Rapport de jury Mines Ponts 2016

Ce rapport de jury de la session 2016 du concours Mines Ponts traite des épreuves écrites et orales, pour les filières MP, PSI et PC.

Source : Concours Mines Ponts

Corrigés des écrits du concours Mines Ponts 2016

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Corrigé : Mines Maths 1 MP 2016

Questions du sujet

1. Montrer que J est une matrice de permutation. Calculer les valeurs propres réelles et complexes de J, et en déduire que J est diagonalisable sur $\mathbb{C}$.

2. Déterminer une base de $\mathbb{C}^n$ de vecteurs propres de J.

3. Déterminer $U_0$ et une matrice A de $M_n(\mathbb{R})$ telle que pour tout $m \in \mathbb{N}$, $U_{m+1} = AU_m$. On exprimera A à l’aide de la matrice J.

4. Déterminer les valeurs propres de la matrice A et un vecteur propre de $\mathbb{R}^n$ unitaire associé à la valeur propre de module maximal.

5. En déduire la limite de $U_m$ lorsque $m \to +\infty$.}

6. Montrer que l’ensemble $B_n$ est convexe et compact. Est-il un sous espace vectoriel de $M_n(\mathbb{R})$ ?

7. Montrer que $P_n \subset B_n$ et que $P_n$ est un sous-groupe multiplicatif de $GL_n(\mathbb{R})$. Tout élément de $P_n$ est-il diagonalisable sur $\mathbb{C}$ ? L’ensemble $P_n$ est-il convexe ?

8. Montrer que toute matrice de $P_n$ est extrémale dans $B_n$.

9. Montrer qu’il existe un entier $r > 0$ et deux familles $i_1, i_2, \ldots, i_r$ et $j_1, j_2, \ldots, j_r$ d’indices distincts dans $\{1, 2, \ldots, n\}$ tels que pour tous $k \in \{1, 2, \ldots, r\}$, $A_{i_k, j_k} \in ]0, 1[$ et $A_{i_k, j_{k+1}} \in ]0, 1[$ avec $j_{r+1} = j_1$.

10. En considérant la matrice $B = (B_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ de $M_n(\mathbb{R})$ définie par : \[
\begin{cases}
B_{i_k, j_k} = 1 & k \in \{1, 2, \ldots, r\} \\
B_{i_k, j_{k+1}} = -1 & k \in \{1, 2, \ldots, r\} \\
B_{i,j} = 0 & \text{dans les autres cas}
\end{cases}
\]
montrer que A n’est pas un élément extrémal de $B_n$. En déduire l’ensemble des éléments extrémaux de $B_n$.}

11. Montrer que A admet un chemin strictement positif.

12. Montrer que $A_0$ est bien définie, et que c’est une matrice bistochastique contenant au moins un élément nul de plus que $A$.

13. En raisonnant par récurrence, démontrer que $A$ s’écrit comme une combinaison linéaire d’un nombre fini de matrices de permutation $M_0, M_1, \ldots, M_s$ :
\[
A = \lambda_0 M_0 + \lambda_1 M_1 + \cdots + \lambda_s M_s
\]
où les coefficients $\lambda_i$ sont tous strictement positifs et de somme $\sum_{i=0}^s \lambda_i = 1$.

14. Soit $\varphi$ une forme linéaire de $M_n(\mathbb{R})$. Montrer que $\inf_{M \in P_n} \varphi(M)$ existe. En déduire que $\inf_{M \in B_n} \varphi(M)$ existe et est atteint en une matrice de permutation.

15. Montrer que pour tous $A \in M_n(\mathbb{R})$ et $P, Q$ dans $O_n(\mathbb{R})$, on a $\|PAQ\| = \|A\|$.}

16. Montrer qu’il existe deux matrices diagonales réelles $D_A, D_B$, et une matrice orthogonale $P = (P_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ telles que $\|A - B\|^2 = \|D_A P - P D_B\|^2$.

17. Montrer que la matrice $R$ définie par $R_{i,j} = (P_{i,j})^2$ pour tous $i, j$ dans $\{1, 2, \ldots, n\}$ est bistochastique et que
\[
\|A - B\|^2 = \sum_{1 \leq i,j \leq n} R_{i,j} |\lambda_i(A) - \lambda_j(B)|^2
\]
où $\lambda_1(A), \ldots, \lambda_n(A)$ désignent les valeurs propres de $A$ et $\lambda_1(B), \ldots, \lambda_n(B)$ celles de $B$.

18. En déduire que
\[
\min_{\sigma} \sum_{j=1}^n |\lambda_{\sigma(j)}(A) - \lambda_j(B)|^2 \leq \|A - B\|^2
\]
où le minimum porte sur l’ensemble de toutes les permutations de $\{1, 2, \ldots, n\}$.

19. Montrer que
\[
d^2(P_1, P_2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |a_{(i)} - b_{(i)}|^2
\]
où l’on a noté $a_{(1)} \leq \cdots \leq a_{(n)}$ et $b_{(1)} \leq \cdots \leq b_{(n)}$ les suites $(a_1, \ldots, a_n)$ et $(b_1, \ldots, b_n)$ réordonnées par ordre croissant. En déduire que pour toutes matrices symétriques réelles $A, B$ de valeurs propres respectives $(a_1, \ldots, a_n)$ et $(b_1, \ldots, b_n)$, on a l’inégalité :
\[
n d^2(P_1, P_2) \leq \|A - B\|^2.
\]
}

FAQ

Qu'est-ce qu'une matrice de permutation et comment montrer que J en est une ?

Une matrice de permutation est une matrice carrée binaire (composée de 0 et de 1) où chaque ligne et chaque colonne contient exactement un 1. Pour montrer que J est une matrice de permutation, tu dois vérifier que ses coefficients sont bien 0 ou 1 et que chaque ligne et chaque colonne a un seul 1. C'est une propriété fondamentale en algèbre linéaire, souvent utilisée en théorie des groupes et en combinatoire. Si tu veux voir un exemple concret, n'hésite pas à débloquer les corrigés pour accéder à des exercices détaillés !

Comment déterminer les valeurs propres d'une matrice de permutation ?

Les valeurs propres d'une matrice de permutation sont des racines de l'unité, car ces matrices sont orthogonales et leur polynôme caractéristique se factorise en termes de racines complexes. Pour J, tu peux utiliser le fait que J^n = I (matrice identité) pour en déduire que ses valeurs propres sont des racines n-èmes de l'unité. C'est un résultat classique en réduction des endomorphismes. Pour une démonstration complète, consulte le corrigé détaillé !

Pourquoi une matrice de permutation est-elle diagonalisable sur ℂ ?

