Rapport de jury Mines Ponts 2016

Questions du sujet

1. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique \'etablir l'\'equation diff\'erentielle $X\ddot{} + 2\xi \omega_0 \dot{X} + \omega_0^2 X = 0$ dans laquelle on a introduit la fonction $X(t) = x(t) - \tilde{x}$ o\`u $\tilde{x}$ est une constante que l'on d\'eterminera en fonction de $g$, $\omega_0$ et $\ell_0$. On pr\'ecisera les expressions et significations de $\omega_0$ et $\xi$.
2. Dans le r\'egime libre, le syst\`eme est mis en vibration uniquement par des conditions initiales non nulles $X(0) = X_0 \neq 0$ et $\dot{X}(0) = V_0 \neq 0$. D\'eterminer les solutions du r\'egime libre (en fonction de $\omega_0$, $\xi$, $X_0$, $V_0$ et $t$) pour les cas $\xi = 0$ et $0 < \xi < 1$ et pr\'eciser leur comportement. Dans certains cas, le vent peut induire sur le syst\`eme une force proportionnelle au vecteur vitesse que l'on \'ecrit $\vec{F}_v = \beta \dot{x} \vec{u}_x$, avec $\beta > 0$. Quelle peut-\^etre la cons\'equence de ce ph\'enom\`ene ?
3. Que devient l'\'equation de l'oscillateur en $Y$ sous le for\c{c}age pi\'eton ? D\'eterminer la fonction de transfert $H(\omega)$, rapport de la repr\'esentation complexe de la r\'eponse en d\'eplacement $Y$ sur la repr\'esentation complexe de l'excitation $E = \frac{1}{m} F_1$. On exprimera $H = Y / E$ en fonction de $\xi$, $\omega_0$ et $\Omega = \frac{\omega}{\omega_0}$.
4. Sous quelle condition portant sur $\xi$, un ph\'enom\`ene de r\'esonance peut-il se produire ? Pour quelle pulsation $\omega_r$ obtient-on alors ce ph\'enom\`ene ? Exprimer le gain en amplitude \`a la r\'esonance $|H|(\omega_r)$ dans la limite $\xi^2 \ll 1$.
5. En se pla\c{c}ant dans l'hypoth\`ese $\xi^2 \ll 1$ et \`a partir d'une analyse de la courbe 1 de la figure 3, d\'eterminer un ordre de grandeur de $\xi$ ainsi que la valeur de la pulsation propre $\omega_0$ de l'oscillateur mod\'elisant le Millennium Bridge avant la mise en place des amortisseurs harmoniques.}
6. Pourquoi est-il important de d\'eterminer les fr\'equences de r\'esonance d'une structure soumise \`a une action p\'eriodique ?
7. Quel(s) type(s) de capteur(s) est-il envisageable d'utiliser pour obtenir un signal \'electrique issu de la marche d'un pi\'eton ?
8. Analyser et interpr\'eter aussi pr\'ecis\'ement que possible ces diff\'erents spectres. Sont-ils tous exploitables ? Lequel vous para\^it le plus pertinent ? En d\'eduire la (ou les) fr\'equence(s) caract\'eristique(s) de la marche \'etudi\'ee. Etait-ce qualitativement pr\'evisible ?
9. \`A partir d'une exploitation des donn\'ees fournies dans le sujet, expliquer l'origine du probl\`eme concernant le Millennium Bridge et justifier que l'installation d'amortisseurs harmoniques ait pu le r\'esoudre.
10. Quelle est l'unit\'e d'un module d'Young ? On motivera sa r\'eponse pour laquelle on utilisera une seule unit\'e du syst\`eme international.}
11. On note $X(x,t)$ le d\'eplacement par rapport \`a la position de repos d'une section plane d'abscisse $x$. Calculer la variation relative de longueur d'une tranche \'el\'ementaire du cylindre de longueur au repos $dx$ et en d\'eduire la force de traction $\vec{F}(x,t) = F(x,t)\vec{u}_x$ exerc\'ee par la partie \guillemotleft droite \guillemotright{} (du c\^ot\'e des $x$ croissants) sur la partie \guillemotleft gauche \guillemotright{} (du c\^ot\'e des $x$ d\'ecroissants) en fonction de $E$, $S$ et $\frac{\partial X}{\partial x}$. \'Ecrire l'\'equation du mouvement de la tranche de longueur $dx$ et en d\'eduire l'\'equation aux d\'eriv\'ees partielles v\'erifi\'ee par $X(x,t)$.
12. En appliquant un th\'eor\`eme de m\'ecanique \`a un tron\c{c}on de corde infinit\'esimal de longueur $d\ell = \sqrt{dx^2 + dy^2}$, montrer que, sous les hypoth\`eses effectu\'ees, le module de la tension de la corde est ind\'ependant de $x$. On le notera $T_0$.
13. Montrer alors que l'on peut \'ecrire $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c_\ell^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$ o\`u l'on exprimera $c_\ell$ en fonction de $T_0$ et $\mu$.
14. On cherche des solutions sous la forme $y(x,t) = f(x)g(t)$. De quel type d'onde s'agit-il ? Sous quelles hypoth\`eses de telles ondes apparaissent-elles dans ce genre de structure ?
15. D\'eterminer les \'equations diff\'erentielles v\'erifi\'ees par $f(x)$ et $g(t)$. En d\'eduire que $g(t)$ est une fonction p\'eriodique de pulsation $\omega$ constante. Combien de constantes d'int\'egrations sont n\'ecessaires \`a la d\'etermination compl\`ete de la solution $y(x,t)$ correspondant \`a la situation \'etudi\'ee ?}
16. Justifier pr\'ecis\'ement que l'on puisse \'ecrire
$$
f(x) = A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x) + C\cosh(\beta x) + D\sinh(\beta x)
$$
o\`u $A$, $B$, $C$ et $D$ sont des constantes d'int\'egration, on pr\'ecisera l'expression de $\beta$ en fonction des donn\'ees du probl\`eme.
17. D\'eterminer les pulsations propres $\omega_n$ de vibration transversale d'une poutre en appui simple en fonction de $L$, $E$, $I$, $\rho$, $S$ et d'un entier $n$ caract\'erisant le mode.
18. Diff\'erents modes de vibrations d'une passerelle ont \'et\'e repr\'esent\'es sur la figure 6, quels sont ceux correspondants \`a l'\'etude propos\'ee dans cette section ? Identifier de fa\c{c}on argument\'ee pour chacun de ces modes, l'entier $n$ le caract\'erisant.
19. Dans le cadre du mod\`ele de la poutre sur appui simple, existe-t-il des modes de vibration transversale du Millennium Bridge susceptibles d'entrer en r\'esonance avec un for\c{c}age par des pi\'etons ? Discuter \'egalement de la possibilit\'e d'une excitation r\'esonante de certains modes de vibration lat\'erale, c'est-\`a-dire dans le sens de la largeur $b$. On motivera ses r\'eponses par une argumentation pr\'ecise.}

