Questions du sujet
1. Pour un matériau homogène, quelle est la forme géométrique assurant, à une masse donnée, la surface extérieure minimale ? Commenter l’aspect pratique de ce résultat.1. Par commodité, les étalons sont des cylindres droits à base circulaire de hauteur $h$ et de diamètre $D$. Déterminer la relation entre $h$ et $D$ pour obtenir, à volume fixé, une surface extérieure $S_\mathrm{ext}$ minimale ?
1. Pour obtenir des étalons de masse nominale 1 kg, quelles valeurs doit-on donner à $D$ et $h$ dans le cas d’un étalon en platine iridié de masse volumique $\rho_\mathrm{Pt-Ir} = 2 \times 10^4$ kg.m$^{-3}$ ? Calculer dans ces conditions le volume $V$ du cylindre obtenu.
1. Pour quelle variation relative de $h$ ou $D$ la masse varie-t-elle de $\Delta m_1 = 10\,\mu\mathrm{g}$ ? Que conclure pour de tels étalons ?
1. Rappeler la force totale exercée par l’air sur l’étalon. Contribue-t-elle à augmenter ou diminuer la masse apparente de l’étalon ?}
1. Exprimer, en valeur absolue, la variation de masse apparente $\Delta m_2$ associée à cet effet, c’est-à-dire la variation de masse qui serait nécessaire pour, en l’absence de cet effet, obtenir la même force.
1. Application numérique : l’air sec à la pression $p_\mathrm{air}$ et à la température $T_\mathrm{air}$, supposées uniformes, peut être assimilé à un mélange idéal de gaz parfaits de masse molaire $M$. On donne $p_\mathrm{air} = 1$ bar, $T_\mathrm{air} = 300$ K, $M = 30$ g.mol$^{-1}$. \begin{enumerate} \item Déterminer $\Delta m_2$ dans le cas de l’étalon en platine iridié. Commenter. \item Quelle variation relative (en valeur absolue) de la masse volumique $\rho_\mathrm{air}$ provoquerait un décalage de la variation de masse apparente de $10\,\mu\mathrm{g}$ ? \end{enumerate}
1. Avec les conditions précédentes, la loi de Boltzmann est vérifiée pour la pression. Donner l’expression de $p(z)$ en notant $p(+\infty)$ la pression à la température $T_0$ en un point $z = +\infty$ infiniment éloigné de la paroi.
1. Quelle est, dans l’expression précédente, la limite de $p(z)$ lorsque $z$ tend vers $0$ ? Qu’arrive-t-il lorsque $p(z)$ devient supérieure à $p_s(T_0)$, la pression de vapeur saturante du gaz à la température $T_0$ ?
1. En déduire qu’il existe à la surface de la paroi une « couche liquide » sur une épaisseur $d_\mathrm{liq}$ dont on déterminera l’expression en fonction de $K_\mathrm{ad}$, la constante de Boltzmann $k_B$, $T_0$, $p_s(T_0)$ et $p(+\infty)$.}
1. Pour les molécules envisagées, $p_s(T_0) = 24$ hPa à $T_0 = 300$ K, $p(+\infty) = 8$ hPa. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur numérique de $d_\mathrm{liq}$. Commenter la valeur obtenue. \item Quelle serait la masse excédentaire $\Delta m_4$ adsorbée sur toute la surface de l’étalon de platine, si le fluide adsorbé a une densité de $10^3$ kg.m$^{-3}$? On prendra une surface totale $S_\mathrm{ext} = 70$ cm$^2$. \end{enumerate}
1. Parmi les effets étudiés précédemment, quels sont ceux qui contribuent le plus à l’incertitude des étalonnages de masses ? Lesquels peuvent être « facilement » corrigés ?
1. Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron, et montrer que la solution en régime permanent peut se mettre sous la forme matricielle : \[ \begin{pmatrix} j_{Sx} \\ j_{Sy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \end{pmatrix} \] où $\sigma_{ij}$ représente les composantes de la matrice conductivité et où $\vec{j}_S$ est la densité surfacique de courant qui parcourt le gaz d’électrons bidimensionnel. Exprimer les composantes de la matrice conductivité en fonction de la pulsation cyclotron $\omega_c = \frac{eB_0}{m^*} > 0$ et de $\sigma_0 = \frac{N_s e^2 \tau}{m^*}$.
1. Quelle est la signification physique de $\sigma_0$ ?
1. Expliquer brièvement l’origine de la tension transversale $V_\mathrm{H}$.}
1. Définir l’impédance d’entrée. Pourquoi doit-on avoir une impédance d’entrée du voltmètre « très grande » ?
1. Établir la relation entre $j_{Sx}$ et $E_y$ en régime permanent en fonction de $\sigma_0$, $\omega_c$ et $\tau$ (effet Hall).
