Questions du sujet
1. Q1. Écrire l’équation différentielle satisfaite par $x(t)$, position par rapport à l’équilibre, pour un oscillateur harmonique classique de pulsation propre $\omega_0$, puis rappeler l’expression générale de ses solutions.1. Q2. Préciser, avec justification, les valeurs minimales possibles des énergies cinétique, potentielle et mécanique moyennes dans le cas d’un oscillateur harmonique classique.
1. Q3. Montrer que les énergies potentielle et cinétique moyennes, notées $\langle E_p \rangle$ et $\langle E_c \rangle$, peuvent s’écrire : $$\langle E_p \rangle = K_1 \Delta x^2 \quad \text{et} \quad \langle E_c \rangle = K_2 \Delta p_x^2$$ avec $K_1$ et $K_2$ deux constantes à expliciter en fonction des données du problème.
1. Q4. Montrer que l’inégalité spatiale d’Heisenberg impose à l’énergie mécanique moyenne de l’oscillateur harmonique quantique de ne pas être inférieure à une énergie particulière, notée $\langle E_m \rangle_{\min}$, à expliciter en fonction de $\hbar$ et $\omega_0$. Commenter le résultat relativement au cas de l’oscillateur harmonique classique précédent.
1. Q5. Déterminer les exposants $\alpha$, $\beta$ et $\delta$, puis évaluer un ordre de grandeur de $a_0$. On supposera que la masse $\mu$ est quasiment égale à celle de l’atome d’hydrogène et on prendra $\omega_0 \approx 10^{15}\text{ rad/s}$.}
1. Q6. Rappeler la forme de $\chi(t)$. Obtenir la relation vérifiée par $\varphi(u)$, sa dérivée seconde $\varphi”(u)$, $u$ et $\varepsilon$.
1. Q7. Montrer que $H$ vérifie l’équation différentielle : $$H”(u) – 2u H'(u) + (2\varepsilon – 1) H(u) = 0 .$$
1. Q8. En raisonnant sur le monôme de degré $n$ de cette équation, montrer qu’il existe une relation simple entre $\varepsilon$ et $n$. En déduire l’expression des énergies de vibration de la molécule.
1. Q9. Déterminer la différence d’énergie $\Delta E_J = E_{J+1} – E_J$ entre deux niveaux rotationnels voisins en fonction de $B$ et $J$.
1. Q10. En s’appuyant sur la figure 3, identifier les intervalles en nombre d’onde qui correspondent aux branches R et P.}
1. Q11. Identifier les valeurs des nombres quantiques $J”$ et $J’$ pour les transitions associées aux raies d’absorption à $2926\text{ cm}^{-1}$, $2906\text{ cm}^{-1}$, $2865\text{ cm}^{-1}$ et $2844\text{ cm}^{-1}$ sur la figure 3.
1. Q12. Expliquer pourquoi on n’observe pas de raie d’absorption en dehors de l’intervalle $[2600 ; 3100]\text{ cm}^{-1}$.
1. Q13. Déduire, à partir de la figure 3, des valeurs expérimentales avec incertitudes-types pour la distance $d_0$ et de la pulsation propre $\omega_0$ de vibration de la molécule HCl.
1. Q14. Proposer une explication de cette observation de raies doubles et non simples.
1. Q15. Donner les équations de Maxwell dans le vide.}
1. Q16. Montrer que, dans le vide, le champ électrique $\vec{E}$ obéit à une équation d’onde de d’Alembert dont on précisera la célérité.
1. Q17. Établir la relation de dispersion des ondes électromagnétiques dans le vide.
1. Q18. En exploitant les conditions aux limites imposées au champ électrique au niveau des miroirs $M_1$ ($x = 0$) et $M_2$ ($x = L$), déterminer deux relations entre $E_{0+}$, $E_{0-}$, $k$ et $L$. Les relations de passage du champ électrique sont rappelées dans le formulaire en fin d’énoncé.