Une matrice de permutation est diagonalisable sur ℂ car elle est normale (elle commute avec sa transposée) et que tout endomorphisme normal est diagonalisable dans une base orthonormée. C'est un théorème central en algèbre linéaire, lié à la décomposition spectrale. Si tu veux approfondir ce point, le corrigé propose une démonstration rigoureuse.

Comment construire une base de vecteurs propres pour une matrice de permutation ?

Pour construire une base de vecteurs propres, tu peux utiliser les racines de l'unité et les vecteurs de Fourier. Ces vecteurs sont définis en utilisant les puissances des racines complexes et forment une base orthonormée de ℂⁿ. C'est une technique puissante en analyse harmonique et en théorie des représentations. Le corrigé te guide pas à pas dans cette construction !

Qu'est-ce qu'une matrice bistochastique et quel est son lien avec les matrices de permutation ?

Une matrice bistochastique est une matrice carrée dont les coefficients sont positifs et dont la somme des coefficients sur chaque ligne et chaque colonne vaut 1. Les matrices de permutation sont des cas particuliers de matrices bistochastiques. L'ensemble des matrices bistochastiques est convexe et compact, ce qui en fait un objet d'étude important en optimisation convexe. Pour voir des exemples, débloque les corrigés !

Comment montrer qu'un ensemble de matrices est convexe et compact ?

Pour montrer qu'un ensemble est convexe, tu dois vérifier que toute combinaison convexe de deux éléments de l'ensemble reste dans l'ensemble. Pour la compacité, tu peux utiliser le fait que l'ensemble est fermé et borné dans un espace de dimension finie. C'est une notion clé en topologie et en analyse fonctionnelle. Le corrigé détaille ces propriétés pour l'ensemble Bₙ.

Qu'est-ce qu'un élément extrémal dans un ensemble convexe ?

Un élément extrémal d'un ensemble convexe est un point qui ne peut pas s'écrire comme combinaison convexe stricte de deux autres points distincts de l'ensemble. Dans le cas des matrices bistochastiques, les matrices de permutation sont des éléments extrémaux. C'est un concept fondamental en analyse convexe et en optimisation. Le corrigé explique pourquoi les matrices de permutation sont extrémales dans Bₙ.

Comment décomposer une matrice bistochastique en matrices de permutation ?

D'après le théorème de Birkhoff-Von Neumann, toute matrice bistochastique peut s'écrire comme une combinaison convexe de matrices de permutation. C'est un résultat profond en algèbre linéaire et en théorie des matrices. Le corrigé te montre comment appliquer ce théorème pour décomposer une matrice bistochastique donnée. C'est un outil puissant pour comprendre la structure des matrices bistochastiques !

Qu'est-ce que la distance entre deux matrices symétriques réelles ?

La distance entre deux matrices symétriques réelles peut être définie à l'aide de la norme de Frobenius, qui est la racine carrée de la somme des carrés des différences entre leurs coefficients. Pour deux matrices symétriques, cette distance est liée aux valeurs propres des matrices. C'est un sujet important en algèbre linéaire numérique et en optimisation matricielle. Le corrigé détaille cette relation !

Comment utiliser les valeurs propres pour comparer deux matrices symétriques ?

Pour comparer deux matrices symétriques, tu peux utiliser leurs valeurs propres triées. En effet, la distance entre les valeurs propres triées donne une borne inférieure sur la distance entre les matrices. C'est une technique courante en analyse spectrale et en théorie des perturbations. Le corrigé montre comment appliquer cette méthode pour obtenir des inégalités précises.

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Corrigé : Mines Maths 2 MP 2016

Questions du sujet

1. Montrer que la fonction $\psi : u \mapsto \frac{e^{-u}}{\sqrt{u}}$ est int\'egrable sur $I$.

2. D\'eterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $F(x)$ est d\'efinie.

3. Montrer que la fonction $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et exprimer $F'(x)$ sous forme int\'egrale.

4. En d\'eduire que pour tout $x \in I$, $xF'(x) - (x - \frac{1}{2})F(x) = -K$.

5. Pour tout $x \in I$, on pose $G(x) = \sqrt{x} e^{-x} F(x)$. Montrer qu’il existe une constante r\'eelle $C$ telle que pour tout $x \in I$, $G(x) = C - K \int_{0}^{x} \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}} dt$.}

6. D\'eterminer les limites de $G$ en $0$ et $+\infty$, et en d\'eduire la valeur de $K$.

7. Montrer que $f$ et $g$ sont d\'efinies et continues sur $I$.

8. Montrer que pour tout $x \in I$, $\int_{1}^{+\infty} \frac{e^{-ux}}{\sqrt{u}} du \leq f(x) \leq \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-ux}}{\sqrt{u}} du$. En d\'eduire un \'equivalent de $f(x)$ lorsque $x \to 0$.

9. Montrer que la suite $\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n}\right)_{n>1}$ converge.

10. D\'emontrer que pour tout $x > 0$, la s\'erie $\sum_{n>1} \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}\right)e^{-nx}$ converge et exprimer sa somme $h(x)$ en fonction de $f(x)$ pour tout $x \in I$.}

11. En d\'eduire un \'equivalent de $h(x)$ lorsque $x \to 0$. Montrer alors que $g(x)$ est \'equivalent \`a $\sqrt{\frac{\pi}{2 x^{3/2}}}$ lorsque $x \to 0$.

12. Quel est l’ensemble $I_A$ si $A$ est fini ? Si $A$ est infini, montrer que l’on peut extraire une suite $(b_n)$ de la suite $(a_n)$ telle que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $b_n = 1$. D\'eterminer $I_A$ dans ce cas.

13. Soit $A \in S$ et $(a_n)$ la suite associ\'ee. Pour tout entier naturel $n$, on note $A(n)$ l’ensemble des \'el\'ements de $A$ qui sont $\leq n$. V\'erifier que pour tout $x > 0$ la s\'erie $\sum_{n>0} \operatorname{Card}(A(n))e^{-nx}$ converge et que $\sum_{n=0}^{+\infty} \operatorname{Card}(A(n))e^{-nx} = \frac{f_A(x)}{1-e^{-x}}$.

14. Montrer que si $x > 0$, $\frac{f_{A_1}(x)}{1 - e^{-x}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \lfloor \sqrt{n} \rfloor e^{-nx}$ o\`u $\lfloor \cdot \rfloor$ d\'esigne la partie enti\`ere. En d\'eduire un encadrement de $\sum_{n=0}^{+\infty} \sqrt{n} e^{-nx} - \frac{f_{A_1}(x)}{1-e^{-x}}$, puis un \'equivalent de $f_{A_1}$ en $0$. Prouver alors que $A_1 \in S$ et donner $\Phi(A_1)$.

