Questions du sujet
1. 1. En assimilant l’aiguille à un fil infini, établir l’expression du champ électrostatique $\vec{E}(M)$ produit par l’aiguille en fonction de $\lambda$, $\varepsilon_0$ et $r$.1. 2. En déduire, à une constante additive près, le potentiel électrostatique $V(M)$ produit par l’aiguille.
1. 3. Justifier que le mouvement est plan. En utilisant le théorème du moment cinétique, déterminer l’expression de $\dot{\theta} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ en fonction de $r$, $r_0$ et $v_0$.
1. 4. Montrer que l’énergie mécanique de la goutte peut s’exprimer sous la forme suivante : \[ E_m = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + E_{p,\text{eff}}(r) , \] où $E_{p,\text{eff}}(r) = \frac{\alpha}{r^2} + \beta \ln r$ et $\dot{r} = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}$. On explicitera les constantes positives $\alpha$ et $\beta$ en fonction de $\varepsilon_0$, $m$, $r_0$, $v_0$, $q$ et $\lambda$.
1. 5. Tracer, en la justifiant, l’allure de l’énergie potentielle effective $r \mapsto E_{p,\text{eff}}(r)$. Conclure sur la nature des mouvements possibles de la goutte et sur l’existence d’états de diffusion.}
1. 6. On s’intéresse au cas d’un mouvement circulaire de rayon $r_0$. Établir l’expression de la vitesse de la goutte autour de l’aiguille en fonction de $q$, $\lambda$, $m$ et $\varepsilon_0$, indépendamment de $r_0$. Conclure sur la stabilité de la trajectoire.
1. 7. Décrire le mouvement. On constate que si $\dot{z}(0)$ n’est « pas trop grand », la goutte arrivée au bout de l’aiguille peut effectuer des allers-retours le long de l’aiguille. Expliquer cette observation et préciser ce que signifie « pas trop grand » dans ce contexte.
1. 8. Rappeler la définition et l’interprétation du nombre de \textsc{Reynolds}. Par un calcul d’ordre de grandeur, préciser et justifier le choix de la force de frottement.
1. 9. On réalise l’approximation suivante : la trajectoire est considérée comme localement circulaire, c’est-à-dire que sur un tour, $r(t) \approx \text{cste}$. En déduire que $v$ est une constante et donner son expression en fonction de $q$, $\lambda$, $\varepsilon_0$ et $m$.
1. 10. La goutte tend tout de même à s’écraser sur l’aiguille à cause de la force de frottement. Exprimer la puissance instantanée, notée $\mathcal{P}$, cédée par cette force à la goutte d’eau. Par un bilan d’énergie mécanique, montrer que le rayon de la trajectoire obéit à l’équation différentielle \[ \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = -\frac{r}{\tau}, \] où $\tau$ est une grandeur à exprimer en fonction de $k_1$ ou $k_2$, et $m$.}
1. 11. En déduire la loi d’évolution $r(t)$. Évaluer numériquement la durée de chute de la goutte et commenter le résultat.
1. 12. Calculer la variation relative de rayon au début de la trajectoire lorsque la goutte a effectué un tour autour de l’aiguille. Commenter la validité de l’approximation réalisée à la question 9.
1. 13. On examine dans cette question la faisabilité de cette expérience sur Terre. Dans le cas du mouvement circulaire étudié précédemment, comparer en norme la force exercée par l’aiguille sur la goutte au poids que subirait la goutte sur Terre. Conclure quant à la faisabilité de cette expérience sur Terre.
1. 14. Exprimer $\delta N$ en fonction de $\mathrm{d}S$ et $r_0$. Déterminer l’expression de la force $\delta F$ et en déduire l’expression du module de \textsc{Young} $E$ en fonction des paramètres microscopiques $k$ et $r_0$.
1. 15. Donner un ordre de grandeur du paramètre de maille d’un métal. Pour une liaison métallique pure, on donne $k \in [15, 40]\text{ N}\cdot\text{m}^{-1}$. En déduire une estimation numérique de $E$. Comparer à la valeur tabulée de l’aluminium.}
1. 16. Justifier que la largeur de la tranche à l’instant $t$ reste approximativement égale à $\mathrm{d}x$, puis déterminer la résultante des forces exercées sur la tranche considérée de la part des tranches adjacentes.