1. Q19. Montrer que les fréquences des modes de la cavité s’écrivent sous la forme $\nu_m = m \times \mathrm{FSR}_\nu$ où $m$ est un entier naturel non nul et $\mathrm{FSR}_\nu = \frac{c}{2L}$.
1. Q20. Proposer une interprétation physique pour la relation $R + T = 1$.}
1. Q21. Expliquer l’origine physique de cette relation.
1. Q22. Exprimer $E_G$ en fonction de $E_D$, $k$ et $L$.
1. Q23. En déduire une expression du rapport $\frac{E_D}{E_p}$ en fonction de $R$, $k$ et $L$.
1. Q24. Montrer que le rapport des intensités pour les ondes correspondantes en indiçage s’écrit alors : $$\frac{I_D}{I_p} = \frac{g}{1 + \frac{4\sqrt{R}}{(1-\sqrt{R})^2}\sin^2 kL}$$ avec $g$ une constante à exprimer en fonction de $R$.
1. Q25. Montrer que le rapport $\frac{I_D}{I_p}$ est toujours quasiment nul, sauf pour certaines valeurs de $k$ à expliciter.}
1. Q26. Représenter graphiquement $\frac{I_D}{I_p}$ en fonction du produit $kL$.
1. Q27. Identifier alors les modes de la cavité et les fréquences correspondantes, c’est-à-dire celles qui maximisent le rapport $\frac{I_D}{I_p}$. En déduire l’Intervalle Spectral Libre en fréquence $\mathrm{FSR}’_\nu$ de cette cavité avec pertes en identifiant les modes de la cavité. Comparer au cas sans pertes (question Q19).
1. Q28. Déterminer $\mathcal{F}$ en fonction de $R$. Faire l’application numérique.
1. Q29. Préciser un avantage à avoir un laser possédant une très grande finesse vis-à-vis des applications en interférométrie.
1. Q30. Exprimer les lois de vitesse relatives aux diverses « réactions chimiques » (\textit{i.e.} les processus d’interaction modélisés ci-dessus) ayant lieu dans le milieu amplificateur.}
1. Q31. Proposer une justification de la relation suivante : $$\frac{\mathrm{d}n_1}{\mathrm{d}t} = -\Gamma n_1 + A n_2 + \beta n_2 – \beta n_1.$$
1. Q32. Obtenir des relations similaires pour $\frac{\mathrm{d}n_2}{\mathrm{d}t}$ et $\frac{\mathrm{d}n_3}{\mathrm{d}t}$ en fonction des populations $n_1$, $n_2$ et $n_3$ et faisant intervenir les constantes de vitesse $A$, $\beta$, $\Gamma$ et $k_{\mathrm{nr}}$.
1. Q33. Vérifier que $n_1 + n_2 + n_3$ est une constante. Interpréter ce résultat.
1. Q34. Exprimer $\Delta n$ en fonction de $n_3$ et des constantes de vitesse.
1. Q35. Écrire la condition requise sur les constantes de vitesse pour avoir une inversion de population. En donner une interprétation physique.}
1. Q36. Préciser si tous les processus décrits dans la sous-partie précédente contribuent au bilan. Identifier ceux qui résultent respectivement en un gain ou une perte d’énergie pour l’onde laser.
1. Q37. Montrer alors que le bilan d’énergie conduit à la relation $$\frac{\partial\Pi(x, t)}{\partial x} + \frac{1}{c}\frac{\partial\Pi(x, t)}{\partial t} = \gamma(\omega) \Pi(x, t) – p(\omega)$$ où $\gamma(\omega)$ et $p(\omega)$ sont à expliciter en fonction de $A$, $b$, $n_1$, $n_2$, $c$ et $\hbar\omega$.
1. Q38. Commenter cette condition au regard de la nature de la lumière que l’on souhaite obtenir avec un laser.
1. Q39. Déterminer la solution $\Pi(x)$ de l’équation différentielle vérifiée par la composante du vecteur de Poynting en posant $\Pi_0 = \Pi(x = 0)$.