1. En déduire l’expression de la résistance de Hall définie par : $R_\mathrm{H} = V_\mathrm{H}/I$ en fonction de $e$, $B_0$ et $N_s$.
1. Exprimer la sensibilité de la sonde de Hall définie par $s = \delta V_\mathrm{H}/\delta B$ en fonction de $L$, $N_s$, $j_S$ et $e$.
1. Calculer la valeur numérique de $s$ pour $L = 5~\mu$m.}
1. L’imperfection des appareils limite la précision de la mesure de la tension de Hall à $\pm 1$ nV. Quel est le champ minimal que l’on peut mesurer à l’aide de la sonde précédente ?
1. Définir l’excitation magnétique $\vec{H}$.
1. Définir l’ARQS magnétique. Que deviennent les équations de Maxwell dans cette approximation ?
1. Quelle est la caractéristique principale d’un milieu ferromagnétique doux ? Donner un ordre de grandeur de $\mu_r$ pour ces milieux en précisant le milieu.
1. Qu’appelle-t-on l’approximation linéaire des ferromagnétiques doux ? En déduire la relation entre le champ magnétique dans le matériau ferromagnétique, noté $B_f$, et l’excitation magnétique $H_f$.}
1. À quelle condition géométrique peut-on considérer que les lignes de champ restent parallèles entre elles dans l’entrefer ? On supposera cette condition vérifiée dans tout le sujet.
1. D’après la figure, que peut-on dire du flux magnétique ?
1. Montrer que le champ magnétique $B_e$ dans l’entrefer vérifie la relation $B_e = \alpha i$ avec $\alpha$ une constante à déterminer en fonction de $S_e, S_f, L, \mu_0, N, \ell$ et $\mu_r$.
1. On place maintenant un capteur à effet Hall dans l’entrefer. En fixant le plus précisément possible un courant d’intensité $I$ continu, montrer que l’on récupère une tension $V_\mathrm{H}$ proportionnelle à l’intensité $i(t)$. Déterminer le coefficient de proportionnalité.
1. Quels sont les deux phénomènes associés aux pertes fer ? On détaillera l’origine de chaque perte. Quel autre type de perte existe dans ce système ?}
1. En pratique, comme règle empirique, on considère que les pertes fer sont minimisées si le produit $N \times i \times f$ ($N$ est le nombre de spires du bobinage, $f$ la fréquence du courant d’intensité $i(t)$) est le plus faible possible. Justifier cette règle empirique.
1. Pourquoi doit-on alors être vigilant lorsqu’on utilise ce type de capteur avec un courant d’intensité $i(t)$ périodique non-sinusoïdal quelconque même de faible amplitude ?
1. D’après les résultats de la partie II.1, quelle courbe attend-on ? Commenter la courbe obtenue.
1. Retrouver l’ordre de grandeur de la valeur de la charge élémentaire $e$ sachant que le gaz d’électrons a une densité surfacique de $N_{s,\mathrm{exp}} = 8 \times 10^{15}$ m$^{-2}$.
1. Par analyse dimensionnelle, déterminer l’expression de la résistance $R_\mathrm{u}$ en fonction de $h$ et de $e$. En déduire sa valeur numérique. La constante multiplicative sans dimension est prise égale à 1.}
1. Expliquer l’intérêt d’utiliser l’effet Hall quantique pour définir un étalon de résistance.
1. Écrire l’équation différentielle vérifiée par la vitesse $v(t)$ d’un électron de masse effective $m^*$.
1. En déduire que la solution de cette équation vérifiant $v(0) = v_0$ est \[ v(t) = v_0 e^{-t/\tau_0} + \int_0^t \exp\left(-\frac{t-u}{\tau_0}\right)b(u) \,\mathrm{d}u \]
1. Identifier le terme du régime transitoire. Quelle est la durée $\Delta t$ de ce régime ?
1. Par le calcul de $S_b(f)$ et des relations fournies dans le formulaire, montrer que l’expression de $C_b(\tau)$ est cohérente avec la définition d’un bruit blanc.}
1. Quel commentaire peut-on faire entre l’élargissement temporel de $C_b(\tau)$ et celui fréquentiel de $S_b(f)$ ? Citer un autre phénomène où cette propriété apparaît.
1. D’après l’expression obtenue de $v(t)$, calculer $\langle v(t)\rangle$. On supposera qu’on peut intervertir les intégrales et la moyenne temporelle.