1. 17. Montrer que la perturbation $\xi(x, t)$ obéit à l’équation de \textsc{d’Alembert}. Exprimer la célérité $c$ associée en fonction de $E$ et $\rho$, et vérifier sa dimension.
1. 18. Calculer numériquement $c$ dans le cas de l’aluminium.
1. 19. Pour de petites déformations, montrer que la variation relative de volume s’écrit \[ \frac{\delta V}{V} = \varepsilon(1 – 2\nu) . \] En déduire la valeur de $\nu$ pour un matériau parfaitement incompressible.
1. 20. Déterminer la relation de dispersion $\omega = f(K)$, puis les vitesses de phase $v_\varphi$ et de groupe $v_g$ de ces ondes en fonction de $\omega$, $D$, $\rho$ et $h$. Expliquer, en justifiant, si les ondes se propagent avec ou sans dispersion, avec ou sans atténuation.}
1. 21. Établir l’expression mathématique de $K_x$ et $K_y$ et montrer que ces grandeurs sont quantifiées par des entiers naturels, notés respectivement $m$ et $n$. En déduire les pulsations propres $\omega_{mn}$ en fonction de $E$, $\rho$, $\nu$, $h$, $a$, $m$ et $n$.
1. 22. Pour une onde stationnaire harmonique (monochromatique) solution de l’équation de \textsc{d’Alembert}, rappeler l’expression de la distance entre deux nœuds de vibration consécutifs en fonction de la longueur d’onde $\lambda$. En estimant numériquement l’écart moyen entre deux lignes nodales voisines sur l’une des photos de la figure 4, montrer que le modèle décrit dans la sous-partie II.A est à exclure.
1. 23. Analyser la cohérence des résultats avec le modèle. Expliquer les origines des éventuels écarts au modèle.
1. 24. Comparer quantitativement l’ajustement tiré des résultats expérimentaux de la figure 6 et la relation de dispersion trouvée à la question 20. Conclure.
1. 25. Proposer une hypothèse permettant d’assurer que l’agitation thermique de l’air ne va pas perturber l’observation d’une figure de \textsc{Chladni} dans ce cas de figure.}
1. 26. Rappeler l’ordre de grandeur de la célérité du son dans l’air dans les conditions usuelles de température et de pression. En supposant des transferts thermiques purement conductifs, vérifier la validité de l’hypothèse précédente à partir d’un raisonnement en ordre de grandeur.
1. 27. En utilisant le théorème de \textsc{Gauss}, déterminer l’expression du champ électrique $\vec{E}(M)$ à une distance $r < R$. En déduire que la force électrique subie par l'électron peut s'écrire sous la forme d'une force de rappel élastique de longueur à vide nulle et de constante de raideur $k$, dont l'expression sera donnée en fonction de $e$, $\varepsilon_0$ et $R$.
1. 28. On suppose qu’à $t = 0$ l’électron se situe à une distance $r_0$ du centre O, barycentre des charges positives, et sans vitesse initiale. En l’absence de toute autre force, montrer que $r(t) = r_0 \cos(\omega_0 t)$. On donnera l’expression de la pulsation propre $\omega_0$.
1. 29. Dans ce modèle, on admet que le mouvement de l’électron engendre une onde électromagnétique, à l’origine des raies spectrales de l’atome. Donner un ordre de grandeur numérique de la constante de raideur $k$ pour une raie spectrale dans le visible.
1. 30. Exprimer l’énergie mécanique $E_m$ de l’électron à $t = 0$ et à une date quelconque $t$.}
1. 31. Après avoir exprimé $\mathcal{P}(t)$ en fonction de l’énergie mécanique $E_m(t)$ et de quantités constantes, établir l’équation différentielle vérifiée par $E_m(t)$.
1. 32. En déduire l’expression de la durée caractéristique $\tau_0$ de variation de l’énergie mécanique. Expliquer pourquoi $\tau_0$ est appelé « temps de vie de l’état excité » d’un atome et donner un ordre de grandeur numérique de $\tau_0$.
1. 33. Donner la condition permettant de négliger la composante magnétique de la force de \textsc{Lorentz} devant la composante électrique. On suppose cette condition réalisée dans la suite de l’étude. Justifier que le champ électrique associé au laser peut s’écrire $\vec{E}(\vec{r}, t) \simeq \vec{E}(\vec{0}, t) = \vec{E}_0 \cos(\omega t)$.