15. Montrer que pour tout r\'eel $x > 0$, la s\'erie $\sum_{n>0} v(n) e^{-nx}$ converge et \'etablir que $\sum_{n=0}^{+\infty} v(n) e^{-nx} = [f_{A_1}(x)]^2$. Montrer alors que pour tout $x > 0$, $f_{A_2}(x) \leq [f_{A_1}(x)]^2$. En d\'eduire un majorant de $\Phi(A_2)$.}

16. Montrer que $L(\psi)$ est bien d\'efinie pour tout $\psi \in E$ et que l’application $L$ est une application lin\'eaire de $E$ dans $F$. V\'erifier que, pour tous $\psi_1, \psi_2$ dans $E$, $\psi_1 \leq \psi_2$ entra\^ine $L(\psi_1) \leq L(\psi_2)$.

17. V\'erifier que $E_1$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et que l’application $\Delta$ est une forme lin\'eaire continue de $(E_1, \|\cdot\|_\infty)$.

18. Montrer que pour tout $p \in \mathbb{N}$, $e_p : t \in [0,1] \mapsto t^p$ appartient \`a $E_1$ et calculer $\Delta(e_p)$. En d\'eduire que $E_0 \subset E_1$ et calculer $\Delta(\psi)$ pour tout $\psi \in E_0$.

19. V\'erifier que $g_-$ et $g_+$ appartiennent \`a $E_0$ et calculer $\Delta(g_-)$ et $\Delta(g_+)$. Montrer alors que $\mathbf{1}_{[0,a]} \in E_1$ et calculer $\Delta(\mathbf{1}_{[0,a]})$. En d\'eduire que $E_1 = E$ et donner $\Delta(\psi)$ pour tout $\psi \in E$.

20. Calculer $(L(\psi))(\frac{1}{N})$ pour tout entier $N > 0$ et en d\'eduire la limite $\lim_{N \to +\infty} \frac{1}{N} \sum_{k=0}^N \alpha_k$ (th\'eor\`eme taub\'erien).}

21. Si $A \in S$, que vaut $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \operatorname{Card}(A(n))$ ? D\'eterminer alors $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n v(k)$.}

FAQ

Comment montrer qu'une fonction est intégrable sur un intervalle donné ?

Pour montrer que la fonction ψ : u ↦ e⁻ᵘ/√u est intégrable sur I, tu peux utiliser des critères d'intégrabilité comme la comparaison avec une fonction de référence ou l'étude du comportement aux bornes. Ici, une étude en 0 et en +∞ avec des équivalents ou des majorations te permettra de conclure. N'hésite pas à consulter le corrigé pour voir la méthode détaillée !

Quelle est la méthode pour déterminer le domaine de définition d'une fonction définie par une intégrale ?

Pour déterminer les valeurs de x pour lesquelles F(x) est définie, il faut analyser l'intégrale qui la définit. En particulier, il faut vérifier que l'intégrande est bien défini et intégrable pour chaque x. Dans ce sujet, l'étude de la convergence de l'intégrale en fonction de x est cruciale. Le corrigé te montre comment procéder pas à pas.

Comment démontrer qu'une fonction est de classe C¹ et calculer sa dérivée ?

Pour montrer que F est de classe C¹ sur I, tu peux utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale. Il faut vérifier les hypothèses du théorème, notamment la continuité et la domination de la dérivée partielle. Une fois cela fait, tu peux exprimer F'(x) sous forme intégrale. Le corrigé détaille cette démarche essentielle en analyse.

Comment résoudre une équation différentielle issue d'une intégrale ?

L'équation xF'(x) - (x - 1/2)F(x) = -K est une équation différentielle linéaire du premier ordre. Pour la résoudre, tu peux utiliser la méthode de variation de la constante ou chercher un facteur intégrant. Le corrigé te guide à travers les étapes pour trouver la solution générale et adapter les constantes.

Comment trouver un équivalent d'une fonction en 0 à partir d'une intégrale ?

Pour trouver un équivalent de f(x) lorsque x → 0, tu peux utiliser des encadrements et des comparaisons avec des intégrales connues. Dans ce sujet, on encadre f(x) entre deux intégrales pour en déduire son comportement asymptotique. Le corrigé montre comment manipuler ces inégalités pour obtenir l'équivalent souhaité.

Quelle est la stratégie pour étudier la convergence d'une série faisant intervenir des sommes partielles ?

Pour étudier la convergence de la suite (∑_{k=1}^n 1/√k - 2√n), tu peux utiliser des techniques de comparaison série-intégrale ou des développements limités. L'idée est de transformer la somme discrète en une intégrale pour faciliter l'analyse. Le corrigé détaille cette approche classique en analyse.

Comment manipuler des séries de fonctions pour exprimer une somme en fonction d'une intégrale ?

Pour exprimer h(x) en fonction de f(x), tu peux utiliser des techniques de sommation comme l'interversion série-intégrale ou des transformations de séries. Dans ce sujet, on utilise la définition de f(x) pour réécrire la série et faire apparaître f(x). Le corrigé montre comment procéder rigoureusement.

Quelles sont les techniques pour encadrer une série et en déduire un équivalent ?

Pour encadrer une série et en déduire un équivalent, tu peux utiliser des comparaisons terme à terme ou des majorations/minorations. Dans ce sujet, on utilise des inégalités pour encadrer la série entre deux intégrales, ce qui permet d'obtenir un équivalent lorsque x → 0. Le corrigé détaille cette méthode puissante.

Comment démontrer qu'un ensemble appartient à une classe particulière en utilisant des équivalents ?

Pour montrer que A₁ ∈ S, tu dois vérifier que la fonction associée f_A₁ satisfait les conditions de la classe S. En particulier, il faut étudier le comportement de f_A₁ en 0 et montrer qu'elle admet un équivalent compatible avec les hypothèses. Le corrigé te guide à travers cette démonstration technique.

Quelle est la méthode pour étudier la convergence d'une série de fonctions et exprimer sa somme ?

Pour étudier la convergence de la série ∑ v(n)e⁻ⁿˣ et exprimer sa somme, tu peux utiliser des critères de convergence pour les séries de fonctions, comme le critère de domination. Une fois la convergence établie, tu peux manipuler la série pour faire apparaître des fonctions connues. Le corrigé détaille cette approche.

Comment utiliser un théorème taubérien pour trouver une limite ?

Pour appliquer un théorème taubérien et trouver la limite lim (1/N) ∑ αₖ, tu dois d'abord établir une relation entre la série et une intégrale ou une fonction génératrice. Ensuite, tu peux utiliser les hypothèses du théorème pour déduire la limite. Le corrigé montre comment appliquer ce théorème subtil mais puissant.

