Questions du sujet
1. On fixe $x_0 > 0$. Soit $\varphi(\cdot, x_0) : [0, T(x_0)[ \to \mathbb{R}$ la solution maximale de $E(\lambda, x_0)$. Montrer que \[ \forall t \in [0, T(x_0)[, \quad \varphi (t, x_0) > \lambda(t). \] Préciser le sens de variation de la fonction $\varphi(\cdot, x_0)$ et montrer qu’elle admet une limite réelle ou égale à $+\infty$ en $T(x_0)$. 2. Dans cette question et la suivante on suppose que $T(x_0) < +\infty$. Montrer que si \[ \lim_{t \to T(x_0),\ t < T(x_0)} \varphi (t, x_0) = +\infty \] alors la dérivée (par rapport à $t$) $\varphi'(t, x_0)$ est bornée sur $[0, T(x_0)[$. Aboutir à une contradiction et conclure qu’il existe $l \in \mathbb{R}$ tel que $\displaystyle\lim_{t \to T(x_0),\, t < T(x_0)} \varphi (t, x_0) = l$. 3. Montrer que $\lambda(T(x_0)) \leq l$. On suppose que $\lambda(T(x_0)) < l$. Prouver alors que $t \mapsto \varphi (t, x_0)$ se prolonge en une fonction de classe $C^1$ sur le segment $[0, T(x_0)]$ solution de $E(\lambda)$. Puis, en appliquant les parties 1] et 2] du Théorème 1 avec $y_0 = l$, $t_0 = T(x_0)$ et $J = ]t_0 - \varepsilon, t_0]$, montrer que l’on contredit le caractère maximal de la solution $t \mapsto \varphi (t, x_0)$. Conclure que $l = \lambda(T(x_0))$. On prolonge alors $t \mapsto \varphi (t, x_0)$ par continuité en $T(x_0)$ en posant $\varphi(T(x_0), x_0) = \lambda(T(x_0))$. 4. Soient deux réels $x_0$ et $y_0$ tels que $0 < x_0 < y_0$. On suppose qu’il existe $t_1 \in [0, \min(T(x_0), T(y_0))[ $ tel que $\varphi (t_1, x_0) = \varphi (t_1, y_0)$. En appliquant les parties 1] et 2] du Théorème 1 montrer que cela entraîne l’égalité des deux solutions maximales $\varphi(\cdot, x_0), \varphi(\cdot, y_0)$ et, aboutir à une contradiction. En déduire que pour tout $t \in [0, \min(T(x_0), T(y_0))[,\; \varphi (t, x_0) < \varphi (t, y_0)$. 5. On suppose toujours $0 < x_0 < y_0$. En déduire que $T(x_0) \leq T(y_0)$. (On pourra, en raisonnant par l’absurde, supposer que $T(x_0) > T(y_0)$ et utiliser les questions 4), 3) et 1)).} 6. Soient $x_0 > 0$ et $\lambda_0$ la fonction nulle : $\forall t \geq 0$, $\lambda_0(t) = 0$. Expliciter la solution maximale de $E(\lambda_0, x_0)$. Peut il y avoir capture ? 7. On considère la fonction $\lambda_1 : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ définie par : \[ \forall t \in [0, 1],\; \lambda_1(t) = 4(1 – \sqrt{1 – t});\qquad \forall t \geq 1,\; \lambda_1(t) = 4. \] Montrer qu’il existe un réel $a > 0$ que l’on précisera, tel que la fonction $\varphi_0$ déterminée par \[ \forall t \in [0, 1],\; \varphi_0(t) = a – (a-2) \sqrt{1 – t} \] définit la solution maximale de $E(\lambda_1, 2)$. Puis prouver que $T(2) = 1$. 8. Jusqu’à la fin de cette partie 2 on considère une autre solution de $E(\lambda_1)$, $\varphi = \varphi(\cdot, x_0)$, telle que : $\varphi(0) = x_0 \in \mathbb{R}_+^* \setminus\{2\}$. Pour chaque $t \in [0, \min(1, T(x_0))[ $, donner une expression simple de \[ \frac{d}{dt}\left(\ln|\varphi(t) – \varphi_0(t)|\right) \] en fonction de \[ -(\varphi(t) – \lambda_1(t)) \sqrt{1-t}. \] 9. Montrer que la fonction \[ t \mapsto C(t) = \ln|\varphi(t) – \varphi_0(t)| – 2 \frac{\sqrt{1-t}}{\varphi(t) – \varphi_0(t)} \] est bien définie sur $[0, \min(1, T(x_0))[ $ et y est constante. (On pourra utiliser les questions 4 et 8). 10. On suppose que $x_0 \in \, ]0, 2[$. Prouver que $C(0)$ est supérieur ou égal à $1+\ln 2$. En supposant $T(x_0) < 1$, calculer $C(T(x_0))$ et aboutir à une contradiction. En déduire que $T(x_0) = 1$.