1. 34. Établir l’expression complexe de $\underline{r}(t)$ en fonction de $\omega$, $\omega_0$, $e$, $m$ et $\tau_0$ notamment. En déduire l’expression complexe du moment dipolaire induit $\underline{\vec{p}}$.
1. 35. Exprimer la polarisabilité complexe $\underline{\alpha}(\omega)$. Montrer que dans le cadre de l’approximation $|\delta| \ll \omega_0$, $\alpha’$ et $\alpha”$ peuvent se mettre sous la forme suivante : \[ \alpha’ = -\frac{\alpha_0}{2}\frac{\omega_0\delta}{\delta^2 + \Gamma^2/4} \quad \text{et} \quad \alpha” = \frac{\alpha_0}{2}\frac{\omega_0\Gamma/2}{\delta^2 + \Gamma^2/4} . \] On exprimera $\alpha_0$ en fonction de $e$, $m$, $\varepsilon_0$ et $\omega_0$, et $\Gamma$ en fonction de $\tau_0$.}
1. 36. Déterminer la dimension de $\alpha_0$. Proposer une interprétation physique de cette grandeur.
1. 37. Représenter l’allure de la norme de $\vec{F}$ en fonction du désaccord $\delta$.
1. 38. On définit l’intervalle de pulsation $\Delta\omega = \omega_+ – \omega_-$ tel que $F(\omega_\pm) = F_{\text{max}}/2$. Déterminer l’expression de $\Delta\omega$ en fonction de $\tau_0$.
1. 39. Comparer la norme de la force $\vec{F}$ à l’action de la pesanteur sur un atome de Rubidium, pour $I = I_{\text{sat}}$ et à la résonance.
1. 40. En supposant le gaz d’atomes porté à une température de $1\,000\text{ K}$, établir l’expression de la vitesse quadratique moyenne de ces atomes et l’estimer numériquement.}
1. 41. Exprimer la période $T’ = t’_2 – t’_1$ perçue par l’atome en fonction des distances source-atome aux dates $t’_2$ et $t’_1$, notées respectivement $SR(t’_2)$ et $SR(t’_1)$, de $T$ et de la célérité des ondes $c$.
1. 42. La vitesse de déplacement $v$ de l’atome par rapport à la source étant petite par rapport à la célérité $c$ de la lumière ($v \ll c$), les impulsions reçues par le récepteur sont infiniment rapprochées. À partir d’un développement limité en $t’_2 – t’_1$ et en introduisant le vecteur unitaire $\vec{u}$ dirigé de la source vers l’atome, montrer que la pulsation $\omega’$ perçue par l’atome s’écrit \[ \omega’ = \omega \left( 1 – \frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{c} \right) . \]
1. 43. On se place à une dimension. Quels atomes sont susceptibles d’être ralentis par le laser ? Ce processus de ralentissement permet-il de les immobiliser complètement ?}
FAQ
Quelles sont les notions clés en électrostatique abordées dans ce sujet de physique PSI ?
Ce sujet de physique PSI met l’accent sur plusieurs piliers de l’électrostatique, notamment :
- Le champ et le potentiel créés par une distribution linéique de charges : tu vas manipuler la loi de Coulomb pour un fil infini, en utilisant le théorème de Gauss pour établir l’expression du champ électrique. C’est une application directe du cours, mais avec une subtilité sur la constante additive du potentiel.
- L’énergie potentielle effective : tu vas découvrir comment combiner énergie cinétique et potentielle pour analyser des mouvements sous l’effet de forces centrales. Ici, c’est l’interaction électrostatique qui domine, avec une énergie potentielle en ln(r) et en 1/r².
- Les trajectoires et la stabilité : le sujet te demande de tracer l’énergie potentielle effective pour en déduire la nature des mouvements (liés ou de diffusion). C’est une compétence essentielle pour les problèmes de mécanique céleste ou de physique des particules.
Comment le théorème du moment cinétique est-il utilisé dans ce problème ?
Le théorème du moment cinétique est ici un outil puissant pour simplifier l’étude du mouvement d’une goutte chargée autour d’une aiguille. Voici ce que tu dois retenir :
- Conservation du moment cinétique : comme la force électrostatique est centrale (dirigée vers l’aiguille), le moment cinétique se conserve. Cela te permet de relier directement θ̇ (la vitesse angulaire) à r (la distance radiale), sans avoir à résoudre des équations différentielles complexes.
