Questions du sujet
1. 1. En reprenant l’équation de \textsc{Helmholtz} portant sur $\underline{E}(x,z)$, et en utilisant les formules (3) et (4), montrer que la fonction $\widetilde{\underline{E}}(\alpha,z)$ vérifie l’équation différentielle suivante : $$\frac{\partial^2}{\partial z^2}\widetilde{\underline{E}}(\alpha,z) + \gamma^2 \widetilde{\underline{E}}(\alpha,z) = 0 ,$$ avec $\gamma^2 = \frac{\omega^2}{c^2} – \alpha^2$, $\gamma$ pouvant être complexe.1. 2. À quelle condition sur $\alpha$, $\gamma$ est-il réel ? On écrit alors $\underline{\gamma} = \gamma$ avec $\gamma > 0$. Donner l’expression générale de $\widetilde{\underline{E}}(\alpha,z)$. Dans quel cas, $\underline{\gamma}$ est-il imaginaire pur ? On pose alors $\underline{\gamma} = \text{i}\delta$ avec $\delta > 0$. Donner l’expression générale de $\widetilde{\underline{E}}(\alpha,z)$ dans ce cas.
1. 3. On suppose dans cette question que pour $|\alpha| \geqslant \omega/c$, $\underline{A}(\alpha) = 0$. Le champ électrique $\underline{E}(x,z,t)$ s’écrit alors sous la forme intégrale suivante : $$\underline{E}(x,z,t) = \exp(-\text{i}\omega t) \int_{-\omega/c}^{+\omega/c} \underline{A}(\alpha) \exp[\text{i}(\alpha x + \gamma z)] \frac{\text{d}\alpha}{2\pi} .$$ Interpréter physiquement la décomposition du champ électrique $\underline{E}(x,z,t)$. On s’attachera en particulier à donner un sens physique au vecteur $\alpha\vec{e}_x + \gamma\vec{e}_z$ et à la grandeur $\underline{A}(\alpha)$.
1. 4. Proposer une interprétation dans le cas où $\underline{\gamma}$ est imaginaire pur.
1. 5. Dans le cas où $\underline{\gamma}$ est réel, montrer que : $$\underline{A}(\alpha) = \int_{-\infty}^{+\infty} \underline{E}(x,z = 0)\text{e}^{-\text{i}\alpha x}\,\text{d}x .$$}
1. 6. Rappeler quel critère quantitatif permet de se placer dans le cadre de l’approximation de l’optique géométrique. En raisonnant sur des grandeurs caractéristiques, cette approximation est-elle applicable dans la situation physique énoncée ci-dessus ? Quel phénomène physique pourrait être mis en évidence par le dispositif schématisé sur la Figure 1 ?
1. 7. Déterminer l’expression de $\underline{A}(\alpha)$ en fonction de $E_0$, $\alpha$ et $W_0$. Représenter graphiquement $\underline{A}(\alpha)$ en fonction de $\alpha$.
1. 8. À partir de l’expression du vecteur d’onde $\vec{k}$ d’une onde élémentaire dans le repère $(Oxyz)$ et de la représentation graphique de $\underline{A}(\alpha)$, identifier les directions dans lesquelles on observe un extremum de $\underline{A}(\alpha)$ et des annulations de $\underline{A}(\alpha)$. On pourra introduire l’angle $\theta$ défini par $\tan\theta = \alpha/\gamma$. Établir la relation entre $\sin\theta$, $\lambda$ et $W_0$ pour la première annulation. Par souci de simplicité, on supposera par la suite que $|\theta|$ est suffisamment petit pour avoir $\tan\theta \approx \sin\theta \approx \theta$.
1. 9. En considérant des rayons lumineux parallèles à l’axe $(Oz)$ et des rayons parallèles entre eux, inclinés d’un angle quelconque par rapport à ce même axe, préciser comment une lentille mince convergente transforme une onde plane incidente dans son plan focal image. En déduire ce que l’on observe avec un capteur optique dans le plan focal image d’une lentille mince convergente $(\mathcal{L})$ de distance focale image $f’$, placée après l’ouverture $(\mathcal{O})$.