} 11. Dans la question suivante on suppose $x_0 = \varphi(0) > 2$. Montrer que $T(x_0) \geq 1$. Puis montrer, en considérant $C(t)$ quand $t \to 1$ par valeurs inférieures, que $T(x_0)$ ne peut pas être égal à 1. Enfin montrer, en résolvant l’équation $E(\lambda_1)$ pour $t \geq 1$, que $T(x_0)$ ne peut pas être un nombre réel. Conclure. (On rappelle que $\forall t \geq 1,\; \lambda_1(t) = 4$). 12. Soit $f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $f(0) = 0$. On rappelle que la fonction $\lambda$ du problème $E(\lambda)$ vérifie ces deux hypothèses. On note \[ M(f) = \sup_{0 < x < y;\, x, y \in \mathbb{R}_+^*} \frac{|f(y) - f(x)|}{\sqrt{y-x}} \in \mathbb{R}_+ \cup \{+\infty\}. \] Soient $t, s \in [0, 1]$ tels que $0 \leq s < t$. Déterminer une fonction $F : [0, 1] \to \mathbb{R}$ telle que : \[ \frac{|\lambda_1(1-s) - \lambda_1(1-t)|}{\sqrt{t-s}} = \frac{F(s/t)}{1 + \sqrt{s/t}}. \] En déduire que $M(\lambda_1) = 4$. On rappelle que $\lambda_1$ a été introduite juste avant la Question 7. 13. Dorénavant et jusqu’à la fin du problème, on suppose que la fonction $\lambda$ intervenant dans l’équation différentielle $E(\lambda)$ vérifie $M(\lambda) < 4$. On se propose alors de montrer qu’il n’y a pas de capture, c’est-à-dire que pour tout $x_0 > 0$, $T(x_0) = +\infty$. On raisonne par l’absurde, pour aboutir à une contradiction. Soit donc $x_0 > 0$ tel que la solution maximale, notée $t \mapsto x(t)$, de $E(\lambda, x_0)$ ait un temps de vie $T(x_0) < +\infty$ (fini). Montrer que $M(\lambda)$ est strictement positif. (On pourra utiliser la question 6). 14. Soit un réel $r > 0$. On désigne par $\lambda^b_r$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_+$ par \[ \forall t \in \mathbb{R}_+, \; \lambda^b_r(t) = \frac{1}{r} \lambda(r^2 t). \] On admettra que $M(\lambda^b_r) = M(\lambda)$. Montrer qu’il existe $r \in \mathbb{R}_+^*$, que l’on précisera, tel que la solution maximale $x^b$ de $E(\lambda^b_r, \frac{1}{r}x_0)$ a un temps de vie égal à 1 et peut être prolongée par continuité en 1 en posant $x^b(1) = \lambda(1)$. (On pourra montrer que $x^b$ est de la forme $t \mapsto \frac{1}{r} x(bt)$ où $b$ est une constante à préciser). 15. Quitte à remplacer $(\lambda, x_0)$ par $(\lambda^b_r, \frac{1}{r} x_0)$, on peut donc supposer que la solution maximale $t \mapsto x(t)$ de $E(\lambda, x_0)$ a un temps de vie $T(x_0) = 1$ et peut être prolongée par continuité en 1 en posant $x(1) = \lambda(1)$. Montrer que \[ \forall t \in [0, 1],\quad x(t) – \lambda(t) \leq M(\lambda) \sqrt{1-t}, \] et en déduire que \[ \forall t \in [0, 1],\quad x(1) – x(t) \geq \frac{4}{M(\lambda)}\sqrt{1-t}. \]} 16. Montrer alors que \[ \forall t \in [0, 1],\quad x(t) – \lambda(t) \leq \left(M(\lambda) – \frac{4}{M(\lambda)}\right)\sqrt{1-t}. \] (On utilisera la deuxième inégalité de la question précédente et la définition de $M(\lambda)$). 17. Soit $\mu$ un réel $> 0$ tel que \[ \forall t \in [0, 1],\quad x(t) – \lambda(t) \leq \mu \sqrt{1-t}. \] Montrer alors que \[ \forall t \in [0, 1],\quad x(t) – \lambda(t) \leq \left(M(\lambda) – \frac{4}{\mu}\right)\sqrt{1-t}. \] Conclure que $M(\lambda) – \frac{4}{\mu}$ est strictement positif.\\ On rappelle que $M(\lambda) < 4$. 18. Déduire de ce qui précède l’existence d’une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de réels strictement positifs vérifiant : \[ u_0 = M(\lambda),\quad \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1} = M(\lambda) - \frac{4}{u_n}. \] Étudier la convergence de cette suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et aboutir à une contradiction. En déduire que pour tout réel $x_0 > 0$, $T(x_0) = +\infty$.}FAQ
