Questions du sujet
1. Q1. Donner les représentations de Lewis des différentes espèces azotées envisagées, les atomes d’oxygène étant systématiquement liés à l’atome d’azote. Préciser la particularité du monoxyde d’azote $\text{NO(g)}$ qui explique sa forte réactivité.1. Q2. Écrire la réaction de dissolution de l’acide nitrique $\text{HNO}_3$ dans l’eau. Justifier alors que l’acide nitrique $\text{HNO}_3$ n’apparaît pas dans le diagramme potentiel-pH fourni.
1. Q3. Justifier que l’acide nitreux $\text{HNO}_2$ n’apparaît pas non plus dans le diagramme.
1. Q4. Déterminer alors les espèces correspondant aux domaines 1, 2 et 3 du diagramme.
1. Q5. Établir à partir des données thermodynamiques les équations des frontières séparant les domaines 2 et 3 d’une part et 1 et 3 d’autre part.}
1. Q6. En déduire les coordonnées du point $A$.
1. Q7. Écrire l’équation de la réaction que subit l’espèce associée au domaine 3 pour $\text{pH} < \text{pH}_A$. Nommer cette réaction.
1. Q8. Déterminer par quel acide et dans quel domaine de pH l’argent peut être attaqué spontanément. Écrire l’équation bilan de la réaction et calculer numériquement sa constante d’équilibre.
1. Q9. Faire un schéma du dispositif expérimental en précisant le sens du courant et les réactions aux électrodes. Justifier son intérêt.
1. Q10. Exprimer la résistance électrique $R_0$ du filament à température ambiante $T_0$ en fonction des paramètres géométriques $L$ et $S$ de la pointe et de sa résistivité électrique $\rho_0$ à $T = T_0$. Faire l’application numérique.}
1. Q11. Justifier que la tension mesurée aux bornes de la pointe est sensiblement égale à celle aux bornes du filament.
1. Q12. Montrer que la variation de tension $\Delta U_{\text{DC}}$ aux bornes de la pointe lors de sa mise en contact avec l’échantillon est proportionnelle à $\langle\Delta\theta\rangle$, où $\Delta\theta(x) = \theta_{\text{ec}}(x) – \theta_{\text{hc}}(x)$.
1. Q13. Montrer que la température $T(x,t)$ dans le filament est solution, en régime quelconque, de l’équation de la diffusion thermique : $$\mu c S \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda S \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + p_{J,\text{lin}}$$ où $p_{J,\text{lin}}$ est la puissance thermique linéique générée par effet Joule le long du filament de platine.
1. Q14. En négligeant les variations de la résistivité électrique du filament avec la température, exprimer la puissance thermique linéique $p_{J,\text{lin}}$ générée par effet Joule le long du filament de platine en fonction de $\rho_0$, $I_0$ et $S$.
1. Q15. Déterminer alors l’équation différentielle vérifiée par l’échauffement $\theta_{\text{hc}}(x)$ en régime permanent.}
1. Q16. En déduire que : $$\theta_{\text{hc}}(x) = -\frac{J}{2}x^2 + Ax + B \quad \text{avec} \quad J = \frac{\rho_0}{\lambda S^2}I_0^2$$ et donner les expressions de $A$ et $B$ en fonction de $J$ et des paramètres géométriques du filament.
1. Q17. Représenter graphiquement le profil de l’échauffement $\theta_{\text{hc}}(x)$ pour $x \in [-L,L]$.
1. Q18. Calculer la valeur moyenne de l’échauffement dans le fil $\langle\theta_{\text{hc}}\rangle$. Faire l’application numérique pour $I_0 = 50\text{ mA}$.
1. Q19. Montrer que : $$G_e = 2\pi\lambda_e b .$$
1. Q20. Justifier que le flux thermique $\Phi$ transmis dans l’échantillon est proportionnel à l’échauffement de la pointe en $x = 0$, soit : $$\Phi = G\theta_{\text{ec}}(0),$$ et exprimer $G$ en fonction de la conductivité thermique de l’échantillon $\lambda_e$, de $b$ et de $G_c$.}
1. Q21. Sachant que le filament évacue de l’énergie vers l’échantillon, déterminer les signes de $\Phi$, de $j_x(0^-)$ et de $j_x(0^+)$.
1. Q22. En raisonnant sur la partie droite ($x > 0$), exprimer $\frac{\text{d}\theta_{\text{ec}}}{\text{d}x}(0^+)$ en fonction de la conductivité thermique du filament $\lambda$, de $G$, de $S$ et de l’échauffement à l’extrémité de la pointe $\theta_{\text{ec}}(0)$.
1. Q23. En déduire que, pour $x > 0$ : $$\theta_{\text{ec}}(x) = \frac{J}{2}\left(-x^2 + \frac{u}{1+u}Lx + \frac{L^2}{1+u}\right),$$ et donner l’expression de $u$ en fonction de $G$, $\lambda$, $S$ et $L$.