Quelles sont les étapes pour démontrer qu'une application est linéaire et continue ?

Pour montrer que L est une application linéaire de E dans F, tu dois vérifier les deux propriétés de linéarité : L(ψ₁ + ψ₂) = L(ψ₁) + L(ψ₂) et L(λψ) = λL(ψ). Ensuite, pour la continuité, tu peux utiliser la définition avec les normes ou des critères comme la continuité en 0. Le corrigé détaille ces vérifications.

Comment calculer l'image d'une fonction indicatrice par une forme linéaire ?

Pour calculer Δ(1_{[0,a]}), tu peux utiliser la définition de Δ et la décomposition de la fonction indicatrice en fonctions plus simples. En particulier, tu peux exprimer 1_{[0,a]} comme combinaison linéaire de fonctions de E₀ dont tu connais déjà les images par Δ. Le corrigé montre cette technique d'approximation.

Quelle est la structure générale d'une épreuve de mathématiques aux concours Mines-Ponts ?

Les épreuves de mathématiques aux concours Mines-Ponts sont généralement composées de plusieurs problèmes indépendants couvrant différents domaines des mathématiques : analyse, algèbre, probabilités, etc. Chaque problème est découpé en questions progressives qui guident le candidat vers la solution. Les sujets mettent souvent l'accent sur la rigueur, la créativité et la maîtrise des techniques fondamentales. Pour te préparer efficacement, entraîne-toi sur des sujets similaires et consulte les corrigés détaillés pour comprendre les attentes des correcteurs.

Quels sont les conseils pour bien aborder un problème d'analyse dans une épreuve écrite ?

Pour bien aborder un problème d'analyse, commence par lire attentivement l'énoncé pour comprendre le contexte et les notations. Identifie les questions clés et les résultats intermédiaires à établir. N'hésite pas à faire des schémas ou des exemples pour t'aider à visualiser le problème. Travaille dans l'ordre des questions, car elles sont souvent progressives. Si tu bloques sur une question, passe à la suivante et reviens-y plus tard. Enfin, soigne la rédaction et justifie chaque étape de ton raisonnement. Les corrigés détaillés peuvent t'aider à comprendre comment structurer tes réponses.

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Corrigé : Mines Maths 2 PC 2016

Questions du sujet

1. Montrer que D(d_1, \cdots, d_n) = V(d_1, \cdots, d_n).

2. Montrer que le Wronskien des fonctions monômiales $(x \mapsto a_1 x^{d_1}), \cdots, (x \mapsto a_n x^{d_n})$ est égal à
$$
V(d_1, \cdots, d_n)\ x^{d_1+\cdots+d_n-\binom{n}{2}} \prod_{i=1}^n a_i.
$$

3. Soit $g$ une fonction $(n-1)$ fois dérivable sur $I$, montrer que
$$
W_n(f_1 g, f_2 g, \cdots, f_n g) = g^{n} W_n(f_1, \cdots, f_n).
$$

4. Pour $f_1$ ne s’annulant pas sur $I$, montrer que
$$
W_n(f_1, \cdots, f_n) = f_1^n\, W_{n-1}\left(\left(\frac{f_2}{f_1}\right)',\, \left(\frac{f_3}{f_1}\right)',\, \cdots,\, \left(\frac{f_n}{f_1}\right)'\right).
$$

5. Montrer que si $f_1, \cdots, f_n$ forment une famille liée dans $C^{n-1}(I; \mathbb{R})$ alors $W_n(f_1, \cdots, f_n)$ est identiquement nulle sur $I$.}

6. Soit $f_1$ et $f_2$ deux éléments de $C^{n-1}(I; \mathbb{R})$. On suppose que $W_2(f_1, f_2) = 0$ sur $I$ et que $f_1 f_2$ ne s’annule pas sur $I$. Montrer alors que $f_1$ et $f_2$ forment une famille liée de $C^{n-1}(I; \mathbb{R})$.

7. Donner un exemple de fonctions $f_1, f_2$ formant une famille libre dans $C^{n-1}(I; \mathbb{R})$ et telles que $W_2(f_1, f_2) = 0$.

8. En utilisant la question 4 montrer que si $W_n(f_1, \cdots, f_n)$ est la fonction nulle sur $I$, alors il existe un sous-intervalle $J \subset I$, sur lequel les restrictions de $f_1, \cdots, f_n$ à $J$ forment une famille liée dans $C^{n-1}(J; \mathbb{R})$.

9. Démontrer qu’il existe une matrice inversible $A \in M_n(\mathbb{C})$ telle que $(f_1, \ldots, f_n) A = (g_1, \ldots, g_n)$, où les $g_1, \ldots, g_n$ sont des fonctions développables en série entière non nulles dont les ordres $d_1, \ldots, d_n$ sont deux à deux distincts. On commencera d’abord par le cas $n=2$.\\
On souhaite démontrer que pour ces fonctions $(g_1, \ldots, g_n)$, il existe un réel $C \neq 0$ tel que
\[
W_n(g_1, \ldots, g_n)(x) = C\ x^{d_1+\cdots+d_n-\binom{n}{2}} (1 + o(1))
\]
au voisinage de $0$.

10. Traiter le cas où pour tout $i = 1, \ldots, n$, on a $d_i \geq n-1$.}

11. On choisit un entier $a$ tel que pour tout $i = 1, \ldots, n$, on ait $d_i + a \geq n-1$.\\
En utilisant la question 3 avec $g(x) = x^a$, montrer (1).

12. En déduire que $W_n(f_1, \cdots, f_n)$ est non nulle au voisinage de $0$.

13. Montrer que $\Delta^{n-1}(X^n)$ est de la forme $aX + b$ avec $a \neq 0$, et en déduire que l’ensemble des solutions de l’équation est non vide et que $k(n) \leq n$.\\
On notera en particulier que $k(n)$ est fini.

14. Montrer que tout $g \in \mathbb{C}[X]$ peut s’écrire sous la forme
\[
g(X) = g_1^n(X) + \cdots + g_{k(n)}^n(X).
\]

15. Montrer que $k(2) = 2$.}

16. Montrer que pour $n \geq 3,\, n < k^2(n) - k(n)$. \\ Soit \[ X = f_1^n(X) + \cdots + f_{k(n)}^n(X) \] avec $f_i \in \mathbb{C}[X]$. On considère les Wronskiens $Z_1 = W_{k(n)}(f_1^n, \ldots, f_{k(n)}^n)$ et $Z_2 = W_{k(n)}(X, f_2^n, \ldots, f_{k(n)}^n)$. 17. Montrer que $Z_1 = Z_2$ puis que $Z_1$ n’est pas le polynôme nul. 18. Montrer que $Z_1$ est divisible par $\prod_{i=1}^{k(n)} f_i^{n-k(n)+1}$. 19. Montrer que \[ \operatorname{deg} Z_2 \le 1 + n \sum_{i=2}^{k(n)} \operatorname{deg} f_i - \frac{k(n)(k(n)-1)}{2}. \] 20. Déduire des questions 17 et 18 que \[ n\,\deg f_1 \leq (k(n)-1) \sum_{i=1}^{k(n)} \deg f_i - \frac{k(n)(k(n)-1)}{2} + 1. \] } 21. Montrer que $n < k^2(n) - k(n)$.}

FAQ

Quelle est la relation entre le déterminant de Vandermonde et le Wronskien pour des fonctions monômiales ?

