Continuité en 0 de l’intégrale de tsin(xt)/(1+t**2)
On admet la convergence de l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin (t)}{t} \, dt$, dont la valeur est notée $I$.
On définit, si elle converge, la fonction $f(x) = \int_0^{+\infty} \frac{t \sin (x t)}{1 + t^2} \, dt$.
a) Montrer que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
b) Déterminer $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = I$ et calculer la limite de $f$ en $+\infty$.
c) Établir que $I = \sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k \int_0^\pi \frac{\sin (u)}{u + k \pi} \, du$.
d) En conclure que $f$ n’est pas continue en $0$.
Correction
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Exercice : Dénombrabilité des parties de $N$
Montrer que l’ensemble des parties finies de $\mathbb{N}$ est dénombrable.
Indication
Correction
Exercice : Critères de convergence pour les séries alternées et les séries à termes décroissants
Soient deux réels $\alpha$ et $\beta$.
a. À quelle condition la série $\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n^\alpha}$ converge ? Si c’est le cas, quel est le signe de $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^\alpha}$ ?
b. À quelle condition la série $\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^\beta}$ converge ? Si c’est le cas, montrer que $\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^\beta} \sim \frac{1}{+\infty} \frac{1}{(\beta-1) n^{\beta-1}}$.
c. Sous ces conditions, quand la série de terme général $w_n=\frac{\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^\beta}}{\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k^\alpha}}$ converge-t-elle ?
Indication
Correction
Exercice : Valeurs propres et vecteurs propres de l’opérateur de translation
Soit $E = \{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f \text{ est continue et } \lim_{x \to +\infty} f(x) \text{ existe et est finie} \}$.
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme $T$ défini sur $E$ par :
$$
\forall x \in \mathbb{R}, T(f)(x)=f(x+1) .
$$
Indication
Correction
Exercice : Étude d’une application linéaire et de ses sous-espaces propres
Soit $f : \mathbb{C}_n[X] \to \mathbb{C}_n[X]$ définie par
$$
f(P) = (X^2 + X) P(1) + (X^2 – X) P(-1),
$$
où $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{C}_n[X]$.
- Déterminer le noyau et l’image de $f$.
- Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $f$. L’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?
Indication
Correction
Exercice : Diagonalisabilité d’une matrice antisymétrique dans $\mathscr{M}_4(\mathbb{R})$ et $\mathscr{M}_4(\mathbb{C})$
Soit
- Calculer $M^3$.
- La matrice $M$ est-elle diagonalisable dans $\mathscr{M}_4(\mathbb{R})$ ? Dans $\mathscr{M}_4(\mathbb{C})$ ?