Dans ce sujet, on manipule surtout des équations différentielles ordinaires du premier ordre, non linéaires, de type Riccati ou du moins présentant des comportements comparables. Ces équations font intervenir des fonctions paramètres et leur comportement à l’approche d’un temps de vie maximal est au cœur de plusieurs questions du sujet.
La capture, c’est le phénomène où la solution maximale d’une équation différentielle atteint en temps fini une valeur limite précise, souvent liée à la fonction paramètre – dans ce cas, on cherche si la solution finit par « rejoindre » le paramètre ou diverge. Ici, l’étude de la capture permet de discriminer selon la régularité de la fonction paramètre ou l’explosion de la solution, rendant l’analyse fine pour chaque cas proposé.
Le passage à la limite permet de caractériser le comportement d’une solution quand on approche le temps où elle cesse d’exister (le temps de vie maximal). Cela sert à déterminer s’il y a explosion, convergence vers un seuil ou possibilité de prolonger la solution. Dans le sujet, c’est fondamental pour aller jusqu’au bout de l’étude de l’équation et comprendre les phénomènes de capture ou d’absence de capture.
Comparer des solutions à données initiales différentes permet d’étudier la sensibilité de l’équation à ses conditions de départ, la monotonie ou le croisement éventuel des solutions. C’est un point clé pour démontrer l’unicité, la régularité et l’ordre des solutions, mais aussi pour exclure des comportements anormaux comme la rencontre ou la fusion de trajectoires, essentiels dans ce type d’EDO.
L’invariant, ici une combinaison de logarithme et d’une fraction impliquant les solutions, est un outil puissant pour relier les écarts entre deux solutions spécifiques. Il sert à établir des bornes, détecter la stabilité ou l’instabilité des solutions, et obtenir des contradictions en raisonnant sur sa constance, ce qui est souvent déterminant pour conclure sur le temps de vie des solutions.
À travers l’utilisation de la borne supérieure, le sujet amène l’élève à raisonner en termes de contrôle d’écarts maximaux. L’étude du majorant $M(λ)$ est centrale : c’est l’outil par excellence pour l’encadrement uniforme de la différence entre les solutions et le paramètre, ainsi que pour les raisonnements d’absurdité dans la partie finale sur l’impossibilité de la capture si $M(λ)<4$. Tu veux t’entraîner sur ce type d’astuces ? Les corrigés détaillés t’attendent en débloquant sur Prépa Booster !
Ce sujet mobilise des techniques classiques d’analyse qualitative d’EDO : unicité, prolongement maximal, étude de la régularité, passage à la limite, majoration, mais aussi des astuces fines de changement d’échelle (changement de variable via la fonction $λ^b_r$). C’est typiquement le genre d’exercices qui te prépare non seulement au concours, mais aussi à la réussite dans la suite de ton cursus scientifique.
Il est pile dans le cœur du programme EDO, enchainements logiques de la théorie des solutions maximales et applications des propriétés fondamentales comme le critère d’existence et unicité (notamment via le théorème de Cauchy-Lipschitz), ainsi que la maîtrise des manipulations de bornes supérieures et du théorème des suites. C’est parfait pour préparer à la fois l’écrit et l’oral des concours.
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