1. Montrer que pour $t \gg \tau_0$, $\langle v^2(t)\rangle \simeq \Gamma \tau_0/2$. On pourra s’aider du formulaire et d’un changement de variable $u’ = u + \tau$ dans une des intégrales pour se ramener à la définition du bruit blanc de l’énoncé.
1. On peut montrer que la relation entre l’énergie cinétique moyenne d’une particule dans un gaz parfait et l’agitation thermique reste valable en ordre de grandeur pour les électrons. En déduire la relation qui existe entre $\Gamma$, $m^*$, $\tau_0$, la température $T$ et la constante de Boltzmann $k_B$.
1. Déterminer l’expression littérale de $S_v(f)$.}
1. Tracer alors le diagramme de Bode $20\log S_v = F(\log f)$ pour $f > 0$.
1. En déduire la fréquence de coupure $f_c$ et que pour $f \ll f_c$, $S_v(f) = 2k_B T \tau_0/m^*$.
1. Sachant que $\tau_0 < 10$ ns, la condition $f \ll f_c$ est-elle en général vérifiée en TP ? On supposera cette condition vérifiée par la suite.
1. En déduire l’expression de la résistance $R_0 = U/I$.
1. Exprimer la densité spectrale de la quantité $V_i(t)$, notée $S_{V_i}(f)$ en fonction de la densité spectrale de la vitesse $S_v(f)$ trouvée précédemment.}
1. On admet que $S_V(f) = N S_{V_i}(f)$. Déduire de cette relation et de la question précédente, la relation de Johnson Nyquist \[ S_V(f) = 2k_B T R_0 \] Commenter l’intérêt de travailler à des basses températures lors de mesures de précision.
1. La tension efficace du bruit est donnée par $U_\mathrm{eff,b} = \sqrt{S_V(f)\,\Delta f}$ avec $\Delta f$ la bande passante associée au diagramme de Bode précédent. Pour $\tau_0 = 10$ ns, estimer la valeur numérique de $U_\mathrm{eff,b}$ pour une résistance de $300~\Omega$ à température ambiante. Commenter.}
FAQ
La forme sphérique est optimale car c’est la géométrie qui, pour un volume donné, présente la plus petite surface extérieure. Cela découle du problème isopérimétrique en mathématiques, qui montre que parmi toutes les formes de même volume, la sphère a la plus petite aire. En pratique, ce résultat est crucial pour les étalons de masse, car une surface minimale réduit les interactions avec l’environnement (adsorption, oxydation, etc.), améliorant ainsi la stabilité et la précision des mesures.
Pour un cylindre de hauteur \( h \) et de diamètre \( D \), la surface extérieure minimale à volume fixé est obtenue lorsque \( h = D \). Cela signifie que le cylindre doit être aussi « trapu » que possible. Cette relation est dérivée en exprimant la surface \( S_{\text{ext}} \) en fonction de \( h \) et \( D \), puis en annulant la dérivée par rapport à l’une des variables. En pratique, cette optimisation est essentielle pour concevoir des étalons de masse précis, comme ceux en platine iridié.
La poussée d’Archimède est la force exercée par un fluide (comme l’air) sur un objet immergé, dirigée vers le haut et égale au poids du volume de fluide déplacé. Pour un étalon de masse, cette force réduit la masse apparente mesurée, car elle s’oppose au poids réel de l’étalon. La variation de masse apparente \( \Delta m_2 \) est donnée par \( \Delta m_2 = \rho_{\text{air}} V \), où \( V \) est le volume de l’étalon et \( \rho_{\text{air}} \) la masse volumique de l’air. Cette correction est indispensable pour des mesures de haute précision.
L’effet Hall est un phénomène physique qui se manifeste par l’apparition d’une tension transversale \( V_H \) dans un conducteur ou un semi-conducteur parcouru par un courant électrique et soumis à un champ magnétique perpendiculaire. Cette tension est proportionnelle au champ magnétique, ce qui permet de mesurer ce dernier avec une grande précision. Les capteurs à effet Hall sont largement utilisés en métrologie et en électronique pour leur sensibilité et leur simplicité de mise en œuvre. Pour aller plus loin, débloque les corrigés pour découvrir comment calculer la résistance de Hall et la sensibilité d’une sonde.
L’ARQS (Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires) magnétique est une hypothèse simplificatrice utilisée lorsque les variations temporelles des champs sont suffisamment lentes pour négliger les courants de déplacement dans les équations de Maxwell. Dans ce cadre, les équations de Maxwell se simplifient : la loi de Faraday reste inchangée, mais la loi d’Ampère devient \( \nabla \times \vec{H} = \vec{j} \), où \( \vec{j} \) est la densité de courant libre. Cette approximation est couramment utilisée en électromagnétisme pour étudier les circuits magnétiques et les inductances.