- Mouvement plan : la conservation du moment cinétique implique que la trajectoire reste dans un plan. C’est une hypothèse que tu dois toujours justifier en mécanique des forces centrales !
- Expression de θ̇ : en utilisant la conservation du moment cinétique, tu obtiens une relation entre θ̇, r, r₀ et v₀. Cette expression est cruciale pour la suite, car elle te permet de réécrire l’énergie mécanique en fonction de r uniquement.
Pourquoi l’énergie potentielle effective est-elle si importante dans ce sujet ?
L’énergie potentielle effective (Ep,eff) est un concept central en physique des systèmes conservatifs, et ce sujet l’illustre parfaitement. Voici pourquoi elle est incontournable :
- Réduction du problème à 1D : grâce à la conservation du moment cinétique, tu peux exprimer l’énergie mécanique uniquement en fonction de r et ṙ. L’énergie potentielle effective regroupe alors l’énergie potentielle réelle et un terme centrifuge (α/r²).
- Analyse qualitative des mouvements : en traçant Ep,eff(r), tu peux déterminer si la trajectoire est liée (mouvement périodique) ou de diffusion (la goutte s’échappe à l’infini). C’est une méthode graphique que tu dois maîtriser pour les concours !
- Stabilité des trajectoires circulaires : le sujet te demande d’étudier la stabilité d’une orbite circulaire. Pour cela, tu analyses les minima de Ep,eff : si le minimum est prononcé, la trajectoire est stable ; sinon, elle est instable.
Quels sont les pièges à éviter avec les forces de frottement dans ce problème ?
Les forces de frottement sont souvent sources d’erreurs en PSI, surtout quand elles interviennent dans des systèmes dynamiques comme ici. Voici les pièges à anticiper :
- Choix du modèle de frottement : le sujet te demande de justifier le modèle utilisé (frottement fluide en k₁v ou k₂v²) via le nombre de Reynolds. Tu dois savoir calculer ce nombre et en déduire le régime (laminaire ou turbulent).
- Puissance instantanée : la puissance cédée par la force de frottement n’est pas toujours intuitive. Ici, tu dois exprimer 𝒫 = F·v et l’intégrer dans un bilan d’énergie mécanique pour obtenir une équation différentielle sur r(t).
- Approximation locale : la question 9 suppose que la trajectoire est localement circulaire (r ≈ cste sur un tour). Cette approximation est valable si la variation de r est lente devant la période de rotation. Tu dois savoir la justifier et en évaluer les limites !
Comment le modèle de Thomson (atome d’électron élastique) est-il abordé dans ce sujet ?
Le modèle de Thomson, ou “atome en pudding”, est revisité ici pour introduire des concepts clés en physique atomique et en électromagnétisme. Voici ce que tu dois retenir :
- Force de rappel élastique : en utilisant le théorème de Gauss, tu montres que le champ électrique à l’intérieur d’une sphère uniformément chargée crée une force proportionnelle à r (comme un ressort). C’est la base du modèle de Thomson !
- Oscillations harmoniques : l’électron, soumis à cette force, a un mouvement sinusoïdal. Tu dois savoir résoudre l’équation différentielle et exprimer la pulsation propre ω₀ en fonction des paramètres du modèle.
- Rayonnement et temps de vie : le sujet aborde ensuite l’émission d’ondes électromagnétiques par l’électron accéléré, ce qui conduit à une perte d’énergie. Tu calcules le temps de vie de l’état excité, un concept fondamental en physique quantique.
Quelles compétences en mécanique des solides déformables sont testées dans ce sujet ?
Ce sujet ne se limite pas à l’électrostatique : il explore aussi la mécanique des solides déformables, avec des applications concrètes. Voici les compétences clés :
- Module de Young et loi de Hooke : tu dois relier la force microscopique entre atomes (k) au module de Young (E) via une approche en tranches. C’est une démonstration classique, mais qui demande de bien maîtriser les hypothèses (petites déformations, isotropie).
- Équation de d’Alembert : le sujet te guide pour établir l’équation des ondes dans un solide, en partant des forces sur une tranche élémentaire. Tu dois savoir exprimer la célérité c en fonction de E et de la masse volumique ρ.
