sont semblables.\\
En déduire que si \( G = (S, A) \) est un graphe non vide, et si \( \iota \) et \( \iota' \) sont deux indexations de \( S \), alors \( M_{G,\iota} \) et \( M_{G,\iota'} \) sont semblables.

2. 2~Û Justifier qu’une matrice d’adjacence d’un graphe non vide est diagonalisable.

3. 3~Û Montrer qu’une matrice d’adjacence d’un graphe non vide n’est jamais de rang 1.

4. 4~Û Montrer qu’une matrice d’adjacence d’un graphe dont les sommets non isolés forment un graphe de type étoile est de rang 2 et représenter un exemple de graphe dont la matrice d’adjacence est de rang 2 et qui n’est pas du type précédent.

5. 5~Û Soit \( G \) un graphe et \( G' \) une copie de \( G \). Justifier que \( \chi_G = \chi_{G'} \).}

6. 6~Û Soit \( G = (S, A) \) un graphe avec \( |S| = n \geq 2 \). On note \( \chi_G(X) = X^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_k X^k \).\\
Donner la valeur de \( a_{n-1} \) et exprimer \( a_{n-2} \) à l’aide de \( |A| \).

7. 7~Û En déduire le polynôme caractéristique d’un graphe à \( n \) sommets dont les sommets non isolés forment une étoile à \( d \) branches avec \( 1 \leq d \leq n-1 \).\\
Déterminer alors les valeurs et vecteurs propres d’une matrice d’adjacence de ce graphe.

8. 8~Û Montrer que :\\[\jot]
\( \chi_G = \chi_{G_1} \cdot \chi_{G_2} - \chi_{G_1 \setminus s_1} \cdot \chi_{G_2 \setminus s_2} \)

9. 9~Û Déterminer le polynôme caractéristique de la double étoile à \( d_1 + d_2 + 2 \) sommets, constituée respectivement de deux étoiles disjointes à \( d_1 \) et \( d_2 \) branches, à qui l’on a ajouté une arête supplémentaire reliant les deux centres des deux étoiles.\\
Quel est le rang de la matrice d’adjacence de cette double étoile~?

10. 10~Û Soit \( G = (S, A) \in \mathcal{N}_n \). Déterminer la probabilité \( P(\{G\}) \) de l’événement élémentaire \( \{G\} \) en fonction de \( p_n, q_n, N \) et \( a = \operatorname{card}(A) \).\\
Retrouver alors le fait que \( P(\mathcal{N}_n) = 1 \).}

11. 11~Û Montrer que \( \mathbb{P}(X > 0) \leq \mathbb{E}(X) \).

12. 12~Û Montrer que si \( \mathbb{E}(X) \neq 0 \), alors \( \mathbb{P}(X = 0) \leq \dfrac{\mathrm{V}(X)}{(\mathbb{E}(X))^2} \).\\
\emph{Indication~: on remarquera que \( (X = 0) \subset \{|X - \mathbb{E}(X)| \geq \mathbb{E}(X)\} \).}

13. 13~Û Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire \( A_n \) représentant le nombre d’arêtes d’un graphe de \( \mathcal{N}_n \)~?

14. 14~Û Montrer que si \( p_n = o\left(\frac{1}{n^2}\right) \) au voisinage de \( +\infty \), alors \( \lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(A_n > 0) = 0 \).

15. 15~Û Montrer que si \( \frac{1}{n^2} = o(p_n) \) au voisinage de \( +\infty \), alors \( \lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(A_n > 0) = 1 \).}

16. 16~Û En déduire une propriété \( \mathcal{P}_n \) et sa fonction de seuil associée.

17. 17~Û Montrer que \( \mathbb{E}(X_H) = p_n^{a_H} \).

18. 18~Û Soit \( S'_0 \) un ensemble fixé de cardinal \( s_0 \). On note \( c_0 \) le nombre des graphes dont l’ensemble des sommets est \( S'_0 \) et qui sont des copies de \( G_0 \).\\
Exprimer le cardinal de \( \mathcal{C}_0 \) à l’aide de \( c_0 \) et en utilisant un majorant simple de \( c_0 \), justifier que le cardinal de \( \mathcal{C}_0 \) est inférieur à \( n^{s_0} \).

19. 19~Û Exprimer \( X_n^0 \) à l’aide de variables aléatoires du type \( X_H \), et montrer que~:\\
\( \mathbb{E}(X_n^0) = \sum_{H \in \mathcal{C}_0} \mathbb{P}(H \subset G) \leq n^{s_0} p_n^{a_0} \).