Le Wronskien des fonctions monômiales $ (x \mapsto a_i x^{d_i}) $ est donné par $ V(d_1, \dots, d_n) \cdot x^{\sum d_i - \binom{n}{2}} \prod a_i $. Cela montre un lien profond entre l'algèbre linéaire et l'analyse, crucial pour les problèmes de dépendance linéaire en CPGE.

Comment se comporte le Wronskien lorsqu'on multiplie des fonctions par une fonction commune $ g $ ?

Si $ f_1, \dots, f_n $ sont $ (n-1) $-fois dérivables et $ g $ est $ (n-1) $-fois dérivable, alors $ W_n(f_1 g, \dots, f_n g) = g^n W_n(f_1, \dots, f_n) $. C'est un résultat clé pour simplifier les calculs de Wronskiens dans les équations différentielles.

Que peut-on dire de la nullité du Wronskien pour une famille de fonctions liées ?

Si $ f_1, \dots, f_n $ forment une famille liée dans $ C^{n-1}(I, \mathbb{R}) $, alors leur Wronskien $ W_n(f_1, \dots, f_n) $ est identiquement nul sur $ I $. C'est un critère fondamental pour étudier l'indépendance linéaire des solutions d'équations différentielles.

Comment montrer qu'une famille de fonctions est liée si leur Wronskien est nul ?

Si $ W_2(f_1, f_2) = 0 $ sur $ I $ et $ f_1 f_2 $ ne s'annule pas, alors $ f_1 $ et $ f_2 $ sont liées. C'est une application directe du théorème de structure des solutions d'équations différentielles linéaires d'ordre 2, très utile en analyse.

Peut-on avoir un Wronskien nul pour des fonctions libres ?

Oui ! Par exemple, $ f_1(x) = x^2 $ et $ f_2(x) = x|x| $ forment une famille libre dans $ C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}) $, mais leur Wronskien est nul en $ x = 0 $. Cela illustre la subtilité du lien entre Wronskien et indépendance linéaire.

Comment utiliser le Wronskien pour étudier la dépendance linéaire locale ?

Si $ W_n(f_1, \dots, f_n) = 0 $ sur $ I $, alors il existe un sous-intervalle $ J \subset I $ où les restrictions des $ f_i $ forment une famille liée. C'est une conséquence de la question 4 et du théorème des zéros isolés.

Comment transformer une famille de fonctions en une famille de fonctions avec des ordres distincts ?

On peut trouver une matrice inversible $ A $ telle que $ (f_1, \dots, f_n) A = (g_1, \dots, g_n) $, où les $ g_i $ ont des développements en série entière d'ordres distincts. Cela permet d'appliquer des résultats sur les Wronskiens comme dans la question 9.

Quel est le comportement asymptotique du Wronskien pour des fonctions développables en série entière ?

Pour des fonctions $ g_i $ d'ordres distincts $ d_i $, on a $ W_n(g_1, \dots, g_n)(x) \sim Cx^{\sum d_i - \binom{n}{2}} $ au voisinage de 0. C'est un résultat puissant pour l'analyse locale des solutions d'équations différentielles.

Comment traiter le cas où les ordres des fonctions sont grands ?

Si $ d_i \geq n-1 $ pour tout $ i $, on peut directement appliquer les résultats sur les Wronskiens. Sinon, on utilise une fonction $ g(x) = x^a $ pour ramener le problème à ce cas, comme dans la question 11.

Pourquoi le Wronskien est-il non nul au voisinage de 0 dans ce sujet ?

Grâce à la transformation par $ g(x) = x^a $ et à l'étude asymptotique, on montre que $ W_n(f_1, \dots, f_n) $ ne peut pas être identiquement nul au voisinage de 0. C'est une conséquence des questions 11 et 12.

Comment Prépa Booster peut-il t'aider à maîtriser ces concepts ?

Prépa Booster te propose des corrigés détaillés, des exercices ciblés et un dashboard personnalisé pour suivre tes progrès. Débloque les corrigés pour accéder à des ressources optimisées pour les concours comme Mines-Ponts !

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Corrigé : Mines Maths 2 PSI 2016

Questions du sujet

1. Montrer que la matrice $D = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ est quasi-nilpotente vue comme matrice de $M_2(\mathbb{R})$. Est-elle quasi-nilpotente vue comme matrice de $M_2(\mathbb{C})$ ?

2. Montrer que la matrice $B = \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}$ est quasi-nilpotente vue comme matrice de $M_2(\mathbb{C})$.

3. Montrer que $S_n(K)$, $A_n(K)$ et $T^{++}_n(K)$ sont des sous-espaces vectoriels de $M_n(K)$. Montrer que la dimension de $S_n(K)$ est $n(n + 1)/2$.

4. Montrer que $T^{++}_n(K)$ est quasi-nilpotent dans $M_n(K)$. Vérifier que $\dim T^{++}_n(K) = \frac{n(n-1)}{2}$.

5. Soit $A \in A_n(\mathbb{R})$. Montrer que pour tout $X \in M_{n,1}(\mathbb{R})$, ${}^tXAX = 0$. En déduire que $A_n(\mathbb{R})$ est quasi-nilpotent dans $M_n(\mathbb{R})$.}

6. Montrer qu'il n'existe pas de matrice inversible $P \in GL_n(\mathbb{R})$ telle que : $A_n(\mathbb{R}) = \{PMP^{-1} \mid M \in T^{++}_n(\mathbb{R})\}$.\\
\textit{Indication : on pourra commencer par étudier le cas $n=2$, en utilisant par exemple la matrice $D$ introduite à la question 1.}

7. Déterminer l'ensemble des matrices de $S_n(\mathbb{R})$ qui sont quasi-nilpotentes dans $M_n(\mathbb{R})$. Le résultat obtenu tient-il si l'on remplace $\mathbb{R}$ par $\mathbb{C}$ ?

8. Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $M_n(\mathbb{R})$, quasi-nilpotent dans $M_n(\mathbb{R})$. Déduire de la question précédente que : $\dim V \leq \frac{n(n-1)}{2}$.

9. Justifier que le lemme des colonnes est vrai dans le cas $n=1$.

10. Montrer que l'ensemble $K(V_0) = \{K(M) \mid M \in V_0\}$ est un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de $M_{n-1}(K)$.}

11. En déduire qu'il existe un entier $j \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket$ tel que $E_{n,j} \in V$.

12. Vérifier que $u_\sigma$ est inversible et préciser son inverse.

13. Vérifier que $P_\sigma$ est la matrice de $u_\sigma$ dans la base canonique de $K^n$. Montrer que $P_\sigma$ est inversible et préciser les coefficients de son inverse.

14. Pour $M \in M_n(K)$, préciser les coefficients de $P^{-1}_\sigma M P_\sigma$ en fonction de ceux de $M$ et de $\sigma$. \\
On pourra utiliser un changement de base.

15. Montrer que l'ensemble $V_\sigma = \{P^{-1}_\sigma M P_\sigma \mid M \in V\}$ est un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de $M_n(K)$ et que $C_j(V_\sigma) \neq \{0\}$ pour tout $j \in \llbracket 1, n \rrbracket$.}

16. En déduire que pour tout $j \in \llbracket 1, n \rrbracket$ on peut choisir un $f(j) \in \llbracket 1, n \rrbracket \setminus \{j\}$ tel que $E_{j,f(j)} \in V$. On obtient ainsi une fonction $f : \llbracket 1, n \rrbracket \rightarrow \llbracket 1, n \rrbracket$.

17. En considérant les images successives de $1$, montrer qu'il existe une suite finie $(j_1, \ldots, j_p)$ d’éléments deux à deux distincts de $\llbracket 1, n \rrbracket$ telle que $\forall k \in \llbracket 1, p-1\rrbracket$, $f(j_k) = j_{k+1}$ et $f(j_p) = j_1$.

18. Écrire un algorithme qui permette d’identifier une telle suite connaissant les valeurs de $f$.

19. Démontrer que $1$ est valeur propre de la matrice $N = \sum_{k=1}^p E_{j_k, f(j_k)}$, et conclure.

20. Montrer que : $\dim V \leq \dim K(W) + (n-1)$. (On suppose jusqu'à la question 21 incluse que $C_n(V) = \{0\}$.)}

21. En déduire que : $\dim V \leq \frac{n(n-1)}{2}$.

22. Démontrer que : $\dim V \leq \frac{n(n-1)}{2}$.}

FAQ

Qu'est-ce qu'une matrice quasi-nilpotente et comment le montrer pour une matrice donnée ?

Une matrice est quasi-nilpotente si son spectre est réduit à {0}. Pour la matrice D donnée, tu peux montrer que son polynôme caractéristique est X² + 1, qui n'a pas de racines réelles, donc D est quasi-nilpotente dans M₂(ℝ). En revanche, dans M₂(ℂ), elle a des valeurs propres ±i, donc elle n'est pas quasi-nilpotente. Pour approfondir, n'hésite pas à consulter les corrigés détaillés sur Prépa Booster !

Comment montrer qu'un sous-espace vectoriel de matrices est quasi-nilpotent ?

Pour montrer qu'un sous-espace vectoriel V de Mₙ(K) est quasi-nilpotent, il faut vérifier que toute matrice M ∈ V a un spectre réduit à {0}. Par exemple, pour T⁺⁺ₙ(K), les matrices strictement triangulaires supérieures, tu peux montrer que leurs valeurs propres sont toutes nulles. C'est un résultat classique en algèbre linéaire, et tu peux le retrouver dans les corrigés des concours comme Mines-Ponts.

Quelle est la dimension des sous-espaces vectoriels Sₙ(K), Aₙ(K) et T⁺⁺ₙ(K) ?

La dimension de Sₙ(K), l'espace des matrices symétriques, est n(n+1)/2. Pour Aₙ(K), l'espace des matrices antisymétriques, elle est n(n-1)/2. Enfin, T⁺⁺ₙ(K), l'espace des matrices strictement triangulaires supérieures, a aussi une dimension de n(n-1)/2. Ces résultats sont fondamentaux en algèbre linéaire et souvent utilisés dans les problèmes de réduction.

Pourquoi Aₙ(ℝ) est-il quasi-nilpotent dans Mₙ(ℝ) ?

Aₙ(ℝ), l'espace des matrices antisymétriques réelles, est quasi-nilpotent car pour toute matrice A ∈ Aₙ(ℝ), on a ^tXAX = 0 pour tout X ∈ Mₙ₌₁(ℝ). Cela implique que toutes les valeurs propres de A sont nulles, car si λ était une valeur propre non nulle, il existerait un vecteur propre X associé, et ^tXAX = λ||X||² ≠ 0, ce qui est contradictoire.

Comment aborder un problème de concours comme celui de Mines-Ponts en mathématiques ?

Pour aborder un problème de concours comme celui de Mines-Ponts, il faut d'abord bien lire l'énoncé et repérer les questions clés. Ensuite, tu peux commencer par les questions qui te semblent les plus accessibles pour gagner en confiance. N'hésite pas à utiliser des exemples simples (comme n=2) pour comprendre les concepts avant de généraliser. Enfin, pour t'entraîner efficacement, tu peux consulter les corrigés détaillés et les exercices supplémentaires disponibles sur Prépa Booster.

Quelle est la différence entre les matrices symétriques et antisymétriques ?

Les matrices symétriques vérifient ^tA = A, tandis que les matrices antisymétriques vérifient ^tA = -A. Les premières ont des propriétés spectrales intéressantes (valeurs propres réelles, diagonalisabilité), tandis que les secondes, comme vu dans le sujet, sont souvent quasi-nilpotentes. Ces notions sont essentielles en algèbre linéaire et en géométrie.

Comment utiliser le lemme des colonnes dans un problème de matrices ?

Le lemme des colonnes est un outil puissant pour étudier les sous-espaces vectoriels de matrices. Dans ce sujet, il est utilisé pour montrer l'existence de matrices élémentaires E_{i,j} dans un sous-espace quasi-nilpotent. L'idée est de raisonner par récurrence et d'utiliser des opérations sur les colonnes pour simplifier la matrice. C'est une technique classique en algèbre linéaire avancée.

Quels sont les enjeux des épreuves de mathématiques en CPGE scientifique ?