Les pertes fer dans un circuit magnétique sont principalement de deux types : les pertes par hystérésis et les pertes par courants de Foucault. Les pertes par hystérésis sont dues à l’énergie dissipée lors du renversement de l’aimantation dans un matériau ferromagnétique, tandis que les pertes par courants de Foucault proviennent des courants induits dans le matériau par les variations du champ magnétique. Pour minimiser ces pertes, on utilise des matériaux à faible hystérésis (comme les ferromagnétiques doux) et on feuillette le circuit magnétique pour réduire les courants de Foucault. Une règle empirique consiste à minimiser le produit \( N \times i \times f \), où \( N \) est le nombre de spires, \( i \) l’intensité du courant et \( f \) la fréquence.
L’effet Hall quantique est une version quantifiée de l’effet Hall classique, observée dans des gaz d’électrons bidimensionnels à très basse température et sous un fort champ magnétique. Dans ce régime, la résistance de Hall \( R_H \) prend des valeurs discrètes et universelles, indépendantes des propriétés du matériau, ce qui en fait un étalon de résistance extrêmement précis. Cet effet est utilisé pour définir le standard de résistance électrique, avec une précision inégalée. Pour approfondir, débloque les corrigés et découvre comment cet effet est exploité pour mesurer la charge élémentaire \( e \).
La loi de Boltzmann décrit la distribution des particules d’un gaz en fonction de leur énergie potentielle. Près d’une paroi, cette loi prédit une augmentation exponentielle de la pression \( p(z) \) lorsque \( z \) (la distance à la paroi) diminue, selon la relation \( p(z) = p(+\infty) \exp\left(\frac{K_{\text{ad}}}{k_B T_0}\right) \), où \( K_{\text{ad}} \) est une constante d’adsorption. Si \( p(z) \) dépasse la pression de vapeur saturante \( p_s(T_0) \), le gaz se condense en une couche liquide à la surface de la paroi. Ce phénomène est crucial pour comprendre l’adsorption et la stabilité des étalons de masse.
Le bruit Johnson-Nyquist, ou bruit thermique, est un bruit électrique généré par l’agitation thermique des porteurs de charge dans un conducteur. Sa densité spectrale \( S_V(f) \) est donnée par \( S_V(f) = 2 k_B T R_0 \), où \( k_B \) est la constante de Boltzmann, \( T \) la température et \( R_0 \) la résistance du conducteur. Ce bruit est une limite fondamentale pour la précision des mesures électriques, et il est d’autant plus faible que la température est basse. En métrologie, travailler à basse température permet donc de réduire ce bruit et d’améliorer la précision des mesures.
L’impédance d’entrée d’un voltmètre doit être très grande pour minimiser son influence sur le circuit mesuré. En effet, si l’impédance d’entrée est faible, le voltmètre va prélever un courant non négligeable, ce qui modifie la tension aux bornes du composant mesuré et fausse la mesure. Une impédance d’entrée élevée (typiquement de l’ordre du mégaohm ou plus) permet de mesurer la tension avec une perturbation minimale du circuit. C’est une considération essentielle en métrologie et en électronique de précision.
Plusieurs effets limitent la précision des étalons de masse :
– La poussée d’Archimède, qui réduit la masse apparente de l’étalon.
– L’adsorption de molécules à la surface de l’étalon, qui augmente sa masse.
– Les variations dimensionnelles dues aux contraintes mécaniques ou thermiques.
– Les interactions électrostatiques ou magnétiques avec l’environnement.
Parmi ces effets, certains, comme la poussée d’Archimède, peuvent être corrigés par des calculs, tandis que d’autres, comme l’adsorption, sont plus difficiles à maîtriser et nécessitent des conditions environnementales contrôlées. Pour approfondir, débloque les corrigés et explore les solutions pour minimiser ces incertitudes.
La pulsation cyclotron \( \omega_c = \frac{eB_0}{m^*} \) caractérise le mouvement circulaire des électrons dans un champ magnétique \( B_0 \). Dans un gaz d’électrons bidimensionnel, cette pulsation modifie la conductivité du matériau en introduisant une composante non diagonale \( \sigma_{xy} \) dans la matrice de conductivité, responsable de l’effet Hall. Plus précisément, la conductivité devient anisotrope, avec des composantes \( \sigma_{xx} \) et \( \sigma_{yy} \) (longitudinales) et \( \sigma_{xy} \) (transversale), qui dépendent de \( \omega_c \) et du temps de relaxation \( \tau \). Cela explique pourquoi l’effet Hall est si sensible au champ magnétique.