Questions du sujet

1 — Montrer que, lorsque l’´equilibrage `a vide est r´ealis´e, le centre de masse, G, des parties mobiles de la balance est situ´e en O.
2 — Lorsque le courant circule ≪ dans la balance ≫, montrer que le moment r´esultant en O des forces de Laplace s’exer¸cant sur les parties en arc de cercle est nul.
3 — A l’´equilibre, en pr´esence de courant et de champ magn´etique, ´etablir l’expression du moment en O des forces de Laplace. En d´eduire la relation liant $B = |\vec{B}|$, la somme $m$ des masses marqu´ees pos´ees sur le plateau, $i$, $\ell$, $d_1$, $d_2$ et le module $g$ du champ de pesanteur $\vec{g}$.
4 — La sensibilit´e de la balance ´etant de $\delta m = 0,05$ g, d´eterminer la plus petite valeur de $B$ mesurable pour $i = 10$ A, $g = 10\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$, $\ell = 5$ cm et $d_1 = d_2 = 10$ cm. En comparant cette valeur avec une ou des r´ef´erences connues, conclure quant `a l’utilisabilit´e de la balance.
5 — Apr`es avoir exprim´e le couple des forces magn´etiques s’exer¸cant sur l’aiguille en fonction des param`etres du probl`eme que sont $B = |\vec{B}|$, $M_m = |\vec{M}_m|$ et $\alpha$, ´etablir l’´equation diff´erentielle dont $\alpha$ est solution. En d´eduire les positions d’´equilibres de l’aiguille, et indiquer sans calcul l’´equilibre stable. En supposant $\alpha \ll 1$, donner l’expression de $\alpha (t)$ en notant $\alpha_0$ la valeur maximale de cet angle, en faisant apparaˆıtre le rapport $\kappa = \frac{M_m}{J}$ et en supposant que $\frac{d\alpha}{dt}\vert_{t=0} = 0$ rad $\cdot$ s$^{-1}$.}
6 — La quantit´e $B_0 = |\vec{B}_0|$ s’exprime en fonction de $\mu_0$, $R$ et $I$. Par comparaison avec d’autres champs magn´etiques, choisir en justifiant pr´ecis´ement ce choix, l’expression de $B_0$ parmi les suivantes :
\[
B_0 = \frac{\mu_0 I}{2R} \qquad B_0 = \frac{\mu_0 R}{2I} \qquad B_0 = \frac{\mu_0 I R}{2} \qquad B_0 = \frac{I R}{2\mu_0}
\]
7 — Les bobines ont un rayon $R = 15$ cm. On donne le d´eveloppement limit´e suivant
\[
\left[ 1 + \left( X \pm \frac{1}{2} \right)^2 \right]^{-3/2} = \frac{8}{5\sqrt{5}}\left[ 1 \mp \frac{6}{5}X \pm \frac{32}{25}X^3 - \frac{144}{125}X^4 + o(X^4) \right]
\]
Dans quelle zone situ´ee sur l’axe $Ox$, peut-on consid´erer que la variation relative de la norme du champ est inf´erieure `a 2\% ? Pr´eciser la valeur num´erique de cette norme sachant que $N = 50$ spires et $I = 4$ A ?
8 — La valeur mesur´ee de la p´eriode des petites oscillations de l’aiguille aimant´ee est $T = 0,30$ s. D´eterminer l’unit´e et calculer la valeur num´erique du rapport $\kappa$ pour cette boussole.
9 — Apr`es avoir fait un sch´ema repr´esentant $\vec{M}_T$ ainsi que le vecteur $\vec{B}(M)$, les angles $i$ et $\theta$ si le point $M$ est la ville de Paris, d´eduire des mesures effectu´ees la coordonn´ee $\theta$ de cette ville. Que peut-on en conclure concernant l’axe de sym´etrie du champ magn´etique terrestre et l’axe de rotation de la terre ?
10 — En indiquant les arguments utilis´es, d´eduire des mesures effectu´ees et du r´esultat de la question 8, l’intensit´e du champ magn´etique terrestre `a Paris. Calculer alors $M_T = |\vec{M}_T|$.}
11 — Etablir l’expression de la vitesse $\vec{v}$ des porteurs de charge et calculer sa norme.
12 — Apr`es avoir exprim´e la force magn´etique s’exer¸cant sur une charge mobile, justifier que des densit´es surfaciques de charge apparaissent sur les faces 2 et 4. On pr´ecisera les signes de ces densit´es.