Les épreuves de mathématiques en CPGE scientifique, comme celles du concours Mines-Ponts, testent ta capacité à résoudre des problèmes complexes en temps limité. Elles évaluent ta maîtrise des concepts fondamentaux, ta rigueur et ta créativité. Pour réussir, il est crucial de bien comprendre les notions clés et de s'entraîner régulièrement sur des sujets variés. Les corrigés détaillés et les exercices supplémentaires peuvent t'aider à progresser efficacement.

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Corrigé : Mines Maths 1 PC 2016

Questions du sujet

1. Montrer que, pour tout $x \in ]-1, 1[$,
$$
\frac{1}{\sqrt{1 - x}} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{2k}{k} \frac{1}{4^k} x^k.
$$

2. Pour tout $p \in \mathbb{N}$, déterminer :
$$
\lim_{x \to 1^-} \sqrt{1 - x} \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{(p+1)k}.
$$

3. Pour tout $p \in \mathbb{N}$, justifier la convergence de l’intégrale
$$
\int_0^{+\infty} e^{-(p+1) t} \frac{dt}{\sqrt{t}}
$$
et calculer sa valeur. En déduire l’égalité :
$$
\lim_{x \to 1^-} \sqrt{1 - x} \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{(p+1)k} = \int_0^{+\infty} e^{-(p+1) t} \frac{dt}{\sqrt{t}}.
$$
On admettra que $\int_0^{+\infty} e^{-t} \frac{dt}{\sqrt{t}} = \sqrt{\pi}$.

4. Montrer que, pour toute application polynomiale réelle $Q$, on a :
$$
\lim_{x \to 1^-} \sqrt{1 - x} \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k Q(x^k) = \int_0^{+\infty} e^{-t} Q(e^{-t}) \frac{dt}{\sqrt{t}}.
$$

5. Justifier la convergence de l’intégrale
$$
\int_0^{+\infty} e^{-t} \frac{1}{\sqrt{t}} h(e^{-t}) dt
$$
et donner sa valeur.}

6. Soit $x \in [0, 1[$. Justifier la convergence de la série de terme général $a_k x^k h(x^k)$.

7. On admet l’égalité (dite de Karamata) :
$$
\lim_{x \to 1^-} \sqrt{1 - x} \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k h(x^k) = \int_0^{+\infty} e^{-t} h(e^{-t}) \frac{dt}{\sqrt{t}}.
$$
En utilisant ce résultat pour $x = e^{-\frac{1}{n}}$, en déduire que
$$
\sum_{k=0}^n a_k \sim_{n \to \infty} 2\sqrt{n}.
$$

8. Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ décroissante de réels positifs et, pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n = \sum_{k=0}^n a_k$. On fait l’hypothèse que $S_n \sim_{n\to\infty} 2 \sqrt{n}$. On va montrer qu'alors $a_n \sim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$. On notera $[x]$ la partie entière d’un réel $x$.

9. Soit $\alpha, \beta$ un couple de nombres réels vérifiant : $0 < \alpha < 1 < \beta$. Pour tout entier naturel $n$ tel que $n - [\alpha n]$ et $n - [\beta n]$ soient non nuls, justifier l’encadrement : $$ \frac{S_{[\beta n]} - S_n}{[\beta n] - n} \leq a_n \leq \frac{S_n - S_{[\alpha n]}}{n - [\alpha n]}. $$ 10. Soit $\gamma$ un réel strictement positif. Déterminer les limites des suites de termes généraux $$ \frac{n}{[\gamma n]} \quad\text{et}\quad \frac{S_{[\gamma n]}}{\sqrt{n}}. $$} 11. Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ assez grand, on a : $$ 2(\sqrt{\beta} - 1)/(\beta - 1) - \varepsilon \leq \sqrt{n} a_n \leq 2(1 - \sqrt{\alpha})/(1 - \alpha) + \varepsilon. $$ 12. En déduire que $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt{n} a_n = 1$. 13. On considère $\Omega = \mathbb{Z}^{\mathbb{N}^*}$ l’ensemble des suites indexées par $\mathbb{N}^*$ à valeurs dans $\mathbb{Z}$. On admet que l’on peut construire une tribu $\mathcal{B}$ et une mesure de probabilité $\mathbb{P}$ sur $\Omega$, de sorte que les $X_i$ soient des variables aléatoires indépendantes et de même loi donnée par $$ \mathbb{P}(X_1 = 1) = \mathbb{P}(X_1 = -1) = \frac{1}{2}. $$ On définit la suite de variables aléatoires $(S_n, n \geq 0)$ par $S_0 = 0$, $S_n(\omega) = \sum_{i=1}^n X_i(\omega)$. On définit enfin la variable aléatoire $T$ par : $$ T : \Omega \rightarrow \mathbb{N}^* = \mathbb{N}^* \cup \{+\infty\},\quad \omega \mapsto \begin{cases} +\infty &\text{si}\ S_n(\omega) \neq 0,\ \forall n \geq 1,\\ \inf\{ n \geq 1\mid S_n(\omega) = 0 \} &\text{ s’il existe $n \geq 1$ tel que $S_n(\omega) = 0$}. \end{cases} $$ Pour tout entier naturel $n$, on note $E_n = \{T > n\}$, pour $n \geq 1$, $A^n_n = \{S_n = 0\}$ et pour $k \in \{0, \dots, n-1\}$,
$$
A^n_k = \{ S_k = 0 \} \cap \bigcap_{i = k + 1}^n \{ S_i \neq 0 \}.
$$
Montrer pour tout $1 \leq k < n$, pour tout $(i_1, \dots, i_{n-k}) \in \{-1, 1\}^{n-k}$, $$ \mathbb{P}\left( X_{k+1} = i_1, \dots, X_n = i_{n-k} \right) = \mathbb{P}\left( X_1 = i_1, \dots, X_{n-k} = i_{n-k} \right). $$ 14. Montrer pour tout $1 \leq k < n$, pour tout $(j_1, \dots, j_{n-k}) \in \mathbb{Z}^{n-k}$ que $$ \mathbb{P}\left( S_{k+1} - S_k = j_1, \dots, S_n - S_k = j_{n-k} \right) = \mathbb{P}\left( S_1 = j_1, \dots, S_{n-k} = j_{n-k} \right). $$ Indication : on pourra considérer l’application $$ \theta : \mathbb{Z}^{n-k} \rightarrow \mathbb{Z}^{n-k},\quad (z_1, \dots, z_{n-k}) \mapsto (z_1, z_1 + z_2, \dots, \sum_{j=1}^{n-k} z_j). $$ 15. En déduire que pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$ $$ \mathbb{P}(A^n_k) = \mathbb{P}(S_k = 0) \mathbb{P}(E_{n-k}). $$} 16. Montrer l’égalité : $$ 1 = \sum_{k=0}^n \mathbb{P}(S_k = 0)\mathbb{P}(E_{n-k}). $$ 17. Pour tout réel $x$ de $]0,1[$, établir l’égalité : $$ \frac{1}{1-x} = \left[\sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(S_n = 0)x^n\right] \left[\sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(E_n)x^n\right]. $$ 18. Pour tout entier naturel $n$, calculer $\mathbb{P}(S_n = 0)$.\\ Indication : on discutera suivant la parité de $n$. 19. En déduire que, pour tout $x \in ]0, 1[$, on a : $$ \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(E_n)x^n = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}. $$ 20. À l’aide des résultats obtenus dans les parties précédentes déterminer, quand l’entier naturel $n$ tend vers l’infini, un équivalent de $\mathbb{P}(E_n)$.} 21. Montrer que l’on a : $\mathbb{P}(T = +\infty) = 0$. 22. Pour tout réel $x \in [0,1]$, prouver l’égalité : $$ \frac{1 - \sqrt{1 - x}}{2} = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(T = n)x^n. $$ 23. En déduire que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $$ \mathbb{P}(T = 2n) = \frac{1}{2n - 1} \binom{2n}{n} \frac{1}{4^n}. $$ }