1. 10. Dans la configuration de la question précédente, déterminer la distance $\Delta x$ entre l’image correspondant au maximum global et l’image correspondant au premier zéro de $\underline{A}(\alpha)$, dans le plan focal image de la lentille $(\mathcal{L})$. Commenter l’évolution de la tache lumineuse de largeur $2\Delta x$ située au voisinage du point focal image de $(\mathcal{L})$ lorsqu’on fait varier la largeur $W_0$ de l’ouverture $(\mathcal{O})$. Déterminer la valeur numérique de $2\Delta x$ de la tache lumineuse pour $W_0 = 10\text{ }\mu\text{m}$ et $f’ = 200\text{ mm}$.}
1. 11. À partir des résultats généraux établis dans la partie I, concernant la propagation d’un paquet d’ondes planes progressives et harmoniques, établir l’expression intégrale de $\underline{E}_L(x,z)$ dans le demi-espace $z > 0$. En déduire l’expression de $\underline{A}(\alpha)$ dans ce cas. On rappelle que les grandeurs $\alpha$ et $\gamma$ sont reliées à la norme du vecteur d’onde $k$ de la manière suivante : $k^2 = \gamma^2 + \alpha^2$.
1. 12. Déterminer l’expression approchée de $W(z)$ dans les limites $z \ll z_R$ et $z \gg z_R$ et tracer la courbe représentant $W$ en fonction de $z$. Définir et exprimer l’angle $\theta$ de divergence du faisceau laser. À partir de cette expression, justifier que l’évolution spatiale du faisceau laser met en évidence un phénomène physique déjà rencontré précédemment que l’on rappellera.
1. 13. Donner à une constante multiplicative près l’expression de l’intensité $I_L(x,z)$ et en déduire que le faisceau a toujours un profil gaussien dans un plan $z = \text{Cste}$. Tracer la répartition spatiale d’intensité $I_L(x,z)$ en $z = 0$ et $z = z_R$.
1. 14. Dans le cas où $z$ vérifie conjointement les conditions $z \gg z_R$ et $z \gg |x|$, montrer que le terme $\exp(\text{i}kz)\exp\left[\text{i}kx^2/(2R(z))\right]$ s’identifie au terme de phase caractéristique d’une onde sphérique, dans le plan $y = 0$ (en toute rigueur et au regard de l’invariance suivant $(Oy)$ de la nappe laser, il s’agit d’une onde cylindrique). Quel est le rayon de courbure des surfaces d’onde pour $z \gg z_R$ ? Que dire de la surface d’onde pour $z \ll z_R$ ? Évaluer numériquement $z_R$ pour $W_0 = 100\text{ }\mu\text{m}$ et pour $W_0 = 1\text{ mm}$.
1. 15. Montrer que la force électrique $\vec{F}_{\text{el}}$ exercée sur l’électron peut s’écrire comme une force élastique linéaire, c’est-à-dire $\vec{F}_{\text{el}} = -k_{\text{el}}\vec{r}_e$, avec $k_{\text{el}}$ la constante de raideur associée. Introduire dans l’expression de $k_{\text{el}}$ une pulsation caractéristique $\omega_0$ dont on précisera l’expression en fonction des paramètres du modèle et dont on calculera un ordre de grandeur.}
1. 16. Justifier que les amplitudes $\vec{E}(\vec{r})$ et $\vec{B}(\vec{r})$ peuvent être effectivement considérées comme uniformes à l’échelle de l’atome.
1. 17. Donner un argument pour justifier que le mouvement du noyau peut être négligé devant celui de l’électron.
1. 18. L’influence du champ magnétique de l’onde sur l’électron peut-elle être négligée ?
1. 19. Établir l’équation différentielle à laquelle obéit le vecteur position $\vec{r}_e(t)$ de l’électron.
1. 20. On cherche la solution de cette équation en régime établi (régime sinusoïdal forcé) sous la forme $\vec{r}_e(t) = \vec{r}_{e,0}\exp(-\text{i}\omega t)$. Déterminer l’expression de $\vec{r}_{e,0}$. En déduire l’expression du moment dipolaire $\vec{d}_{\text{at}}(t) = -e\vec{r}_e(t)$ associé à l’atome soumis à l’influence de l’onde électromagnétique.}
1. 21. Exprimer $\vec{P}(\vec{r},t)$ en fonction de $N$ et $\vec{d}_{\text{at}}(t)$, et en déduire l’expression de $n^2$.
