Étude de la convergence d’une série en fonction de $a$
Soit $a > 0$, et définissons la suite $u_n = n! \prod_{k=1}^{n} \ln \left(1 + \frac{a}{n}\right)$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.
a. Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ en fonction de la valeur de $a$.
b. Montrer que pour tout $x \in ] 0 ; 1], \ln(1 + x) \geqslant x – x^2$.
c. En déduire la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ lorsque $a = 1$.
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Exercice : Dénombrabilité des parties de $N$
Montrer que l’ensemble des parties finies de $\mathbb{N}$ est dénombrable.
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Exercice : Critères de convergence pour les séries alternées et les séries à termes décroissants
Soient deux réels $\alpha$ et $\beta$.
a. À quelle condition la série $\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n^\alpha}$ converge ? Si c’est le cas, quel est le signe de $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^\alpha}$ ?
b. À quelle condition la série $\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^\beta}$ converge ? Si c’est le cas, montrer que $\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^\beta} \sim \frac{1}{+\infty} \frac{1}{(\beta-1) n^{\beta-1}}$.
c. Sous ces conditions, quand la série de terme général $w_n=\frac{\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^\beta}}{\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k^\alpha}}$ converge-t-elle ?
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Exercice : Valeurs propres et vecteurs propres de l’opérateur de translation
Soit $E = \{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f \text{ est continue et } \lim_{x \to +\infty} f(x) \text{ existe et est finie} \}$.
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme $T$ défini sur $E$ par :
$$
\forall x \in \mathbb{R}, T(f)(x)=f(x+1) .
$$
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Exercice : Étude d’une application linéaire et de ses sous-espaces propres
Soit $f : \mathbb{C}_n[X] \to \mathbb{C}_n[X]$ définie par
$$
f(P) = (X^2 + X) P(1) + (X^2 – X) P(-1),
$$
où $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{C}_n[X]$.
- Déterminer le noyau et l’image de $f$.
- Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $f$. L’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?
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Exercice : Diagonalisabilité d’une matrice antisymétrique dans $\mathscr{M}_4(\mathbb{R})$ et $\mathscr{M}_4(\mathbb{C})$
Soit
- Calculer $M^3$.
- La matrice $M$ est-elle diagonalisable dans $\mathscr{M}_4(\mathbb{R})$ ? Dans $\mathscr{M}_4(\mathbb{C})$ ?