13 — En appliquant le principe fondamental de la m´ecanique `a un porteur de charge en projection sur $\vec{u}_z$, d´eterminer l’expression de $E_h$. Montrer qu’il apparaˆıt une diff´erence de potentiel $u_h = V_4 - V_2$ entre les faces 4 et 2. Celle-ci est appel´ee tension de Hall, on l’´ecrira sous la forme $u_h = \gamma B$ en pr´ecisant l’expression et la valeur num´erique de la constante $\gamma$.
14 — Pour quelle valeur de la r´esistance $R$ le dipˆole $AM$ se comporte-t-il comme une source de courant id´eale, d´elivrant un courant $I_0 = 10$ mA ?
15 — Montrer que l’utilisation du montage de la figure 6 associ´e `a celui de la figure 5 peut poser des probl`emes de r´ef´erence de potentiel.}
16 — Montrer que le probl`eme rencontr´e `a la question 15 est r´esolu par l’utilisation d’un amplificateur diff´erentiel. Etablir la relation entre $u_s$ et $u_h = V_4 - V_2$. A quelle condition sur $R_2$ et $R_1$ la tension de Hall est elle amplifi´ee ?
17 — Etablir l’expression de la r´esistance d’entr´ee sur la face 4. Quel probl`eme pose le r´esultat obtenu ?
18 — Etablir l’expression de la r´esistance d’entr´ee et du gain en tension $A = \frac{u_s}{u_e}$ pour le montage de la figure 6.
19 — Dans quelle limite peut-on se placer en ce qui concerne les valeurs de $R$ et de $R'$ pour r´esoudre le probl`eme soulev´e `a la question 17. Comment s’appelle le montage de la figure 6 dans cette limite.
20 — Repr´esenter le montage complet incluant la plaquette semi-conductrice et l’´electronique qui permet la mesure de la composante horizontale du champ magn´etique terrestre. On placera cette composante sur la figure qui utilisera entre autres 5 r´esistances et 3 ALI.}
21 — On choisit $R_1 = 100\ \Omega$ et $R_2 = 1$ k$\Omega$. On obtient alors $u_s = 20,0$ mV, quelle est la valeur de cette composante ?
22 — D´eterminer, dans ce mod`ele, la direction de $\vec{B}_0$ ainsi que les variables spatiales du probl`eme dont ce champ ne d´epend pas. A l’int´erieur de la plaquette o`u la variable $y \in \left[ -\frac{c}{2}, \frac{c}{2} \right]$, ´ecrire la ou les ´equations diff´erentielles dont les composantes de $\vec{B}_0$ sont solutions. En d´eduire l’expression de $\vec{B}_0$. Calculer la valeur maximale de la norme de ce champ. Dans la mesure du champ terrestre, pouvait-on n´egliger l’influence de $\vec{B}_0$ ?
23 — Le conducteur est globalement non charg´e, v´erifier que l’hypoth`ese $V = V(r)$ est la seule possible. D´eterminer le potentiel ´electrique en un point $M$ de ce conducteur. En d´eduire l’intensit´e $E$ du champ ´electrique $\vec{E}$ en ce mˆeme point en fonction de $V_1$, $V_2$, $r_1$, $r_2$ et $r$.
24 — Pour chaque ´electron, ´etablir, en r´egime permanent, la relation entre $\vec{v}$, $\vec{B}$ et $\vec{E}$ param´etr´ee par $\lambda$ et la charge ´el´ementaire $e$. En d´eduire l’expression, dans la base cylindrique $(\vec{u}_r,\vec{u}_\theta,\vec{u}_z)$, des coordonn´ees de $\vec{v}$ en fonction de $e$, $\lambda$, $E$ et $B$ puis celles du vecteur densit´e volumique de courant $\vec{j}$.
25 — Exprimer l’intensit´e du courant ´electrique traversant une surface ´equipotentielle de rayon $r$. En d´eduire la r´esistance ´electrique $R$ de la couronne, en fonction de $e$, $n$, $\lambda$, $B$, $h$, $r_1$ et $r_2$. On note $R_0$ la r´esistance en l’absence de champ magn´etique. Exprimer l’´ecart relatif $\epsilon = \frac{R-R_0}{R_0}$ en fonction de $e$, $B$ et $\lambda$. Calculer la valeur num´erique de $R_0$ ainsi que celle de $\epsilon$ pour $B = 1,0$ mT, $r_1 = 1,0$ mm, $r_2 = 3,0$ mm, $h = 1,0$ mm, $n = 1,1 \times 10^{21} \mathrm{~m}^{-3}$ et $\lambda = 1,8 \times 10^{-17}$ kg $\cdot$ s$^{-1}$. Commenter l’utilisation du ph´enom`ene pour la mesure de champs magn´etiques.}