1. Q40. Interpréter physiquement le terme $\gamma(\omega)$ et discuter son signe en fonction de celui de $\Delta n$. Faire le lien avec la condition donnée à la question Q35.}
1. Q41. Justifier le terme « Bleu » présent dans le nom du colorant. Préciser la couleur de l’émission laser.
1. Q42. En raisonnant par analogie avec l’Intervalle Spectral Libre en fréquence $\mathrm{FSR}_\nu$ introduit à la question Q19, justifier la formule proposée par l’article.
1. Q43. Estimer la longueur de cavité $L$.
1. Q44. Montrer que la finesse peut également s’écrire : $$\mathcal{F} = \frac{\mathrm{FSR}_\lambda}{\Delta\lambda_c} .$$ En déduire, un ordre de grandeur de la finesse de la cavité utilisée dans l’article de Lahoz \textit{et al.}
1. Q45. Préciser le paramètre de l’expérience qui est sensible à la température et à la composition chimique.}
1. Q46. Représenter, justifications à l’appui, l’allure d’un spectre d’émission laser pour un tel laser à colorant traditionnel en supposant les autres paramètres du système (miroirs, colorant, etc.) inchangés. Commenter.}
FAQ
Pour assurer au concours Centrale, il faut connaître sur le bout des doigts l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique, savoir passer de la description classique à la quantification de l’énergie (quanta, niveaux d’énergie). Apprends à manipuler les expressions des énergies moyennes, mais aussi à comparer les résultats classiques et quantiques — par exemple, le rôle de l’inégalité de Heisenberg pour la limite inférieure d’énergie dans le modèle quantique. Tout cela tombe très régulièrement et permet de briller dans les questions d’introduction. Tu peux accéder au corrigé détaillé et à des exercices supplémentaires en débloquant les corrigés sur PrépaBooster.
La relation de dispersion permet de faire le lien entre la fréquence, la longueur d’onde et la propagation des ondes électromagnétiques. Elle te sert à comprendre le comportement des ondes dans les milieux contraints comme une cavité à miroirs ou une fibre optique, c’est fondamental en optique comme en physique moderne. Quant aux modes de la cavité (fréquences propres), ils conditionnent les fréquences de résonance d’un laser ou d’un oscillateur, ce qui est décisif pour la compréhension et la conception d’expériences en physique expérimentale. Ces notions sont incontournables au concours, alors entraîne-toi sur des sujets variés proposés sur PrépaBooster.
La finesse d’une cavité mesure la « qualité » des résonances : plus elle est élevée, plus les pics de transmission sont fins et plus la sélection en fréquence est précise. En interférométrie ou en spectroscopie, disposer d’un laser à haute finesse signifie que tu peux sonder ou distinguer des transitions fines, détecter des variations infimes, ou encore améliorer la stabilité de ton signal. C’est un critère de choix déterminant dans la conception d’expériences sensibles, ce qui explique pourquoi ce point est si souvent abordé au concours Centrale.
Dès que tu rencontres une question sur les raies spectrales (rotationnelles ou vibrationnelles), pense à identifier les intervalles fréquentiels, les branches P/Q/R, ainsi que les valeurs des nombres quantiques impliqués dans les transitions. Savoir relire un spectre, faire les correspondances entre niveaux d’énergie et transitions observées, relier la théorie à la pratique expérimentale : tout cela te permet d’être rapide et efficace. Pour creuser ou t’entraîner sur ce type de questions, pense à débloquer les corrigés sur PrépaBooster où tu retrouveras des exercices corrigés sur la spectroscopie moléculaire.
Commence par écrire toutes les équations de bilan impliquant les populations de chaque niveau (n1, n2, n3) en incluant les processus radiatifs et non radiatifs, puis additionne-les pour vérifier la conservation du nombre total de particules (c’est très souvent demandé !). Pour le bilan d’énergie, identifie ce qui rentre/sort du système et explicite le rôle de chacun des termes (gain, pertes, émission stimulée…). Cette méthode structurée est attendue dans la rédaction pour un concours comme Centrale, et elle t’aidera à étoffer ta copie.