1. Q24. Représenter graphiquement les variations de l’échauffement $\theta_{\text{ec}}(x)$ pour $x \in [-L,L]$.
1. Q25. Exprimer la différence $\Delta\theta(x) = \theta_{\text{ec}}(x) – \theta_{\text{hc}}(x)$ pour $x > 0$ en fonction de $J$, $L$, $u$ et $x$.}
1. Q26. En déduire l’expression de $\langle\Delta\theta\rangle$ en fonction de $J$, $L$ et $u$, puis exprimer $|\langle\Delta\theta\rangle|/\langle\theta_{\text{hc}}\rangle$ en fonction uniquement de $u$.
1. Q27. Expliquer pourquoi, sur la figure 5, les matériaux présentant une grande conductivité thermique ($\lambda_e \gg \lambda$), tels que le tantale et le titane, donnent lieu à une variation relative de la puissance dissipée à travers la pointe comparable, bien que leurs conductivités thermiques soient différentes.
1. Q28. En vous appuyant sur les mesures de la figure 5, déterminer les valeurs approximatives du rayon de contact $b$ et de la conductance de contact $G_c$.
1. Q29. En négligeant les variations de la résistivité électrique du filament avec la température, montrer que la puissance thermique linéique $p_{J,\text{lin}}$ générée par effet Joule le long du filament de platine est constituée d’une contribution indépendante du temps et d’une contribution à la pulsation $2\omega$. Écrire l’équation de la diffusion thermique dans cette situation.
1. Q30. Justifier qu’en régime établi, l’échauffement en un point de la pointe $\theta(x,t) = T(x,t) – T_0$ peut s’écrire sous la forme : $$\theta(x,t) = \theta_{\text{DC}}(x) + \theta_{\text{AC}}(x)\cos(2\omega t + \phi(x)).$$ Écrire une égalité reliant $\theta_{\text{DC}}(x)$ à $\theta_{\text{hc}}(x)$ obtenu à la partie B.}
1. Q31. Exprimer la résistance $R_p(t)$ de la pointe à l’instant $t$ en fonction de $R_0$, $a$, $\langle\theta_{\text{DC}}\rangle$, $\langle\theta_{\text{AC}}\rangle$, $\omega$, $\phi$ et $t$.
1. Q32. En déduire que la tension mesurée aux bornes de la pointe comporte une harmonique à la pulsation $3\omega$ dont on exprimera l’amplitude $U_{3\omega}$ en fonction de $a$, $R_0$, $I_0$ et $\langle\theta_{\text{AC}}\rangle$. Préciser la relation que l’on peut écrire entre $\phi$ et le déphasage $\varphi_{3\omega}$ de cette harmonique par rapport à l’intensité du courant.
1. Q33. Montrer que, en un point d’abscisse $x$, l’échauffement alternatif $\underline{\theta}_{\text{AC}}(x)$ vérifie l’équation : $$\frac{\text{d}^2\underline{\theta}_{\text{AC}}}{\text{d}x^2} – \underline{m}^2 \underline{\theta}_{\text{AC}}(x) = -\frac{J}{2} \quad \text{avec} \quad \underline{m}^2 = 2\text{j}\omega\frac{\mu c}{\lambda}.$$
1. Q34. En déduire que : $$\underline{\theta}_{\text{AC}}(x) = \frac{J}{2\underline{m}^2}\left(1 – \frac{\text{e}^{\underline{m}x} + \text{e}^{-\underline{m}x}}{\text{e}^{\underline{m}L} + \text{e}^{-\underline{m}L}}\right).$$
1. Q35. Exprimer alors l’échauffement moyen $\langle\underline{\theta}_{\text{AC}}\rangle$ le long de la pointe en fonction de $J$, $\underline{m}$ et $L$.}
1. Q36. Déterminer le comportement basses fréquences de $\underline{U}_{3\omega}$. On exprimera sa limite $U_{3\omega,\text{BF}}$ en fonction de $R_0$, $a$, $I_0$, $J$ et $L$. On donne pour cela le développement limité au voisinage de $x = 0$ : $$\frac{\text{e}^x – \text{e}^{-x}}{\text{e}^x + \text{e}^{-x}} = x – \frac{x^3}{6} + \text{o}(x^3).$$
1. Q37. En déduire une expression du rayon $R$ du filament en fonction de $\rho_0$, $I_0$, $L$, $a$, $\lambda$ et $U_{3\omega,\text{BF}}$.
1. Q38. Déterminer de même le comportement hautes fréquences de $\underline{U}_{3\omega,\text{HF}}$ en fonction de $R_0$, $a$, $I_0$, $J$, $\lambda$, $\mu$, $c$ et $\omega$.