1. 22. Dans le modèle d’atome adopté initialement, montrer que dans le domaine des fréquences optiques ($\omega$ comprise entre $2\cdot 10^{15}$ et $5\cdot 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}$) l’indice dépend peu de la pulsation.
1. 23. Quel est le moment dipolaire $\vec{d}_{\text{at}}$ de chaque atome de la sphère en fonction de $\vec{E}_0$ et $\vec{P}$ ? Donner alors l’expression de $\vec{P}$ en fonction de l’indice optique $n$ précédemment déterminé et de $\vec{E}_0$.
1. 24. En déduire le moment dipolaire $\vec{D}$ de la sphère en fonction de $n$, $a$, $\varepsilon_0$ et de $\vec{E}_0$.
1. 25. Sur une durée infinitésimale $\text{d}t$, déterminer l’énergie $\text{d}\mathcal{E}$ de la lumière diffusée par la bille. En déduire le nombre de photons $\text{d}\mathcal{N}$ qui ont été diffusés par la bille pendant cette durée.}
1. 26. La diffusion par un dipôle est à symétrie centrale (symétrie par rapport au centre du dipôle) : le nombre de photons diffusés dans une direction caractérisée par le vecteur d’onde $\vec{k}$ est donc égal au nombre de photons diffusés dans la direction $-\vec{k}$. En conséquence, on admettra que l’impulsion globale de la lumière diffusée par la bille est nulle. En écrivant l’impulsion infinitésimale $\text{d}\vec{p}$ transmise par les photons de l’onde incidente à la bille pendant $\text{d}t$, déduire l’expression de la force $\vec{F}_d$ de diffusion exercée par les photons incidents sur la bille, notamment en fonction de $\mathcal{P}$. Quelle est son action sur la bille ? On précisera le sens de la force.
1. 27. Écrire la force de \textsc{Lorentz} instantanée $\vec{F}_{\text{Lor}}$ exercée sur l’ensemble des deux charges, et en déduire, à l’aide du développement limité au premier ordre en $\|\vec{\delta}\|$ ci-dessus, que la force totale exercée par l’onde électromagnétique incidente sur le dipôle $\vec{D}_b$ représentant la bille se met sous la forme suivante : $$\vec{F}_{\text{Lor}} = (\vec{D}_b\cdot\vec{\text{grad}})\vec{E} + \frac{\text{d}\vec{D}_b}{\text{d}t}\wedge\vec{B} .$$
1. 28. En utilisant l’expression (21) et l’identité vectorielle $\vec{\text{grad}}(\vec{E}^2) = 2(\vec{E}\cdot\vec{\text{grad}})\vec{E} + 2\vec{E}\wedge(\vec{\text{rot}}\vec{E})$, exprimer la force $\vec{F}_{\text{Lor}}$ comme une combinaison linéaire, dont on précisera les coefficients, des termes $\vec{\text{grad}}(\vec{E}^2)$ et $\partial(\vec{E}\wedge\vec{B})/\partial t$.
1. 29. Du fait de son inertie et de la fréquence élevée du champ électromagnétique décrivant l’onde incidente sur la bille, cette dernière ne réagit qu’à la moyenne temporelle de la force de \textsc{Lorentz} instantanée $\langle\vec{F}_{\text{Lor}}\rangle_T = \frac{1}{T}\int_0^T \vec{F}_{\text{Lor}}(t)\,\text{d}t$, où $T = 2\pi/\omega$ est la période d’oscillation du champ électromagnétique. Montrer que $\langle\partial(\vec{E}\wedge\vec{B})/\partial t\rangle_T = \vec{0}$ et donner l’expression de la force de gradient $\vec{F}_g$, définie comme $\vec{F}_g = \langle\vec{F}_{\text{Lor}}\rangle_T$, en fonction de $A$ et du gradient de $\langle\vec{E}^2\rangle_T$.
