L’intégration est l’une des opérations fondamentales en mathématiques, jouant un rôle essentiel dans le calcul intégral et l’analyse. Elle permet de déterminer l’aire sous une courbe, d’accumuler des quantités continues, et de résoudre divers problèmes en physique et en ingénierie. Sur cette page, vous trouverez divers exercices pour vous entrainer.
Exercices libres de Mathématiques sur l’intégration
Exercice 1 : Convergence de $\int_0^1 \frac{\ln \left(1-x^2\right)}{x^2} \mathrm{~d} x$
Par IPP, montrer la convergence et calculer la valeur exacte de $\int_0^1 \frac{\ln \left(1-x^2\right)}{x^2} \mathrm{~d} x$.
Indication
Correction
Exercice 2 : Calcul de la limite d’un produit
Calculer $\lim {n \rightarrow+\infty} \prod{k=1}^n\left(1+\frac{k^2}{n^2}\right)^{1 / n}$.
Indication
Correction
Exercices sur l’intégration posés aux oraux XENS
Exercice 1 : Intégrale d’une fonction décroissante continue par morceaux
Soit \( h: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction décroissante continue par morceaux telle que \( \int_0^{+\infty} h(t) \, dt \) converge.
a) Montrer que \( h \) est à valeurs positives.
b) Montrer que \( \sum_{n \geqslant 0} h(n t) \) converge pour tout réel \( t > 0 \).
Correction
Exercice 2 : Étude d’une partie non vide et bornée de R
Soit $C$ une partie non vide et bornée de $\mathbb{R}$.
a. Montrer qu’il existe une suite $\left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ d’éléments de $C$ qui converge vers $\operatorname{Sup}(C)$.
On pose :
b. Montrer que $X$ admet une borne inférieure et une borne supérieure.
c. Exprimer $\operatorname{Sup}(X)$ en fonction de $\operatorname{Sup}(C)$ et de $\operatorname{Inf}(C)$.
Correction
Cet exercice a été posé aux de l’ENS.
Exercice 3 : Limite en 0 d’une fonction C1, intégrable et bornée sur R+
Soit une fonction $\mathrm{f}: \mathbb{R}{+} \rightarrow \mathbb{R}{+}$, de classe $\mathrm{C}^1$ et intégrable sur $\mathbb{R}{+}$telle que $\mathrm{f}^{\prime}$ est bornée sur $\mathbb{R}{+}$. Montrer que $f$ tend vers 0 en $+\infty$.
Correction
Exercice posé aux oraux de l’X.
Exercice 4 : Convergence d’une intégrale en fonction des valeurs de alpha
Déterminer la convergence de l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{t^\alpha \mathrm{dt}}{1+\mathrm{t}}$ selon les valeurs de $\alpha \in \mathbb{R}$.
Correction
Cet exercice a été posé aux oraux de l’ENS Cachan.
Exercices sur l’intégration posés aux oraux Mines Ponts
Exercice 1 : Étude d’une fonction vérifiant f(xy)=f(x)+f(y)
Soit une fonction continue $f:] 0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ telle que $\forall(x, y) \in] 0 ;+\infty\left[{ }^2, f(x y)=f(x)+f(y)\right.$
a. Calculer $f(1)$. Pour $x \in] 0 ;+\infty\left[\right.$, comparer $f(x)$ et $f\left(\frac{1}{x}\right)$.
b. Montrer que $\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, f(x)=\frac{1}{x} \int_x^{2 x} f(t) d t-\int_1^2 f(t) d t\right.$.
c. Montrer que f est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ et en déduire f .
Correction
Exercice 2 : Existence d’un lambda qui assure la convergence de l’intégrale.
a) Montrer qu’il existe un unique $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\int_1^{+\infty} \frac{\lambda – \sin(t)}{t} \, dt$ converge.
Considérons $T > 0$ et soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue et $T$-périodique.
b) Montrer qu’il existe un unique $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\int_1^{+\infty} \frac{\lambda – f(t)}{t} \, dt$ converge.
Correction
Exercices sur l’intégration posés aux oraux Centrale
Exercice 1 : Continuité en 0 de l’intégrale de tsin(xt)/(1+t**2)
On admet la convergence de l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin (t)}{t} \, dt$, dont la valeur est notée $I$.
On définit, si elle converge, la fonction $f(x) = \int_0^{+\infty} \frac{t \sin (x t)}{1 + t^2} \, dt$.
a) Montrer que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
b) Déterminer $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = I$ et calculer la limite de $f$ en $+\infty$.
c) Établir que $I = \sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k \int_0^\pi \frac{\sin (u)}{u + k \pi} \, du$.
d) En conclure que $f$ n’est pas continue en $0$.
Correction
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