1. Q39. Déterminer les comportements asymptotiques de la phase pour les basses et les hautes fréquences, de notations respectives associées $\varphi_{3\omega,\text{BF}}$ et $\varphi_{3\omega,\text{HF}}$.
1. Q40. Montrer que l’intersection des deux régimes asymptotiques permet de définir une fréquence caractéristique : $$f_c = \frac{3\lambda}{2\pi L^2\mu c}.$$}
1. Q41. Vérifier la compatibilité des mesures de la figure 6 avec les résultats précédents.
1. Q42. Déterminer numériquement la demi-longueur $L$ du filament, puis son rayon $R$, pour la pointe utilisée lors des mesures de la figure 6.
1. Q43. Exprimer l’intensité $i(t)$ en fonction de $e(t)$ et des résistances pertinentes.
1. Q44. Montrer qu’avec la valeur de la résistance $R_2$ choisie, un doublement de la résistance de la pointe par rapport à sa valeur à température ambiante entraîne une variation relative de l’amplitude $I_0$ du courant $i(t)$ inférieure à $1\,\%$. Commenter alors l’impact des variations de température de la pointe sur l’amplitude du courant qui la traverse.
1. Q45. Montrer que la tension $v(t)$ mesurée entre les bornes A et B s’écrit : $$v(t) = \frac{R_1 R_p – R_2 R_c}{R_c + R_1} i(t).$$}
1. Q46. Proposer une valeur de $R_c$ afin que le fondamental de la tension $v(t)$ ait une amplitude du même ordre de grandeur que l’harmonique de rang 3, proportionnelle à $\langle\theta_{\text{AC}}\rangle$.}
FAQ
Le diagramme potentiel-pH est un outil fondamental pour visualiser les domaines de stabilité et de prédominance des différentes espèces chimiques en solution aqueuse, notamment lors des réactions d’oxydoréduction impliquant l’azote et ses oxydes. Les concours Centrale MP aiment proposer ce type de diagramme car il permet de croiser plusieurs notions : l’électrochimie, la chimie des solutions, et la thermodynamique. Savoir lire un diagramme de Pourbaix, en déduire les espèces dominantes, et écrire les équations de frontières logiques, est une compétence attendue des élèves de CPGE scientifiques.
Face à une dissolution d’acide fort (comme HNO3) ou d’acide faible (comme HNO2), commence toujours par écrire l’équation de la réaction acide-base en solution aqueuse. Pour un acide fort, la dissociation est quasi-totale, ce qui a des conséquences sur les espèces présentes à l’équilibre et sur le diagramme potentiel-pH. Pour un acide faible, pense à écrire la constante d’acidité et à discuter les espèces majoritaires selon le pH. Ce raisonnement est essentiel pour répondre efficacement aux questions du concours et éviter toute confusion sur les espèces à prendre en compte.
Dans toute question sur la diffusion thermique, identifie d’abord le bilan d’énergie sur un élément dx du filament ou du système considéré : accumulation d’énergie (chaleur massique), conduction (loi de Fourier), et sources de chaleur (effet Joule par exemple). Assure-toi d’exprimer chaque terme par unité de longueur, volume ou surface selon le contexte. Mets le tout dans une équation différentielle reliant température, temps et espace. Ce schéma est systématique et il revient très régulièrement dans les sujets de Centrale ou de tout autre concours CPGE scientifique.
Le schéma expérimental est incontournable car il permet de visualiser le montage réel, de comprendre le trajet du courant, les branchements précis (générateurs, résistances, électrodes…), et de raisonner rigoureusement sur les mesures réalisées. Les correcteurs attendent que tu sois à la fois capable de justifier qualitativement et quantitativement la pertinence d’un montage. C’est souvent sur ces points de rigueur que se jouent les points d’avance !
L’effet Joule continu correspond à la dissipation d’énergie sous forme de chaleur pour un courant continu ou pour la composante continue d’un courant alternatif. Lorsqu’un courant alternatif circule (par exemple, à une pulsation ω), l’effet Joule comporte non seulement une composante moyenne, mais aussi des variations à d’autres fréquences (typiquement à 2ω pour la puissance, à 3ω pour la tension si la résistance dépend de la température). Bien comprendre cette distinction te permettra d’identifier les différentes contributions mesurables dans les expériences, ce qui est demandé régulièrement dans les sujets de Centrale.
La résistivité électrique varie en général avec la température, surtout pour les métaux comme le platine. Cette dépendance impacte directement les valeurs de résistance et donc la puissance dissipée par effet Joule. Dans les systèmes soumis à de forts échauffements, négliger cette variation peut te conduire à des erreurs de raisonnement ou d’application numérique, ce que les concepteurs de sujets n’hésitent pas à exploiter dans les concours !
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