Soit $f : \mathbb{C}_n[X] \to \mathbb{C}_n[X]$ définie par
$$
f(P) = (X^2 + X) P(1) + (X^2 – X) P(-1),
$$
où $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{C}_n[X]$.

1. Déterminer le noyau et l’image de $f$.
2. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $f$. L’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?

Soit $\left(x_n\right)_{n \geqslant 0}$ définie par : $x_0=1$ et $\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$. Donner un équivalent de $x_n$ quand $n \rightarrow+\infty$.

On suppose que la série de terme général $a_n > 0$ est divergente. Soit, pour tout entier $n$, $S_n = a_0 + \cdots + a_n$ et $b_n = \frac{a_{n+1}}{S_n}$.
Déterminer la nature de la série de terme général $b_n$.

Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un ensemble \(E\). Déterminer le nombre de parties \(X \subset E\) telles que \(A \subset X \subset B\).

Soit une fonction continue $f:] 0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ telle que $\forall(x, y) \in] 0 ;+\infty\left[{ }^2, f(x y)=f(x)+f(y)\right.$

a. Calculer $f(1)$. Pour $x \in] 0 ;+\infty\left[\right.$, comparer $f(x)$ et $f\left(\frac{1}{x}\right)$.
b. Montrer que $\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, f(x)=\frac{1}{x} \int_x^{2 x} f(t) d t-\int_1^2 f(t) d t\right.$.
c. Montrer que f est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ et en déduire f .

a) Montrer qu’il existe un unique $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\int_1^{+\infty} \frac{\lambda – \sin(t)}{t} \, dt$ converge.

Considérons $T > 0$ et soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue et $T$-périodique.
b) Montrer qu’il existe un unique $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\int_1^{+\infty} \frac{\lambda – f(t)}{t} \, dt$ converge.