Questions du sujet
1. I.A.1) Montrer que $\chi_A(\lambda) = \lambda^2 – \operatorname{tr}(A)\lambda + \operatorname{Det}(A)$.
2. I.A.2) Montrer que $A$ est diagonalisable dans $M_2(\mathbb{C})$ si et seulement si $\operatorname{tr}(A)^2 – 4 \operatorname{Det}(A) \neq 0$ ou $\exists \lambda_0 \in \mathbb{C}$ tel que $A = \lambda_0 I_2$.
3. I.A.3) Montrer que $A$ est diagonalisable dans $M_2(\mathbb{R})$ si et seulement si $\operatorname{tr}(A)^2 – 4 \operatorname{Det}(A) > 0$ ou $\exists \lambda_0 \in \mathbb{R}$ tel que $A = \lambda_0 I_2$.
4. I.B.1) Trouver une matrice $A$ dans $M_2(\mathbb{R})$ telle que, pour tout entier naturel $k$ : $X_{k+1} = A X_{k}$.
5. I.B.2) Soit $k$ dans $\mathbb{N}$. Exprimer $X_k$ en fonction de $A, X_0$ et $k$.}
6. I.B.3) Prouver que $A$ est diagonalisable puis déterminer une matrice $P$ de $M_2(\mathbb{R})$, inversible telle que : $P^{-1} A P = \begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 3\end{pmatrix} = D$.
7. I.B.4) Soit $k$ dans $\mathbb{N}$. Exprimer les coefficients de $A^k$ en fonction de $k$.
8. I.B.5) En déduire l’expression de $u_k$ et $v_k$ en fonction de $k$.
9. II.A.1) Calculer $J^2$ et $J^3$.\\
Soit $k$ dans $\mathbb{N}$. Préciser $J^k$ en fonction de $k$.
10. II.A.2) On note $j$ le nombre complexe égal à $e^{2i\pi/3}$.\\
Rappeler sans justification la valeur de $1 + j + j^2$.}
11. II.A.3) Déterminer le polynôme caractéristique de $J$ ainsi que ses valeurs propres.
12. II.A.4) Déterminer une matrice inversible $P$ de $M_3(\mathbb{C})$ telle que :
$J = P\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & j & 0\\0 & 0 & \overline{j}\end{pmatrix}P^{-1}$
13. II.A.5) Soient trois nombres complexes $a, b$ et $c$. On pose $A(a, b, c) = \begin{pmatrix}a & b & c\\c & a & b\\b & c & a\end{pmatrix}$\\
a) Exprimer $A(a, b, c)$ en fonction de $a, b, c$ et des matrices $I_3, J$ et $J^2$.\\
b) En déduire que $A(a, b, c)$ est diagonalisable dans $M_3(\mathbb{C})$ dans une base indépendante du choix des valeurs des complexes $a, b, c$.\\
c) Préciser les valeurs propres de la matrice $A(a, b, c)$.\\
d) Exprimer le déterminant de $A(a, b, c)$ en fonction de $a, b, c$ et du nombre complexe $j$ sous la forme d’un produit.
14. II.A.6) On pose $E = \{A(a, b, c)\ ;\ (a, b, c) \in \mathbb{C}^3\}$.\\
a) Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $M_3(\mathbb{C})$.\\
b) Donner la dimension de $E$ en justifiant avec soin.
15. II.B.1) On note $U$ la matrice de $u$ dans la base canonique $e$ de $\mathbb{C}^n$. Expliciter la matrice $U$.}
16. II.B.2) On note $\omega$ une racine $n$ième de l’unité et $x_\omega$ le vecteur de $\mathbb{C}^n$ défini par : $x_\omega = \sum_{k=1}^n \omega^{k-1} e_k$\\
Calculer $u(x_\omega)$ en fonction de $\omega$ et de $x_\omega$.
17. II.B.3) Montrer que $u$ est diagonalisable. On précisera une base de vecteurs propres pour $u$.
18. II.B.4) Que peut-on dire de $u^n$~?
19. II.C.1) Expliciter $U, U^2, U^3, U^4$ où $U$ est la matrice définie dans la question précédente.
20. II.C.2) On note $(a, b, c, d)$ une famille de 4 complexes et on pose :
$V = \begin{pmatrix}a & b & c & d\\ d & a & b & c\\ c & d & a & b\\ b & c & d & a\end{pmatrix}$\\
Montrer que $V$ est diagonalisable dans $M_4(\mathbb{C})$.\\
Donner une base de vecteurs propres et préciser les valeurs propres de la matrice $V$ en fonction des nombres complexes $a, b, c, d$ et $i$.}
21. III.A – Justifier l’existence d’une matrice $T$ triangulaire supérieure de $M_n(\mathbb{C})$ et d’une matrice $P$ de $M_n(\mathbb{C})$ inversible telles que $A = P T P^{-1}$.\\
On note $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ les éléments diagonaux de $T$.