20. 20~Û En déduire que si \( p_n = o(n^{-\Theta_0}) \), alors \( \lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(X_n^0 > 0) = 0 \).\\
\emph{Indication~: on pourra introduire \( H_0 \subset G_0 \) réalisant le minimum donnant \( \Theta_0 \).}}

21. 21~Û Montrer que l’espérance \( \mathbb{E}\left((X_n^0)^2\right) \) vérifie~:\\
\( \mathbb{E}\left((X_n^0)^2\right) = \sum_{(H,H') \in \mathcal{C}_0^2} \mathbb{P}(H \cup H' \subset G) = \sum_{(H,H') \in \mathcal{C}_0^2} p_n^{2a_0 - a_{H \cap H'}} \).\\
Pour \( k \in \llbracket 0, s_0 \rrbracket \), on note~:\\
\( S_k = \sum_{(H,H') \in \mathcal{C}_0^2,\, |S_H \cap S_{H'}| = k} \mathbb{P}(H \cup H' \subset G) \).

22. 22~Û Montrer que \( 0 \leq \dfrac{\operatorname{Var}(X_n^0)}{(\mathbb{E}(X_n^0))^2} \).

23. 23~Û Soit \( k \in \llbracket 1, s_0 \rrbracket \) ; montrer que~:\\
\( S_k \leq \sum_{H \in \mathcal{C}_0} \binom{s_0}{k} \binom{n-s_0}{s_0 - k} c_0 p_n^{2a_0 - \Theta_0 k} \).

24. 24~Û Justifier que pour tous entiers naturels \( q \) et \( r \) vérifiant \( 1 \leq q \leq r \), on a~:\\
\( \binom{r}{q} r^{r-q} \geq \dfrac{1}{q!}\binom{r-1}{q}^{q} \).\\
et en déduire que pour \( k \in \llbracket 1, s_0 \rrbracket \), on a \( S_k = o((\mathbb{E}(X_n^0))^2) \) lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \).

25. 25~Û Montrer que \( \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\operatorname{Var}(X_n^0)}{(\mathbb{E}(X_n^0))^2} = 0 \) où \( \operatorname{Var}(X_n^0) \) désigne la variance de \( X_n^0 \).}

26. 26~Û Montrer alors que la suite \( (n^{-\Theta_0})_{n \geq 2} \) est une fonction de seuil pour la propriété \( \mathcal{P}_n \).

27. 27~Û Retrouver le résultat de la question 16~Û et déterminer une fonction de seuil pour la propriété «contenir une copie de l’étoile à \( d \) branches» avec \( d \) entier fixé supérieur à 1.}

Questions du sujet

1. Montrer que toute fonction majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en |x| est à croissance lente.

2. Montrer que C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) \subset L^1(\varphi). \\ On admet dans toute la suite du problème que \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(t)\,dt = 1.

3. Montrer que CL(\mathbb{R}) est un espace vectoriel. Montrer aussi que CL(\mathbb{R}) est stable par produit.

4. Soit t \in \mathbb{R}^+. Vérifier que la fonction P_t(f) est bien définie pour f \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) et vérifier que P_t est linéaire sur C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}).

5. Montrer que pour tout f \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) et tout x \in \mathbb{R}, \lim_{t \to +\infty} P_t(f)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) \varphi(y)\,dy.}

6. Soit t \in \mathbb{R}^+. Montrer que si f \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}), alors P_t(f) \in C^0(\mathbb{R}). Montrer aussi que P_t(f) est majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en |x| indépendante de t. En déduire que P_t(f) \in L^1(\varphi).\\ On admettra dans toute la suite du problème que, si f \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}), alors\\ \forall t \in \mathbb{R}^+, \int_{-\infty}^{+\infty} P_t(f)(x) \varphi(x)\,dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \varphi(x)\,dx.

7. Montrer que pour toutes fonctions f,g \in C^2(\mathbb{R}) telles que les fonctions f, f', f'' et g soient à croissance lente, on a \\ \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{L}(f)(x) g(x) \varphi(x)\,dx = - \int_{-\infty}^{+\infty} f'(x)g'(x)\varphi(x)\,dx.

8. Montrer que si f \in C^1(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) telle que f' \in CL(\mathbb{R}) et x \in \mathbb{R}, alors t \mapsto P_t(f)(x) est de classe \mathcal{C}^1 sur \mathbb{R}^*_+ et montrer que pour tout t > 0, on a \\ \frac{\partial P_t(f)(x)}{\partial t} = \int_{-\infty}^{+\infty} \left(-xe^{-t} + \frac{e^{-2t}}{\sqrt{1 - e^{-2t}}}y \right) f'\left( \frac{e^{-t}x + \sqrt{1 - e^{-2t}}y}{2} \right) \varphi(y)\,dy.

9. Soient f \in C^2(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) telle que f' et f'' soient à croissance lente et t \in \mathbb{R}^+. Montrer que x \mapsto P_t(f)(x) est de classe \mathcal{C}^2 sur \mathbb{R}. Montrer aussi que\\ \forall x \in \mathbb{R}, P_t(f)'(x) = e^{-t} \int_{-\infty}^{+\infty} f'\left( \frac{e^{-t}x + \sqrt{1 - e^{-2t}}y}{2} \right) \varphi(y)\,dy\\ et\\ \forall x \in \mathbb{R}, P_t(f)''(x) = e^{-2t} \int_{-\infty}^{+\infty} f''\left( \frac{e^{-t}x + \sqrt{1 - e^{-2t}}y}{2} \right) \varphi(y)\,dy.

