Questions du sujet
1. Rappeler le cardinal de $S_n$. En déduire que $R \geq 1$.
2. Pour $k \in [[0, n]]$, montrer que le nombre de permutations de $[[1, n]]$ ayant exactement $k$ points fixes est $\dbinom{n}{k}! d_{n-k}$. En déduire que $\mathbb{P}_n(X_n = k) = \dfrac{d_{n-k}}{k!(n-k)!}$.
3. Montrer que $\forall x \in ]-1, 1[,~ s(x) e^x = \dfrac{1}{1-x}$. En déduire que $R=1$.
4. En partant de la relation $(1-x)s(x) = e^{-x}$ pour $x \in ]-1, 1[$, exprimer $\dfrac{d_n}{n!}$ pour $n$ entier naturel, sous la forme d’une somme.
5. Montrer que la loi de la variable aléatoire $X_n$ est donnée par \\ $\forall k \in [[0, n]] ~~~ \mathbb{P}_n(X_n = k) = \dfrac{1}{k!} \sum_{i=0}^{n-k} \dfrac{(-1)^i}{i!}$.}
6. Sur l’espace probabilisé fini $(S_n, \mathbb{P}_n)$, on définit, pour tout $i \in [[1, n]]$, la variable aléatoire $U_i$ telle que, pour tout $\sigma \in S_n$, on ait $U_i(\sigma) = 1$ si $\sigma(i) = i$, et $U_i(\sigma) = 0$ sinon. \\ Montrer que $U_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{n}$. \\ Montrer que, si $i \neq j$, la variable $U_i U_j$ suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre.
7. Exprimer $X_n$ à l’aide des $U_i$, $1 \leq i \leq n$. En déduire l’espérance $\mathbb{E}(X_n)$ et la variance $V(X_n)$.
8. Dans cette question, on fixe un entier naturel $k$. Déterminer $y_k = \lim\limits_{n\to+\infty}\mathbb{P}_n(X_n = k)$. \\ Soit $Y$ une variable aléatoire sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, à valeurs dans $\mathbb{N}$, et vérifiant $\forall k \in \mathbb{N}\quad P(Y=k) = y_k$. \\ Reconnaître la loi de $Y$.
9. On note $G_{X_n}$ et $G_{Y}$ les fonctions génératrices respectives des variables $X_n$ et $Y$ de la question précédente.\\ Exprimer $G_{X_n}(s)$ sous forme de somme, pour $s$ réel, et vérifier que $\forall s \in \mathbb{R} \quad \lim_{n\to+\infty} G_{X_n}(s) = G_{Y}(s)$.
10. Soient $x, y, z$ trois distributions sur $\mathbb{N}$. Prouver les propriétés : \\ $0 \leq d_{VT}(x, y) \leq 1$ ; \\ $d_{VT}(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$ ; \\ $d_{VT}(y, x) = d_{VT}(x, y)$ ; \\ $d_{VT}(x, z) \leq d_{VT}(x, y) + d_{VT}(y, z)$.}
11. Soient $X$ et $Y$ deux variables de Bernoulli, ayant respectivement pour paramètres $\lambda \in ]0, 1[$ et $\mu \in ]0, 1[$. \\ Calculer $d_{VT}(p_X, p_Y)$.
12. Soit $X$ une variable de Bernoulli de paramètre $\lambda \in ]0, 1[$. Montrer que $d_{VT}(p_X, \pi_\lambda) = \lambda (1-e^{-\lambda})$. \\ En déduire que $d_{VT}(p_X, \pi_\lambda) \leq \dfrac{\lambda^2}{2}$.
13. Vérifier la relation, pour tout $n$ entier naturel non nul, \\ $2 d_{VT}(p_{X_n}, \pi_1) = \sum_{k=0}^{n} \left| \dfrac{1}{k!} \left( \sum_{i=n-k+1}^{\infty} \dfrac{(-1)^i}{i!} \right) \right| + e^{-1} + \sum_{k=n+1}^\infty \dfrac{1}{k!}$.
14. Pour $n$ entier naturel, on pose $r_n = \sum_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}$. Prouver la majoration \\ $r_n \leq \dfrac{1}{(n+1)!} + \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{(n+2)^k}$. \\ En déduire un équivalent simple de $r_n$ lorsque $n \to +\infty$.
15. En continuant de majorer le second membre de l’égalité de la question 13., établir l’estimation \\ $d_{VT}(p_{X_n}, \pi_1) = O\left(\dfrac{2n}{(n+1)!}\right)$ lorsque $n \to +\infty$. \\ On pourra faire intervenir des coefficients binomiaux.}
16. Si $x$ et $y$ sont deux distributions de probabilités sur $\mathbb{N}$, on définit l’application $x \ast y : \mathbb{N} \to \mathbb{R}_+$ par \\ $\forall k \in \mathbb{N},~ (x \ast y)(k) = \sum_{i=0}^k x(i) y(k-i) = \sum_{i+j=k} x(i) y(j)$. \\ Montrer que $x \ast y$ est une distribution sur $\mathbb{N}$.
17. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans $\mathbb{N}$, définies sur un même espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$. Prouver la relation $p_{X+Y} = p_X \ast p_Y$.
18. Soient $(x, y, u, v) \in (\mathcal{D}_\mathbb{N})^4$. Montrer que, pour tout $k$ entier naturel, \\ $\left| (x \ast y)(k) – (u \ast v)(k) \right| \leq \sum_{i+j=k} y(j) |x(i) – u(i)| + \sum_{i+j=k} u(i) |y(j) – v(j)|$.
19. Avec les notations de la question précédente, établir l’inégalité \\ $d_{VT}(x \ast y, u \ast v) \leq d_{VT}(x, u) + d_{VT}(y, v)$.
20. Soit $U$ une variable binomiale de paramètres $n \in \mathbb{N}^*$ et $\lambda \in ]0, 1[$. Prouver l’inégalité\\ $d_{VT}(p_U, \pi_{n\lambda}) \leq n\lambda^2$.}
21. Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Pour tout entier naturel $n$ tel que $n > \lfloor \alpha \rfloor$, on note $B_n$ une variable binomiale de paramètres $n$ et $\frac{\alpha}{n}$. Pour tout $k$ entier naturel, déterminer \\ $\lim_{n\to+\infty} \mathbb{P}(B_n = k)$. \\ On pourra utiliser la question précédente.
22. Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels strictement positifs. En utilisant les résultats et les méthodes qui précèdent, montrer que \\ $d_{VT}(\pi_\alpha, \pi_\beta) \leq |\beta – \alpha|$.}