1. 30. À partir de l’étude des forces de diffusion et de gradient menée dans les paragraphes (V.A.a) et (V.A.b), donner les expressions des forces $\vec{F}_d$ et $\vec{F}_g$ sur la bille au sein du solvant, en fonction de $m$, $n_s$ et $I$ en particulier. Dans le cas de la force de diffusion, on pourra se servir du fait que $\langle\vec{E}^2\rangle_T = E_0^2/2$ où $E_0$ est l’amplitude du champ électrique $\vec{E}(t)$.}
1. 31. Préciser les conditions permettant de piéger la bille de façon stable au centre du faisceau.
1. 32. Compte tenu des résultats de la question 30, et sans effectuer de calcul, conclure sur la possibilité de piéger une telle bille. Justifier la nécessité de focaliser le faisceau pour piéger la bille.
1. 33. Quelle est dans ce cas la distance de \textsc{Rayleigh} $z_R$ (autour du point focal) ? En déduire l’échelle de longueur sur laquelle l’intensité est significative le long de l’axe $(Oz)$ de propagation du faisceau laser et justifier que les forces de gradient sont du même ordre de grandeur sur les trois axes $(Ox)$, $(Oy)$ et $(Oz)$.
1. 34. On éclaire, dans ces conditions, une bille de silice de rayon $a = 100\text{ nm}$, d’indice optique $n = 1{,}37$, dans de l’eau d’indice optique $n_s = 1{,}33$ (On a alors $(m^2-1)/(m^2+2) \approx 0{,}02$), avec un laser de longueur d’onde $\lambda = 600\text{ nm}$, et dont la puissance délivrée est de $40\text{ mW}$. Calculer l’intensité $I_0$ dans le plan focal image de la lentille en $\text{W}\cdot\text{cm}^{-2}$. Pour un écart à la position $x = 0, y = 0, z = 0$ de l’ordre de $50\text{ nm}$, on obtient une valeur de la force de gradient de l’ordre de $1\text{ pN}$. L’ordre de grandeur de la force de diffusion est $0{,}2\text{ pN}$. Conclure sur la possibilité de piéger la bille.
1. 35. Justifier que l’on puisse considérer la force de gradient comme une force élastique et évaluer la constante de raideur associée.}
1. 36. À partir des valeurs des forces données dans la question 34, donner un ordre de grandeur des forces de gradient et de diffusion pour des billes de silice de rayon $a = 200\text{ nm}$. Donner également un ordre de grandeur des forces de gradient et de diffusion pour des billes en polystyrène de rayon $a = 100\text{ nm}$, dont l’indice optique est $n = 1{,}63$ (on donne alors $(m^2-1)/(m^2+2) \approx 0{,}14$). Comment choisir la longueur d’onde du laser pour mieux piéger une particule ?
1. 37. On revient à une particule de silice de rayon $a = 100\text{ nm}$ piégée dans la pince optique. Le long de l’axe $(Ox)$, la position de la bille est en moyenne nulle : $\langle x_b \rangle = 0$. En utilisant le théorème d’équipartition de l’énergie, déterminer quel est l’ordre de grandeur de l’écart-type $\sigma_x$ à température ambiante ($T = 300\text{ K}$). On rappelle que $\sigma_x^2 = \langle x^2 \rangle – \langle x \rangle^2$. Comparer à la taille de la bille et à la distance caractéristique de la zone de confinement du faisceau. Le piège est-il satisfaisant ?}
FAQ
Le sujet aborde principalement l’optique ondulatoire (équation de Helmholtz, décomposition en ondes planes, diffraction d’une ouverture), la propagation des faisceaux lasers (faisceau gaussien, divergence, profondeur de champ), ainsi que les interactions lumière-matière (force de Lorentz, piégeage optique, force de gradient). On retrouve aussi des éléments d’électromagnétisme classique et de physique atomique via le modèle dipolaire de l’atome. Pour maîtriser ce sujet, il est donc crucial de bien connaître la résolution d’équations aux dérivées partielles, l’analyse spectrale, et les concepts de champ et de force appliqués en électromagnétisme.