FAQ

Comment démontrer le développement en série entière de $ \frac{1}{\sqrt{1 - x}} $ pour $ x \in ]-1, 1[ $ ?

Pour démontrer ce développement, on utilise la formule du binôme généralisé. On écrit $ \frac{1}{\sqrt{1 - x}} = (1 - x)^{-1/2} $, puis on applique la série binomiale pour $ \alpha = -1/2 $. Les coefficients $ \binom{-1/2}{k} $ se simplifient en $ \binom{2k}{k} \frac{1}{4^k} $, ce qui donne la série demandée. Tu peux retrouver cette démonstration détaillée dans le corrigé de l'épreuve, accessible en débloquant les corrigés sur Prépa Booster !

Quelle est la limite $ \lim_{x \to 1^-} \sqrt{1 - x} \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{(p+1)k} $ et comment la calculer ?

Cette limite est liée à l'intégrale $ \int_0^{+\infty} e^{-(p+1) t} \frac{dt}{\sqrt{t}} $. Pour la calculer, on utilise un changement de variable et le fait que $ \int_0^{+\infty} e^{-t} \frac{dt}{\sqrt{t}} = \sqrt{\pi} $. Le résultat final est $ \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{p+1}} $. Pour une explication complète, consulte le corrigé détaillé sur Prépa Booster !

Comment justifier la convergence de l'intégrale $ \int_0^{+\infty} e^{-(p+1) t} \frac{dt}{\sqrt{t}} $ ?

Cette intégrale converge car l'intégrande $ e^{-(p+1) t} \frac{1}{\sqrt{t}} $ est intégrable en $ 0^+ $ (comportement en $ t^{-1/2} $) et en $ +\infty $ (décroissance exponentielle). On peut la calculer en effectuant le changement de variable $ u = (p+1)t $, ce qui ramène l'intégrale à une forme connue. Pour plus de détails, débloque les corrigés sur Prépa Booster !

Comment généraliser le résultat à une fonction polynomiale $ Q $ dans la limite $ \lim_{x \to 1^-} \sqrt{1 - x} \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k Q(x^k) $ ?

On utilise la linéarité de la limite et le fait que $ Q $ est une combinaison linéaire de monômes. Chaque terme $ x^k Q(x^k) $ peut être traité séparément en utilisant les résultats précédents. La limite se ramène alors à une intégrale faisant intervenir $ Q(e^{-t}) $. Pour une démonstration complète, consulte le corrigé sur Prépa Booster !

Comment montrer que $ \sum_{k=0}^n a_k \sim_{n \to \infty} 2\sqrt{n} $ en utilisant l'égalité de Karamata ?

On utilise l'égalité de Karamata avec $ x = e^{-1/n} $ et on fait tendre $ n $ vers l'infini. Le terme $ \sqrt{1 - x} $ se comporte comme $ \frac{1}{\sqrt{n}} $, et la somme $ \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k h(x^k) $ est approchée par une intégrale. En combinant ces éléments, on obtient l'équivalent $ 2\sqrt{n} $. Pour une explication détaillée, débloque les corrigés sur Prépa Booster !

Comment encadrer $ a_n $ en utilisant les parties entières $ [\alpha n] $ et $ [\beta n] $ ?

On utilise la décroissance de la suite $ (a_n) $ et on encadre $ a_n $ en fonction des sommes partielles $ S_n $. En choisissant $ \alpha $ et $ \beta $ convenablement, on obtient un encadrement qui permet de montrer que $ a_n \sim \frac{1}{\sqrt{n}} $. Pour une démonstration complète, consulte le corrigé sur Prépa Booster !

Comment calculer $ \mathbb{P}(S_n = 0) $ pour une marche aléatoire symétrique ?

Pour une marche aléatoire symétrique, $ \mathbb{P}(S_n = 0) $ est non nul seulement si $ n $ est pair. Dans ce cas, on utilise la formule $ \mathbb{P}(S_{2n} = 0) = \binom{2n}{n} \frac{1}{2^{2n}} $. Ce résultat est crucial pour la suite du problème. Pour une explication détaillée, débloque les corrigés sur Prépa Booster !

Comment établir la relation $ \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(E_n)x^n = \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} $ ?

On utilise la relation $ \frac{1}{1 - x} = \left( \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(S_n = 0)x^n \right) \left( \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(E_n)x^n \right) $ et le fait que $ \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{P}(S_n = 0)x^n = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $. En combinant ces résultats, on obtient l'expression demandée. Pour une démonstration complète, consulte le corrigé sur Prépa Booster !

Comment trouver un équivalent de $ \mathbb{P}(E_n) $ quand $ n $ tend vers l'infini ?

On utilise le développement asymptotique de $ \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} $ au voisinage de $ x = 1 $. En utilisant un équivalent de $ \mathbb{P}(E_n) $ lié à $ \frac{1}{\sqrt{\pi n}} $, on obtient le comportement asymptotique recherché. Pour une explication détaillée, débloque les corrigés sur Prépa Booster !

Comment montrer que $ \mathbb{P}(T = +\infty) = 0 $ pour une marche aléatoire symétrique ?

On utilise le fait que $ \mathbb{P}(E_n) $ décroît comme $ \frac{1}{\sqrt{n}} $, ce qui implique que la série $ \sum \mathbb{P}(E_n) $ diverge. Par le lemme de Borel-Cantelli, cela montre que l'événement $ \{T = +\infty\} $ a une probabilité nulle. Pour une démonstration complète, consulte le corrigé sur Prépa Booster !

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Corrigé : Mines Maths 1 PSI 2016