22. III.B – Montrer que $T$ et $A$ ont le même polynôme caractéristique.
23. III.C – Vérifier que, pour tout couple $(i, j)$ d’entiers compris entre 1 et $n$, on a :\\
$(T – \lambda_i I_n)(T – \lambda_j I_n) = (T – \lambda_j I_n)(T – \lambda_i I_n)$
24. III.D – Montrer que, pour tout entier $k$ compris entre 1 et $n-1$, on a :\\
$(T – \lambda_{k+1} I_n) E_{k+1} \in \operatorname{Vect}\{E_1, \ldots, E_k\}$
25. III.E – On pose, pour tout entier $k$ compris entre 1 et $n$ :\\
$M_k = (T – \lambda_1 I_n)\cdots (T – \lambda_k I_n)$, que l’on peut noter $M_k = \prod_{j=1}^{k}(T – \lambda_j I_n)$ puisque les matrices du produit commutent deux à deux.\\
Montrer que, pour tout entier $k$ compris entre 1 et $n$, on a : $M_k E_k = 0$.\\
On pourra utiliser un raisonnement par récurrence sur $k$.}
26. III.F – En déduire que $\prod_{j=1}^n (T – \lambda_j I_n) = O_n$ puis que $\prod_{j=1}^n (A – \lambda_j I_n) = O_n$.\\
On observe que le résultat attendu en découle puisque $\chi_T = \chi_A$.
27. IV.A.1) Montrer que $A^n X_0 = a_{n-1}A^{n-1}X_0 + a_{n-2}A^{n-2} X_0 + \cdots + a_0 X_0$.
28. IV.A.2) En déduire que $X$ est solution d’un système linéaire de la forme : $A \tilde{X} = B$ où $\tilde{A}$ est une matrice de $M_n(\mathbb{R})$ dont on donnera les colonnes et $B$ est une matrice colonne que l’on précisera.
29. IV.A.3) Que peut-on dire de ce système linéaire si la famille $(A^{n-1} X_0, A^{n-2} X_0, \ldots, X_0)$ est libre ?
30. IV.B.1) Montrer que $F$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.}
31. IV.B.2) Montrer que, pour tout entier $j$ compris entre $1$ et $n$, la suite $(\lambda_j^k)_{k \in \mathbb{N}}$ appartient à $F$.
32. IV.B.3) Justifier l’existence d’une famille de $n$ réels $(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ telle que, pour tout entier $k$ :\\
$y_k = \sum_{j=1}^n \alpha_j \lambda_j^k$
33. IV.B.4) On choisit $y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}$ pour que $\alpha_1$ soit non nul.\\
a) Donner un équivalent simple de la suite $(y_k)_{k\in\mathbb{N}}$ quand $k$ tend vers $+\infty$.\\
b) En déduire que $y_k$ est non nul à partir d’un certain rang.\\
c) Montrer que $\displaystyle\lim_{k\to +\infty} \frac{y_{k+1}}{y_k} = \lambda_1$.
34. IV.B.5) Une fois obtenue $\lambda_1$, comment peut-on construire une suite qui converge vers $\lambda_2$ ?\\
(On ne demande pas de justification.)
35. IV.C.1) Dans cette partie, on choisit : $A = \begin{pmatrix}-1 & 3\\-2 & 4\end{pmatrix}$\\
Calculer le polynôme caractéristique de $A$ et déterminer les deux valeurs propres $\lambda_1, \lambda_2$ avec $|\lambda_1| > |\lambda_2|$.}
36. IV.C.2) Préciser la relation de récurrence vérifiée par les suites de l’espace $F$ associé à la matrice $A$.
37. IV.C.3) En prenant $y_0 = 0, y_1 = 1$, écrire des instructions en Maple ou Mathematica permettant de calculer les 10 premiers termes de la suite $(y_k)_{k \in \mathbb{N}}$.
38. IV.C.4) Calculer ces 10 premiers termes et déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que $\frac{y_{k+1}}{y_k}$ soit une valeur approchée de $\lambda_1$ à $10^{-1}$ près.}