- Ondes stationnaires et figures de Chladni : les questions 20 à 24 abordent les modes propres d’une plaque vibrante. Tu dois comprendre la quantification des vecteurs d’onde (Kx, Ky) et analyser les écarts entre le modèle théorique et les observations expérimentales.
Pourquoi l’effet Doppler est-il abordé dans ce sujet, et comment le maîtriser ?
L’effet Doppler est un classique des concours, et ce sujet l’aborde dans le cadre du ralentissement d’atomes par laser. Voici ce que tu dois savoir :
- Décalage en fréquence : tu dois établir la relation entre la pulsation perçue par l’atome (ω’) et sa vitesse (v) via un développement limité. C’est une application directe du cours, mais il faut bien justifier les approximations (v ≪ c).
- Ralentissement des atomes : le sujet te demande d’identifier quels atomes sont ralentis par le laser. Pour cela, tu dois comprendre que le laser exerce une force de pression de radiation, qui dépend du désaccord δ = ω – ω₀.
- Limites du processus : le ralentissement par laser ne permet pas d’immobiliser complètement les atomes, car il existe une vitesse minimale due à l’agitation thermique. Tu dois savoir expliquer cette limite !
Quelles sont les astuces pour réussir les questions sur les ordres de grandeur ?
Les questions d’ordres de grandeur sont redoutées en PSI, mais avec ces astuces, tu peux les aborder sereinement :
- Maîtriser les constantes fondamentales : dans ce sujet, tu auras besoin de ε₀, e, me, ou encore de la célérité du son dans l’air. Apprends-les par cœur, ou sache les retrouver rapidement !
- Simplifier les expressions : pour estimer τ₀ (temps de vie d’un état excité) ou k (constante de raideur), tu dois savoir négliger les termes secondaires. Par exemple, dans Em = ½mω₀²r₀², tu peux exprimer ω₀ en fonction de e, ε₀ et R pour obtenir un ordre de grandeur.
- Comparer aux valeurs tabulées : le sujet te demande de comparer tes résultats à des valeurs connues (module de Young de l’aluminium, célérité du son). Cela te permet de vérifier la cohérence de tes calculs.
- Utiliser les unités : une astuce pour éviter les erreurs est de vérifier que tes expressions ont les bonnes dimensions. Par exemple, E (module de Young) doit s’exprimer en Pascals (N/m²).
Comment ce sujet prépare-t-il aux épreuves orales des concours ?
Ce sujet est une mine d’or pour préparer les oraux, car il couvre des thèmes récurrents et teste des compétences clés :
- Analyse qualitative : les questions sur l’énergie potentielle effective ou les figures de Chladni demandent une réflexion graphique et intuitive. C’est exactement ce que les examinateurs attendent à l’oral !
- Justification des approximations : que ce soit pour le frottement fluide, la trajectoire localement circulaire, ou l’effet Doppler, tu dois savoir expliquer pourquoi une approximation est valable. C’est un classique des oraux de physique.
- Lien entre théorie et expérience : les questions 22 à 24 te demandent d’analyser des écarts entre le modèle et les observations. Cela te prépare aux questions sur les limites des modèles, très fréquentes à l’oral.
- Calculs en direct : les ordres de grandeur, les équations différentielles, ou les bilans d’énergie sont des exercices que tu devras refaire sans filet à l’oral. Ce sujet te donne l’occasion de t’entraîner !
Quels sont les prérequis indispensables pour aborder ce sujet sereinement ?
Pour attaquer ce sujet sans stress, voici les prérequis à maîtriser absolument :
- Électrostatique :
- Théorème de Gauss et calcul de champs pour des distributions symétriques (fil infini, sphère).
- Relation entre champ et potentiel (E = –∇V).
- Énergie potentielle électrostatique.
- Mécanique :
- Théorème du moment cinétique et conservation pour les forces centrales.
- Énergie potentielle effective et analyse des mouvements.
- Bilans d’énergie mécanique avec frottements.
- Ondes et vibrations :
- Équation de d’Alembert et célérité des ondes.
- Ondes stationnaires et quantification des modes propres.
- Physique atomique :
- Modèle de Thomson et oscillations harmoniques.
- Rayonnement d’un dipôle oscillant.
- Outils mathématiques :
- Résolution d’équations différentielles linéaires (oscillateurs, frottements).
- Développements limités (effet Doppler, approximations).
- Analyse dimensionnelle.