10. En déduire que pour f \in C^2(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) telle que f' et f'' soient à croissance lente, on a\\ \forall t \in \mathbb{R}^*_+, \forall x \in \mathbb{R}, \frac{\partial P_t(f)(x)}{\partial t} = \mathcal{L}(P_t(f))(x).}

11. Étudier les variations de la fonction t \mapsto t \ln t sur \mathbb{R}^*_+. On vérifiera que l’on peut prolonger par continuité la fonction en 0.

12. Justifier que la quantité \mathrm{Ent}_\varphi(g) est bien définie pour tout g \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) à valeurs strictement positives telle que \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\varphi(x)\,dx = 1.\\\textit{Indication : On pourra utiliser la question 11.}

13. Pour t \in \mathbb{R}^{+}, on pose S(t) = \mathrm{Ent}_\varphi(P_t(f)). Justifier que S(t) est bien définie.

14. Montrer que S est continue sur \mathbb{R}^{+}.\\\textit{Indication : On pourra au préalable montrer que, si x \in \mathbb{R}, t \mapsto P_t(f)(x) est continue sur \mathbb{R}^{+}.}

15. Vérifier que l’on a S(0) = \mathrm{Ent}_\varphi(f) et \lim_{t \to +\infty} S(t) = 0.}

16. On admet que S est de classe \mathcal{C}^1 sur \mathbb{R}_+^* et que\\ \forall t \in \mathbb{R}_+^*, S'(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial P_t(f)(x)}{\partial t} (1 + \ln (P_t(f)(x))) \varphi(x)\,dx.\\ Montrer que\\ \forall t \in \mathbb{R}_+^*, S'(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{L}(P_t(f))(x) (1 + \ln (P_t(f)(x))) \varphi(x)\,dx.

17. En admettant que le résultat de la question 7 est valable pour les fonctions P_t(f) et 1 + \ln (P_t(f)), montrer que\\ \forall t \in \mathbb{R}^*_+, -S'(t) = e^{-2t} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{P_t(f')^2(x)}{P_t(f)(x)} \varphi(x)\,dx.

18. En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que\\ \forall t \in \mathbb{R}_+^*, -S'(t) \leq e^{-2t} \int_{-\infty}^{+\infty} P_t \left(\frac{{f'}^2}{f}\right)(x) \varphi(x)\,dx.

19. En déduire que l’on a :\\ \forall t \in \mathbb{R}_+^*, -S'(t) \leq e^{-2t} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{{f'}^2(x)}{f(x)} \varphi(x)\,dx.

20. Établir l’inégalité suivante\\ \mathrm{Ent}_\varphi(f) \leq \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{{f'}^2(x)}{f(x)} \varphi(x)\,dx.}

Soit $f : \mathbb{C}_n[X] \to \mathbb{C}_n[X]$ définie par
$$
f(P) = (X^2 + X) P(1) + (X^2 – X) P(-1),
$$
où $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{C}_n[X]$.

1. Déterminer le noyau et l’image de $f$.
2. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $f$. L’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?

Soit $\left(x_n\right)_{n \geqslant 0}$ définie par : $x_0=1$ et $\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$. Donner un équivalent de $x_n$ quand $n \rightarrow+\infty$.

On suppose que la série de terme général $a_n > 0$ est divergente. Soit, pour tout entier $n$, $S_n = a_0 + \cdots + a_n$ et $b_n = \frac{a_{n+1}}{S_n}$.
Déterminer la nature de la série de terme général $b_n$.

Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un ensemble \(E\). Déterminer le nombre de parties \(X \subset E\) telles que \(A \subset X \subset B\).

Soit une fonction continue $f:] 0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ telle que $\forall(x, y) \in] 0 ;+\infty\left[{ }^2, f(x y)=f(x)+f(y)\right.$

a. Calculer $f(1)$. Pour $x \in] 0 ;+\infty\left[\right.$, comparer $f(x)$ et $f\left(\frac{1}{x}\right)$.
b. Montrer que $\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, f(x)=\frac{1}{x} \int_x^{2 x} f(t) d t-\int_1^2 f(t) d t\right.$.
c. Montrer que f est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ et en déduire f .

a) Montrer qu’il existe un unique $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\int_1^{+\infty} \frac{\lambda – \sin(t)}{t} \, dt$ converge.

Considérons $T > 0$ et soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue et $T$-périodique.
b) Montrer qu’il existe un unique $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\int_1^{+\infty} \frac{\lambda – f(t)}{t} \, dt$ converge.