Questions du sujet
1. Montrer que, pour tout $n \geq 1$, $P’_n$ admet exactement une racine $x_{n, k}$ dans chacun des intervalles $]k, k + 1[$, pour $k = 0, \ldots, n – 1$. Notons $\alpha_{n, k} = x_{n, k} – k \in ]0,1[$, la partie fractionnaire de $x_{n, k}$. 2. Pour $n \geq 1$, en calculant les coefficients de degré $n – 1$ et $n$ de $P’_n$, exprimer $\sum_{k=0}^{n-1} x_{n, k}$, puis $\sum_{k=0}^{n-1} \alpha_{n, k}$ en fonction de $n$. 3. En comparant $P_n(X)$ et $P_n(n – X)$, exprimer $x_{n, n-1-k}$ en fonction de $x_{n, k}$, pour tout $n \geq 1$, et pour tout $k = 0, \ldots, n – 1$. 4. Déterminer la valeur de $\alpha_{n, k} + \alpha_{n, n-1-k}$. 5. Pour tout $n \geq 1$, dresser, en fonction de la parité de $n$, le tableau de variations de $P_n$.} 6. En déduire le signe de $(-1)^{n-k}P_n(x_{n, k})$ pour $k = 0, 1, \cdots, n – 1$. 7. En utilisant la relation $P_n(X) = (X-n)P_{n-1}(X)$, déterminer le signe de $(-1)^{n-k}P’_n(x_{n-1, k})$ pour $k = 0, 1, \cdots, n-2$. 8. En déduire que pour $k = 0, 1, \cdots, n-2$, on a $x_{n-1, k} > x_{n, k}$. 9. En utilisant l’identité $P_n(X) = X P_{n-1}(X-1)$, déterminer, en fonction de $k$ et $n$, le signe de $(-1)^{n-k}P’_n(1 + x_{n-1, k-1})$ pour $k = 1, \cdots, n-1$. 10. En déduire que pour $k = 1, \cdots, n-1$, on a $x_{n, k} > 1 + x_{n-1, k-1}$.} 11. Conclure. 12. Déterminer $E = \{x \in \R \mid h_x ~\text{est intégrable sur}~ ]0, +\infty[\}$, où $h_x(t) = t^{x-1} e^{-t}$. 13. Pour $x \in E$, on pose $\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \, dt$. Montrer que $\Gamma$ est strictement positive sur $E$. 14. Montrer que $\Gamma$ est deux fois dérivable sur $E$. 15. Exprimer pour tout $x \in E$, $\Gamma(x+1)$ en fonction de $x$ et $\Gamma(x)$.} 16. Montrer que $\Psi$ est strictement croissante, où $\Psi(x) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$. 17. Établir que pour tout $x \in E$, $\Psi(x+1) = \Psi(x) + \frac{1}{x}$. 18. Montrer que, pour tout $x > 0$, $$ \lim_{m \to +\infty}\left[\Psi(x) + \sum_{j=0}^{m} \frac{1}{x+j} – \ln m\right] = 0. $$ 19. On pose pour tout $x > 0$, $\varphi(x) = \Psi(x) – \ln(x)$. Montrer que la série de terme général $\varphi(n+1) – \varphi(n)$ converge. 20. Montrer que la suite $(\varphi(n), n \geq 1)$ converge lorsque l’entier $n$ tend vers l’infini$.~$Soit~$ C~$sa limite.} 21. Établir que l’on a aussi~: $$ \lim_{x \to +\infty} \varphi(x) = C. $$ 22. Montrer que si $C \neq 0$, $$ \int_1^x \varphi(t) dt \sim_{x \to +\infty} Cx. $$ 23. Montrer que $C = 0$. 24. Conclure en considérant $\Psi(x + m + 1)$. 25. En considérant la fraction $\dfrac{P’_n}{P_n}$, montrer que $$ \sum_{j=0}^k\frac{1}{\alpha_{n, k} + j} – \sum_{j=0}^{n-k-1} \frac{1}{(1-\alpha_{n, k}) + j} = 0. $$ } 26. Pour $t \in ]0,1[$ fixé, on pose $u_n = \alpha_{n, [nt]}$ pour $t \in ]0, 1[$. Démontrer que $$ \lim_{n \to +\infty} \left(\Psi(u_n) – \Psi(1-u_n) + \ln \frac{1-t}{t}\right) = 0. $$ 27. Démontrer que la suite $(u_n, n\geq 1)$ est convergente et calculer sa limite, que l’on notera $F(t)$.}FAQ
Dans ce sujet, tu manipules intensivement les polynômes de degré n, l’étude de leurs dérivées, la localisation des racines, et les relations entre coefficients et racines (comme la somme des racines d’une dérivée). Tu analyses aussi des identités remarquables reliant différents polynômes comme P_n(X) = (X-n)P_{n-1}(X) ou P_n(X) = X P_{n-1}(X-1). Ces techniques sont capitales pour progresser rapidement aux écrits.