L’équation de Helmholtz est fondamentale pour décrire la propagation des ondes monochromatiques dans des milieux homogènes. Elle permet notamment d’analyser comment un champ électrique se décompose spatialement, et d’étudier des phénomènes de diffraction et d’interférences. La résolution de cette équation, souvent via une décomposition en ondes planes, est au cœur de l’analyse de la propagation laser et de la formation de taches de diffraction, ce qui est très classique pour les concours X-ENS. Si tu veux voir sa mise en œuvre complète dans ce sujet, n’hésite pas à débloquer le corrigé sur PrépaBooster !
L’un des fils rouges du sujet consiste à suivre l’évolution spatiale et l’intensité d’un faisceau laser dit gaussien. On y étudie la largeur du faisceau, l’angle de divergence, le point de focalisation et la zone de Rayleigh, qui sont autant de concepts essentiels pour comprendre aussi bien la résolution d’un instrument optique que certaines applications modernes comme les pinces optiques. Les équations trouvées s’appliquent à des expériences réelles et à des technologies de pointe !
L’approximation de l’optique géométrique consiste à considérer la lumière comme une infinité de rayons rectilignes, ce qui est valide tant que les obstacles et ouvertures rencontrés sont très grands devant la longueur d’onde. Dès que l’on se rapproche de la longueur d’onde, les phénomènes d’optique ondulatoire – diffraction, interférences – deviennent dominants : c’est exactement ce qui se passe dans le sujet avec la diffraction par une fente. La frontière entre ces deux régimes est une source typique de questions au concours !
La diffraction, inhérente au caractère ondulatoire de la lumière, provoque l’apparition de taches lumineuses (taches d’Airy ou gaussiennes) lorsque la lumière passe par une ouverture. C’est cette tache qui définit la résolution spatiale maximale d’un système optique : deux objets plus proches que la largeur de la tache formée ne pourront pas être distingués. Les calculs de distance entre le maximum et le premier zéro de la figure de diffraction, comme dans le sujet, permettent d’estimer cette limite fondamentale.
On distingue principalement la force dite de gradient (qui attire la bille vers les zones d’intensité maximale de lumière, c’est-à-dire vers le centre focal du faisceau) et la force de diffusion (liée à la pression de radiation, c’est-à-dire à l’impulsion transférée par les photons). C’est l’équilibre entre ces deux forces qui conditionne la stabilité du piège. Ces notions sont au cœur des questions sur les pinces optiques, une technologie qui a révolutionné la manipulation d’objets à l’échelle nanométrique. Les calculs précis et ordres de grandeur te permettront de bien comprendre comment on peut confiner une bille par la lumière !
Le modèle dipolaire simplifie l’atome en considérant que l’électron se comporte comme une charge liée à une force de rappel devant un champ électrique. Cela permet d’exprimer le moment dipolaire induit et donc la polarisation macroscopique du milieu, ce qui conduit à exprimer l’indice optique. C’est un modèle simple qui fonctionne bien en dehors des résonances, et qui est omniprésent dans la modélisation de la propagation de la lumière dans les milieux transparents. Ce sujet illustre parfaitement comment passer du modèle microscopique à la grandeur d’indice de réfraction macroscopique ! Pour retrouver le détail complet, pense à consulter le corrigé PrépaBooster.
La force de Lorentz, qui s’exerce sur une charge en présence des champs électrique et magnétique, permet de comprendre non seulement la dynamique d’un électron lié (dans l’atome) mais aussi les effets de piégeage optique via la force de gradient et la force de diffusion. La prise en compte des moyennes temporelles (par exemple sur une période de l’onde) permet d’aboutir à des forces d’ensemble exploitables expérimentalement. Ces outils d’analyse interviennent dans de nombreux problèmes d’interaction onde-matière au programme des CPGE.
Il faut savoir mobiliser l’ensemble de tes connaissances de façon transversale : une bonne maîtrise des méthodes de calcul (intégrales, transformées de Fourier), savoir passer sans hésiter du point de vue microscopique au macroscopique, et toujours rattacher chaque calcul à une interprétation physique. Sois vigilant à la gestion du temps pour avoir le temps d’aller au bout des questions de modélisation ! Pour t’entraîner avec un corrigé rédigé et des explications claires, n’hésite pas à débloquer les corrigés écrits et le dashboard interactif sur PrépaBooster.