Dans ce contexte, la partie fractionnaire α_{n,k} d’une racine x_{n,k} est le nombre réel strictement compris entre 0 et 1 tel que x_{n,k} = k + α_{n,k}. C’est crucial pour étudier la répartition fine des racines dans les intervalles entiers, et ça intervient dans de nombreuses propriétés d’encadrement des zéros des polynômes et de leurs dérivées.
La fonction Gamma généralise la factorielle et intervient partout dès que tu manipules des intégrales à paramètre, transformations, ou problèmes de dénombrement avancé. La fonction Psi (ou digamma), c’est sa dérivée logarithmique : elle intervient souvent dans les approximations, séries et sommes utilisées en analyse, probabilités, et théorie des nombres. Tout ça forme un socle utile pour attaquer les exos pointus de mines-ponts, aussi bien en calcul d’intégrales qu’en étude de suites et de limites !
Ici, il faut maîtriser les manipulations algébriques très poussées : factorisations, identités sur les polynômes, changements d’indices, manipulation des sommes et des séries… Ajoute à cela les subtilités de l’analyse (convergence, passage à la limite, régularité des fonctions spéciales) et tu comprends qu’un entraînement sérieux est indispensable. Pour t’aider à progresser sur ces points, pense à débloquer les corrigés Prépa Booster pour accéder à des explications détaillées et un espace personnel de suivi !
L’étude qualitative demande de savoir sur quel ensemble la fonction est définie, sa régularité (continuité, dérivabilité), ses variations, limites, et comportement asymptotique. Le calcul effectif consiste à évaluer précisément ou à estimer la fonction pour des valeurs ou des suites particulières. Les deux approches sont indispensables : la première pour comprendre le « paysage » général, la seconde pour résoudre les questions précises du sujet. Tu devras jongler entre analyse fine du comportement (ex : croissance stricte de Psi) et manipulations concrètes (ex : expression de Gamma(x+1)).
La récurrence intervient partout dès que tu as des relations entre termes proches (ex : sur les racines des dérivées de polynômes, sur les suites liées à Gamma ou Psi). Il faut maîtriser les raisonnements de base (initialisation, hérédité), et savoir combiner avec des encadrements, limites et études de monotonie pour conclure. Les questions sur la convergence de suites définies par des propriétés subtiles demandent particulièrement d’être rigoureux sur ces points.
Il s’agit d’étudier le comportement aux extrémités, la répartition des racines, et la forme globale de la courbe. Selon que le degré est pair ou impair, le signe dominant en +∞ et −∞ change, tout comme le nombre de variations. Savoir visualiser rapidement ces propriétés te permet de mieux discuter du signe de P_n ou de ses dérivées à certains points, indispensables pour répondre vite et juste.
Ici, les séries servent à représenter la fonction Psi (fonction digamma) à l’aide de sommes portant sur 1/(x + j), et à étudier des différences comme φ(n+1) − φ(n). Savoir traiter le critère de convergence, majore et minore les termes, et faire un lien avec des logarithmes est essentiel pour valider les raisonnements d’asymptotique et les passages à la limite.
Tout ce qui touche aux polynômes, aux suites et séries, à l’analyse complexe, à l’intégration, et aux fonctions spéciales (Gamma, Beta, etc.), est classique sur ce concours. Le triptyque : étude de fonction, maîtrise des techniques algébriques de polynômes et des asymptotiques doit être acquis sur le bout des doigts. Les corrigés détaillés Prépa Booster te permettront de combler les dernières failles et d’avoir des modèles de rédaction taillés pour l’épreuve.